《2022年圆锥曲线知识点与练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年圆锥曲线知识点与练习（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载圆锥曲线第1 课时椭圆与双曲线的几何性质班别姓名学号一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆双曲线定义 1 到两定点F1、 F2的距离的和等于常数2 a (2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a 定点 F1、F2叫焦点， | F1F2| 叫焦距。到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2 a (2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫双曲线。即| M F1 | - | M F 2 | = 2 a 定点 F1、 F2叫焦点， | F1F2| 叫焦距。定义 2 到一个定点F1的距离和到一条定直线l 的距离
2、的比等于常数ace( 0 e 1)的动点 M 的轨迹叫双曲线。定点F1叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线， e 叫做双曲线的离心率。标准方程12222byax(a b 0 ) 12222bxay(a b 0 ) 12222byax(a 0 , b 0 ) 12222bxay(a 0 , b 0 ) 判断焦点位置方法谁的分母大，谁就做a2，焦点在相应字母的坐标轴上。 （a 一定大于b ） （焦点始终在长轴所在的直线上）x 2项的系数为“ +” ，则焦点在x 轴上，相应的项的分母为a2；y 2项的系数为“+” ，则焦点在 y 轴上，相应的项的分母为a2。 （ a不一定大于b ） （焦点
3、始终在实轴所在的直线上）图形范围- a x a- b y b- b x b- a y ax - a 或 x a y - a 或 y a 顶点坐标(a , 0 ) , (0 , b ) (b , 0 ) , ( 0 , a ) (a , 0 ) (0 , a ) 焦点坐标(c , 0 ) 焦距长 2 cc 2 = a2 b 2( 0 , c ) 焦距长 2 cc 2 = a2 b 2(c , 0 ) 焦距长 2 cc 2 = a2 + b 2( 0 , c ) 焦距长 2 cc 2 = a2 + b 2轴长轴长 | A 1 A 2 | = 2 a ，短轴长 | B 1 B 2 | = 2 b实轴
4、长 | A 1 A 2 | = 2 a，虚轴长 | B 1 B 2 | = 2 b 对称性关于 x 轴、 y 轴、原点对称关于 x 轴、 y 轴、原点对称离心率ace（ 0 e 1 ）准线方程x = ca2y =ca2x = ca2y =ca2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载渐近线方程y =xaby =xba通径长ab22ab22练习 1、椭圆与双曲线方程特征1、已知方程11222kykx， （1）若方程表示的图形是圆，则k 的取值范围是_；（2）若方程表示的图形是椭圆，则k 的取值范围是 _；
5、（3）若方程表示的图形是双曲线，则k 的取值范围是 _ 。2、若Rk，则“3k”是“方程13322kykx表示双曲线”的( ) （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件 . （D）既不充分也不必要条件. （06 年上海春季）3、若点 M 到两定点F 1 ( 1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2，则点的轨迹是（）(A) 双曲线(B) 双曲线的一支(C) 两条射线(D) 一条射线4、若点 M 到两定点F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于2，则点的轨迹是（）(A) 椭圆(B) 直线 F 1 F 2(C) 线段 F 1
6、 F 2(D) F 1 F 2的中垂线5、已知圆锥曲线m x 2 + 4 y 2 = 4 m 的离心率e 为方程 2 x 2 5 x + 2 = 0 的两根， 则满足条件的圆锥曲线有（）条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6、已知三点P(5,2）,1F (6,0), 2F (6,0） ， （）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（）设点P、1F 、2F 关于直线yx 的对称点分别为P、1F 、2F ，求以1F 、2F 为焦点且过点P的双曲线的标准方程。 （06 年江苏）练习 2、椭圆与双曲线的几何性质7、已知椭圆1251622yx，请填写下表：精选学习资料 - -
7、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程8、已知椭圆2212516xy，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程9、已知双曲线1251622xy，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程10、已知双曲线2211625xy，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程练习 3、双曲线中与渐近线有关的问题（1）由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程22221xyab右边常数1 换成0，则22220xyab并化简可得到渐近线方程. （2）
8、若已知渐近线方程为myxn，变形得yxmn，则可设双曲线方程为2222(0)xynm，其中为待定系数 .若能判断焦点的位置时，可进一步设双曲线方程为2222(0)xynm（焦点在x轴上）或2222(0)yxmn（焦点在y 轴上） . （3）与22221xyab共渐近线双曲线的方程可设为2222(0)xyab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载11、与双曲线116922yx有共同渐近线，并且过点M ( 3 , 23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D)
9、 1 12、焦点为F ( 0 , 10 )，渐近线为4 x + 3 y = 0 的双曲线方程为_ 13、焦距为10，渐近线为x2 y = 0 的双曲线方程为_ 练习 4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03 年北京 )直线022:yxl过椭圆的左焦点1F和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）A.51B. 52C. 55D. 55215、在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（）(A)22(B)2 (C) 2(D)2216、过双曲线22221xyab(a0，b0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双
10、曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_17、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）(05 年全国卷III) （A）22（B）212（C）22（D）21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载18、双曲线的中心在原点，实轴长为4，一条准线方程是x =21，则双曲线的离心率是_ 19、已知双曲线x2a2y2b21的一条渐近线方程为y43x，则双曲线的离心率为（） （06 年全国卷 II）（A）53(B)43(C)54(D)32
11、20、已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（）A. 2B.332C. 2 D.4 （20XX 年广东卷）21、已知 a b 0，e1 , e2分别为圆锥曲线12222byax和12222byax的离心率，则lg e1 +lg e2的值（）(A) 一定是正数(B) 一定是负数(C) 一定是零(D) 以上答案均不正确练习 5、利用椭圆的第一定义，求焦点三角形的边长、周长和面积22、已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆x23y21 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是（）（20XX 年全国卷II）
12、（A） 2 3 （ B）6 （C）43 （D）12 22、已知双曲线的实轴长为2 a，AB 为左支上过焦点F 1的弦， | AB| = m ，F2为双曲线的另一个焦点，则 ABF2的周长是 _ 23、如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,P P P P P P P七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFP FPFP FPFP FP F_ （06 年四川卷）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载24、若双曲线122byax(a
13、0 , b 0 ) 与椭圆122nymx( m n 0 ) 有相同的焦点F 1 , F 2，P 是两曲线的一个交点，则| P F 1 | P F 2 | 等于（）(A) m a (B) 21( m a ) (C) m 2a2(D) am25、椭圆的焦点F 1, F 2在 x 轴上，焦距为215，椭圆上的点到两焦点的距离之和为8，（1）求椭圆的标准方程；（2）设点 M 在椭圆上，且120,MFMF求 F1MF2的面积。26、已知双曲线1222yx的焦点为F1、F2，点 M 在双曲线上且120,MFMF则点 M 到 x 轴的距离为（）（A）43（B）53（C）2 33（D）3(05 年全国卷 II
14、I) 答案： （C）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载圆锥曲线第1 课时椭圆与双曲线的几何性质班别姓名学号一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆双曲线定义 1 到两定点F1、 F2的距离的和等于常数2 a (2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a 定点 F1、F2叫焦点， | F1F2| 叫焦距。到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2 a (2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫双曲线。即| M F1 | - |
15、M F 2 | = 2 a 定点 F1、 F2叫焦点， | F1F2| 叫焦距。定义 2 到一个定点F1的距离和到一条定直线l 的距离的比等于常数ace( 0 e 1)的动点 M 的轨迹叫双曲线。定点F1叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线， e 叫做双曲线的离心率。标准方程12222byax(a b 0 ) 12222bxay(a b 0 ) 12222byax(a 0 , b 0 ) 12222bxay(a 0 , b 0 ) 判断焦点位置方法谁的分母大，谁就做a2，焦点在相应字母的坐标轴上。 （a 一定大于b ） （焦点始终在长轴所在的直线上）x 2项的系数为“ +” ，则焦点
16、在x 轴上，相应的项的分母为a2；y 2项的系数为“+” ，则焦点在 y 轴上，相应的项的分母为a2。 （ a不一定大于b ） （焦点始终在实轴所在的直线上）图形范围- a x a- b y b- b x b- a y ax - a 或 x a y - a 或 y a 顶点坐标(a , 0 ) , (0 , b ) (b , 0 ) , ( 0 , a ) (a , 0 ) (0 , a ) 焦点坐标(c , 0 ) 焦距长 2 c( 0 , c ) 焦距长 2 c(c , 0 ) 焦距长 2 c( 0 , c ) 焦距长 2 c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
17、- - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载c 2 = a2 b 2c 2 = a2 b 2c 2 = a2 + b 2c 2 = a2 + b 2轴长轴长 | A 1 A 2 | = 2 a ，短轴长 | B 1 B 2 | = 2 b实轴长 | A 1 A 2 | = 2 a，虚轴长 | B 1 B 2 | = 2 b 对称性关于 x 轴、 y 轴、原点对称关于 x 轴、 y 轴、原点对称离心率ace（ 0 e 1 ）准线方程x = ca2y =ca2x = ca2y =ca2渐近线方程y =xaby =xba通径长ab22ab22练习 1、椭圆与双曲线方程特征1、已
18、知方程11222kykx， （1）若方程表示的图形是圆，则k 的取值范围是_；（2）若方程表示的图形是椭圆，则k 的取值范围是 _； （3）若方程表示的图形是双曲线，则k 的取值范围是 _ 。答案： （ 1）23（2） 1 k 2 且 k23（3）k 2 2、若Rk，则“3k”是“方程13322kykx表示双曲线”的( ) （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件 . （D）既不充分也不必要条件. （20XX 年上海春卷）答案：A 3、若点 M 到两定点F 1 ( 1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2，则点的轨迹是（）(A) 双曲线(B) 双曲线
19、的一支(C) 两条射线(D) 一条射线答案： (D) 4、若点 M 到两定点F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于2，则点的轨迹是（）(A) 椭圆(B) 直线 F 1 F 2(C) 线段 F 1 F 2(D) F 1 F 2的中垂线答案： (C) 5、已知圆锥曲线m x 2 + 4 y 2 = 4 m 的离心率e 为方程 2 x 2 5 x + 2 = 0 的两根， 则满足条件的圆锥曲线有（）条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答案： (C) 解：易知 e = 2 或21e，由 e = 2 得焦点在x 轴上的双曲线一条，由21e得焦点在x 轴上的
20、椭圆一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载条或焦点在y 轴上的椭圆一条，选(C) 6、已知三点P（5，2） 、1F （ 6，0） 、2F （6，0）. （）求以1F 、2F 为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（）设点P、1F 、2F 关于直线yx 的对称点分别为P、1F 、2F ，求以1F 、2F 为焦点且过点P的双曲线的标准方程。 （06 年江苏）解： （1）由题意可设所求椭圆的标准方程为22221xyab(ab0), 其半焦距c=6 2222122112126 5aPFPF3 5a,b2=a2-c2
21、=9. 所以所求椭圆的标准方程为221459xy（2）点 P(5,2)、F1(-6,0)、 F2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P，(2， 5)、F1，(0，-6)、F2，(0， 6). 设所求双曲线的标准方程为221122111(0,0)xyabab由题意知，半焦距c1=6 22221122112124 5aP FP F12 5a,b12=c12-a12=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为2212016xy练习 2、椭圆与双曲线的几何性质7、已知椭圆1251622yx，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程10 8 6 ( 0 , 3 ) 53y =3258、
22、已知椭圆2212516xy，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载10 8 6 (3 , 0) 53x =3259、已知双曲线1251622xy，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程8 10 241(0 ,41) 441414116yxy5410、已知双曲线2211625xy，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程8 10 241(41, 0) 441164141x54yx练习 3、双曲线中与渐近线有关的问题
23、（1）由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程22221xyab右边常数1 换成0，则22220xyab并化简可得到渐近线方程. （2）若已知渐近线方程为myxn，变形得yxmn，则可设双曲线方程为2222(0)xynm，其中为待定系数 .若能判断焦点的位置时，可进一步设双曲线方程为2222(0)xynm（焦点在x轴上）或2222(0)yxmn（焦点在y 轴上） . （3）与22221xyab共渐近线双曲线的方程可设为2222(0)xyab. 11、与双曲线116922yx有共同渐近线，并且过点M ( 3 , 23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）精选学习资料 - - - -
24、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 答案：(C)（ 晨练题十二练习4）12、焦点为F (10, 0 ) ，渐近线为y =3 x 的双曲线方程为_答案：1922yx（05年上海）(同步 44 页练习 6) 解：设所求的双曲线方程为922yx，即1922yx， + 9= 10 ， = 1 所求的双曲线方程为1922yx12、焦点为 F ( 0 , 10 )，渐近线为4 x + 3 y = 0 的双曲线方程为_ 答案：1366422xy（ 晨练题十二练习1）解：设所求的双曲线方程为91
25、622xy，即191622xy，16+ 9= 100 ， = 4 所求的双曲线方程为491622xy即1366422xy13、焦距为10，渐近线为x2 y = 0 的双曲线方程为_ 答案：152022yx或120522xy解： （1）当焦点在x 轴上时，设所求的双曲线方程为224yx，即1422yx 4+= 25 ， = 5 所求的双曲线方程为5422yx，即152022yx（2）当焦点在y 轴上时，设所求的双曲线方程为422xy，即1422xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载4 += 25 ，
26、 = 5 所求的双曲线方程为5422xy，即120522xy练习 4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03 年北京 )直线022:yxl过椭圆的左焦点1F和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）A.51B. 52C. 55D. 55215、在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（）(A)22(B)2 (C) 2(D)22(06 年 山东文科 )（ 五年 131 页练习 2） 答案： (C) 解：212222cacab由得222ab由得2122cac= 22bc得2ace16、过双曲线22221xyab(a0，b0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双
27、曲线相交于M、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_(05 年 浙江 )（ 五年 131 页练习 12） 答案： 2 解：易知 MNA 为等腰直角三角形，且MAN 为直角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载caab2= b 2 = a 2 + a c = c 2 a 2 = a 2 + a c = c 2 a c 2 a 2 = 0 = e 2 e 2 = 0 = ( e 2 ) ( e + 1 ) = 0 = e = 2 17、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，
28、过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）(05 年全国卷III) 答案： （D）（A）22（B）212（C）22（D）2118、双曲线的中心在原点，实轴长为4，一条准线方程是x =21，则双曲线的离心率是_ 答案： 4 19、已知双曲线x2a2y2b21的一条渐近线方程为y43x，则双曲线的离心率为（） （06 年全国卷 II）答案：(A )（A）53(B)43(C)54(D)3220、已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（）A. 2B.332C. 2 D.4 （20XX 年广东卷）答案：C
29、 21、已知 a b 0，e1 , e2分别为圆锥曲线12222byax和12222byax的离心率，则lg e1 +lg e2的值（）(A) 一定是正数(B) 一定是负数(C) 一定是零(D) 以上答案均不正确答案： (B) 解：abae221，abae2221144444244222221ababaabaabaabaee lg e1 +lg e2 = lg e1 e2 0 , b 0 ) 与椭圆122nymx( m n 0 ) 有相同的焦点F 1 , F 2，P 是两曲线的一个交点，则| P F 1 | P F 2 | 等于（）(A) m a (B) 21( m a ) (C) m 2a2
30、(D) am答案： (A) 25、椭圆的焦点F 1, F 2在 x 轴上，焦距为215，椭圆上的点到两焦点的距离之和为8，（1）求椭圆的标准方程；（2）设点 M 在椭圆上，且120,MFMF求 F1MF2的面积。（10 分）解： （1）设椭圆的标准方程为12222byax( a b 0 ) （1 分）由题意知， a = 4（2 分） , c =15（3 分）, 则 b 2 = a 2 c 2 = 16 15 = 1（4 分）椭圆的标准方程为11622yx（5 分）（2）解法 1：设 M ( x , y ) ， F 1 (15, 0 )，F 2 (15, 0 ) 则1MF= (x15， y )
31、, 2MF= (x15， y ) （6 分）1MF2MF= (x15)(x15) + y 2 = x 2 15 + y 2 = 0（7 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载1616152222yxyx（8 分）= 1515y（ 9 分） | F 1 F 2 | = 215 F1MF2的面积 S = 151515221= 1（10 分）（2）解法 2：120,MFMF MF 1 MF 2（6 分）MF 1+ MF 2 = 8 （7 分）MF 12 + MF 22 + 2 MF 1 MF 2 = 6
32、4 MF 12 + MF 22 = 2152（8 分）60 + 2 MF 1 MF 2 = 64 MF 1 MF 2 = 2 （9 分） F1MF2的面积 S = 21MF 1 MF 2 = 1 （10 分）26、已知双曲线1222yx的焦点为F1、F2，点 M 在双曲线上且120,MFMF则点 M 到 x 轴的距离为（）（A）43（B）53（C）2 33（D）3(05 年全国卷 III) 答案： （C）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
