《2022年圆锥曲线知识点与练习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年圆锥曲线知识点与练习(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载圆锥曲线第1 课时椭圆与双曲线的几何性质班别姓名学号一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆双曲线定义 1 到两定点F1、 F2的距离的和等于常数2 a (2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a 定点 F1、F2叫焦点, | F1F2| 叫焦距。到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2 a (2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫双曲线。即| M F1 | - | M F 2 | = 2 a 定点 F1、 F2叫焦点, | F1F2| 叫焦距。定义 2 到一个定点F1的距离和到一条定直线l 的距离
2、的比等于常数ace( 0 e 1)的动点 M 的轨迹叫双曲线。定点F1叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线, e 叫做双曲线的离心率。标准方程12222byax(a b 0 ) 12222bxay(a b 0 ) 12222byax(a 0 , b 0 ) 12222bxay(a 0 , b 0 ) 判断焦点位置方法谁的分母大,谁就做a2,焦点在相应字母的坐标轴上。 (a 一定大于b ) (焦点始终在长轴所在的直线上)x 2项的系数为“ +” ,则焦点在x 轴上,相应的项的分母为a2;y 2项的系数为“+” ,则焦点在 y 轴上,相应的项的分母为a2。 ( a不一定大于b ) (焦点
3、始终在实轴所在的直线上)图形范围- a x a- b y b- b x b- a y ax - a 或 x a y - a 或 y a 顶点坐标(a , 0 ) , (0 , b ) (b , 0 ) , ( 0 , a ) (a , 0 ) (0 , a ) 焦点坐标(c , 0 ) 焦距长 2 cc 2 = a2 b 2( 0 , c ) 焦距长 2 cc 2 = a2 b 2(c , 0 ) 焦距长 2 cc 2 = a2 + b 2( 0 , c ) 焦距长 2 cc 2 = a2 + b 2轴长轴长 | A 1 A 2 | = 2 a ,短轴长 | B 1 B 2 | = 2 b实轴
4、长 | A 1 A 2 | = 2 a,虚轴长 | B 1 B 2 | = 2 b 对称性关于 x 轴、 y 轴、原点对称关于 x 轴、 y 轴、原点对称离心率ace( 0 e 1 )准线方程x = ca2y =ca2x = ca2y =ca2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页学习必备欢迎下载渐近线方程y =xaby =xba通径长ab22ab22练习 1、椭圆与双曲线方程特征1、已知方程11222kykx, (1)若方程表示的图形是圆,则k 的取值范围是_;(2)若方程表示的图形是椭圆,则k 的取值范围是 _;
5、(3)若方程表示的图形是双曲线,则k 的取值范围是 _ 。2、若Rk,则“3k”是“方程13322kykx表示双曲线”的( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件 . (D)既不充分也不必要条件. (06 年上海春季)3、若点 M 到两定点F 1 ( 1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2,则点的轨迹是()(A) 双曲线(B) 双曲线的一支(C) 两条射线(D) 一条射线4、若点 M 到两定点F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于2,则点的轨迹是()(A) 椭圆(B) 直线 F 1 F 2(C) 线段 F 1
6、 F 2(D) F 1 F 2的中垂线5、已知圆锥曲线m x 2 + 4 y 2 = 4 m 的离心率e 为方程 2 x 2 5 x + 2 = 0 的两根, 则满足条件的圆锥曲线有()条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6、已知三点P(5,2),1F (6,0), 2F (6,0) , ()求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;()设点P、1F 、2F 关于直线yx 的对称点分别为P、1F 、2F ,求以1F 、2F 为焦点且过点P的双曲线的标准方程。 (06 年江苏)练习 2、椭圆与双曲线的几何性质7、已知椭圆1251622yx,请填写下表:精选学习资料 - -
7、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页学习必备欢迎下载长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程8、已知椭圆2212516xy,请填写下表:长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程9、已知双曲线1251622xy,请填写下表:实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程10、已知双曲线2211625xy,请填写下表:实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程练习 3、双曲线中与渐近线有关的问题(1)由双曲线方程求渐近线方程步骤:把双曲线的标准方程22221xyab右边常数1 换成0,则22220xyab并化简可得到渐近线方程. (2)
8、若已知渐近线方程为myxn,变形得yxmn,则可设双曲线方程为2222(0)xynm,其中为待定系数 .若能判断焦点的位置时,可进一步设双曲线方程为2222(0)xynm(焦点在x轴上)或2222(0)yxmn(焦点在y 轴上) . (3)与22221xyab共渐近线双曲线的方程可设为2222(0)xyab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页学习必备欢迎下载11、与双曲线116922yx有共同渐近线,并且过点M ( 3 , 23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D)
9、 1 12、焦点为F ( 0 , 10 ),渐近线为4 x + 3 y = 0 的双曲线方程为_ 13、焦距为10,渐近线为x2 y = 0 的双曲线方程为_ 练习 4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03 年北京 )直线022:yxl过椭圆的左焦点1F和一个顶点B,该椭圆的离心率为()A.51B. 52C. 55D. 55215、在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为21,则该双曲线的离心率为()(A)22(B)2 (C) 2(D)2216、过双曲线22221xyab(a0,b0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M、N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双
10、曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_17、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若 F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()(05 年全国卷III) (A)22(B)212(C)22(D)21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页学习必备欢迎下载18、双曲线的中心在原点,实轴长为4,一条准线方程是x =21,则双曲线的离心率是_ 19、已知双曲线x2a2y2b21的一条渐近线方程为y43x,则双曲线的离心率为() (06 年全国卷 II)(A)53(B)43(C)54(D)32
11、20、已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于()A. 2B.332C. 2 D.4 (20XX 年广东卷)21、已知 a b 0,e1 , e2分别为圆锥曲线12222byax和12222byax的离心率,则lg e1 +lg e2的值()(A) 一定是正数(B) 一定是负数(C) 一定是零(D) 以上答案均不正确练习 5、利用椭圆的第一定义,求焦点三角形的边长、周长和面积22、已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆x23y21 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则 ABC 的周长是()(20XX 年全国卷II)
12、(A) 2 3 ( B)6 (C)43 (D)12 22、已知双曲线的实轴长为2 a,AB 为左支上过焦点F 1的弦, | AB| = m ,F2为双曲线的另一个焦点,则 ABF2的周长是 _ 23、如图,把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,P P P P P P P七个点,F是椭圆的一个焦点,则1234567PFP FPFP FPFP FP F_ (06 年四川卷)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页学习必备欢迎下载24、若双曲线122byax(a
13、0 , b 0 ) 与椭圆122nymx( m n 0 ) 有相同的焦点F 1 , F 2,P 是两曲线的一个交点,则| P F 1 | P F 2 | 等于()(A) m a (B) 21( m a ) (C) m 2a2(D) am25、椭圆的焦点F 1, F 2在 x 轴上,焦距为215,椭圆上的点到两焦点的距离之和为8,(1)求椭圆的标准方程;(2)设点 M 在椭圆上,且120,MFMF求 F1MF2的面积。26、已知双曲线1222yx的焦点为F1、F2,点 M 在双曲线上且120,MFMF则点 M 到 x 轴的距离为()(A)43(B)53(C)2 33(D)3(05 年全国卷 II
14、I) 答案: (C)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页学习必备欢迎下载圆锥曲线第1 课时椭圆与双曲线的几何性质班别姓名学号一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆双曲线定义 1 到两定点F1、 F2的距离的和等于常数2 a (2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a 定点 F1、F2叫焦点, | F1F2| 叫焦距。到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2 a (2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫双曲线。即| M F1 | - |
15、M F 2 | = 2 a 定点 F1、 F2叫焦点, | F1F2| 叫焦距。定义 2 到一个定点F1的距离和到一条定直线l 的距离的比等于常数ace( 0 e 1)的动点 M 的轨迹叫双曲线。定点F1叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线, e 叫做双曲线的离心率。标准方程12222byax(a b 0 ) 12222bxay(a b 0 ) 12222byax(a 0 , b 0 ) 12222bxay(a 0 , b 0 ) 判断焦点位置方法谁的分母大,谁就做a2,焦点在相应字母的坐标轴上。 (a 一定大于b ) (焦点始终在长轴所在的直线上)x 2项的系数为“ +” ,则焦点
16、在x 轴上,相应的项的分母为a2;y 2项的系数为“+” ,则焦点在 y 轴上,相应的项的分母为a2。 ( a不一定大于b ) (焦点始终在实轴所在的直线上)图形范围- a x a- b y b- b x b- a y ax - a 或 x a y - a 或 y a 顶点坐标(a , 0 ) , (0 , b ) (b , 0 ) , ( 0 , a ) (a , 0 ) (0 , a ) 焦点坐标(c , 0 ) 焦距长 2 c( 0 , c ) 焦距长 2 c(c , 0 ) 焦距长 2 c( 0 , c ) 焦距长 2 c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
17、- - - - - - -第 7 页,共 16 页学习必备欢迎下载c 2 = a2 b 2c 2 = a2 b 2c 2 = a2 + b 2c 2 = a2 + b 2轴长轴长 | A 1 A 2 | = 2 a ,短轴长 | B 1 B 2 | = 2 b实轴长 | A 1 A 2 | = 2 a,虚轴长 | B 1 B 2 | = 2 b 对称性关于 x 轴、 y 轴、原点对称关于 x 轴、 y 轴、原点对称离心率ace( 0 e 1 )准线方程x = ca2y =ca2x = ca2y =ca2渐近线方程y =xaby =xba通径长ab22ab22练习 1、椭圆与双曲线方程特征1、已
18、知方程11222kykx, (1)若方程表示的图形是圆,则k 的取值范围是_;(2)若方程表示的图形是椭圆,则k 的取值范围是 _; (3)若方程表示的图形是双曲线,则k 的取值范围是 _ 。答案: ( 1)23(2) 1 k 2 且 k23(3)k 2 2、若Rk,则“3k”是“方程13322kykx表示双曲线”的( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件 . (D)既不充分也不必要条件. (20XX 年上海春卷)答案:A 3、若点 M 到两定点F 1 ( 1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2,则点的轨迹是()(A) 双曲线(B) 双曲线
19、的一支(C) 两条射线(D) 一条射线答案: (D) 4、若点 M 到两定点F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于2,则点的轨迹是()(A) 椭圆(B) 直线 F 1 F 2(C) 线段 F 1 F 2(D) F 1 F 2的中垂线答案: (C) 5、已知圆锥曲线m x 2 + 4 y 2 = 4 m 的离心率e 为方程 2 x 2 5 x + 2 = 0 的两根, 则满足条件的圆锥曲线有()条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答案: (C) 解:易知 e = 2 或21e,由 e = 2 得焦点在x 轴上的双曲线一条,由21e得焦点在x 轴上的
20、椭圆一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页学习必备欢迎下载条或焦点在y 轴上的椭圆一条,选(C) 6、已知三点P(5,2) 、1F ( 6,0) 、2F (6,0). ()求以1F 、2F 为焦点且过点P的椭圆的标准方程;()设点P、1F 、2F 关于直线yx 的对称点分别为P、1F 、2F ,求以1F 、2F 为焦点且过点P的双曲线的标准方程。 (06 年江苏)解: (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为22221xyab(ab0), 其半焦距c=6 2222122112126 5aPFPF3 5a,b2=a2-c2
21、=9. 所以所求椭圆的标准方程为221459xy(2)点 P(5,2)、F1(-6,0)、 F2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P,(2, 5)、F1,(0,-6)、F2,(0, 6). 设所求双曲线的标准方程为221122111(0,0)xyabab由题意知,半焦距c1=6 22221122112124 5aP FP F12 5a,b12=c12-a12=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为2212016xy练习 2、椭圆与双曲线的几何性质7、已知椭圆1251622yx,请填写下表:长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程10 8 6 ( 0 , 3 ) 53y =3258、
22、已知椭圆2212516xy,请填写下表:长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页学习必备欢迎下载10 8 6 (3 , 0) 53x =3259、已知双曲线1251622xy,请填写下表:实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程8 10 241(0 ,41) 441414116yxy5410、已知双曲线2211625xy,请填写下表:实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程8 10 241(41, 0) 441164141x54yx练习 3、双曲线中与渐近线有关的问题
23、(1)由双曲线方程求渐近线方程步骤:把双曲线的标准方程22221xyab右边常数1 换成0,则22220xyab并化简可得到渐近线方程. (2)若已知渐近线方程为myxn,变形得yxmn,则可设双曲线方程为2222(0)xynm,其中为待定系数 .若能判断焦点的位置时,可进一步设双曲线方程为2222(0)xynm(焦点在x轴上)或2222(0)yxmn(焦点在y 轴上) . (3)与22221xyab共渐近线双曲线的方程可设为2222(0)xyab. 11、与双曲线116922yx有共同渐近线,并且过点M ( 3 , 23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()精选学习资料 - - - -
24、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页学习必备欢迎下载(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 答案:(C)( 晨练题十二练习4)12、焦点为F (10, 0 ) ,渐近线为y =3 x 的双曲线方程为_答案:1922yx(05年上海)(同步 44 页练习 6) 解:设所求的双曲线方程为922yx,即1922yx, + 9= 10 , = 1 所求的双曲线方程为1922yx12、焦点为 F ( 0 , 10 ),渐近线为4 x + 3 y = 0 的双曲线方程为_ 答案:1366422xy( 晨练题十二练习1)解:设所求的双曲线方程为91
25、622xy,即191622xy,16+ 9= 100 , = 4 所求的双曲线方程为491622xy即1366422xy13、焦距为10,渐近线为x2 y = 0 的双曲线方程为_ 答案:152022yx或120522xy解: (1)当焦点在x 轴上时,设所求的双曲线方程为224yx,即1422yx 4+= 25 , = 5 所求的双曲线方程为5422yx,即152022yx(2)当焦点在y 轴上时,设所求的双曲线方程为422xy,即1422xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页学习必备欢迎下载4 += 25 ,
26、 = 5 所求的双曲线方程为5422xy,即120522xy练习 4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03 年北京 )直线022:yxl过椭圆的左焦点1F和一个顶点B,该椭圆的离心率为()A.51B. 52C. 55D. 55215、在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为21,则该双曲线的离心率为()(A)22(B)2 (C) 2(D)22(06 年 山东文科 )( 五年 131 页练习 2) 答案: (C) 解:212222cacab由得222ab由得2122cac= 22bc得2ace16、过双曲线22221xyab(a0,b0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双
27、曲线相交于M、N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_(05 年 浙江 )( 五年 131 页练习 12) 答案: 2 解:易知 MNA 为等腰直角三角形,且MAN 为直角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页学习必备欢迎下载caab2= b 2 = a 2 + a c = c 2 a 2 = a 2 + a c = c 2 a c 2 a 2 = 0 = e 2 e 2 = 0 = ( e 2 ) ( e + 1 ) = 0 = e = 2 17、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,
28、过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若 F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()(05 年全国卷III) 答案: (D)(A)22(B)212(C)22(D)2118、双曲线的中心在原点,实轴长为4,一条准线方程是x =21,则双曲线的离心率是_ 答案: 4 19、已知双曲线x2a2y2b21的一条渐近线方程为y43x,则双曲线的离心率为() (06 年全国卷 II)答案:(A )(A)53(B)43(C)54(D)3220、已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于()A. 2B.332C. 2 D.4 (20XX 年广东卷)答案:C
29、 21、已知 a b 0,e1 , e2分别为圆锥曲线12222byax和12222byax的离心率,则lg e1 +lg e2的值()(A) 一定是正数(B) 一定是负数(C) 一定是零(D) 以上答案均不正确答案: (B) 解:abae221,abae2221144444244222221ababaabaabaabaee lg e1 +lg e2 = lg e1 e2 0 , b 0 ) 与椭圆122nymx( m n 0 ) 有相同的焦点F 1 , F 2,P 是两曲线的一个交点,则| P F 1 | P F 2 | 等于()(A) m a (B) 21( m a ) (C) m 2a2
30、(D) am答案: (A) 25、椭圆的焦点F 1, F 2在 x 轴上,焦距为215,椭圆上的点到两焦点的距离之和为8,(1)求椭圆的标准方程;(2)设点 M 在椭圆上,且120,MFMF求 F1MF2的面积。(10 分)解: (1)设椭圆的标准方程为12222byax( a b 0 ) (1 分)由题意知, a = 4(2 分) , c =15(3 分), 则 b 2 = a 2 c 2 = 16 15 = 1(4 分)椭圆的标准方程为11622yx(5 分)(2)解法 1:设 M ( x , y ) , F 1 (15, 0 ),F 2 (15, 0 ) 则1MF= (x15, y )
31、, 2MF= (x15, y ) (6 分)1MF2MF= (x15)(x15) + y 2 = x 2 15 + y 2 = 0(7 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页学习必备欢迎下载1616152222yxyx(8 分)= 1515y( 9 分) | F 1 F 2 | = 215 F1MF2的面积 S = 151515221= 1(10 分)(2)解法 2:120,MFMF MF 1 MF 2(6 分)MF 1+ MF 2 = 8 (7 分)MF 12 + MF 22 + 2 MF 1 MF 2 = 6
32、4 MF 12 + MF 22 = 2152(8 分)60 + 2 MF 1 MF 2 = 64 MF 1 MF 2 = 2 (9 分) F1MF2的面积 S = 21MF 1 MF 2 = 1 (10 分)26、已知双曲线1222yx的焦点为F1、F2,点 M 在双曲线上且120,MFMF则点 M 到 x 轴的距离为()(A)43(B)53(C)2 33(D)3(05 年全国卷 III) 答案: (C)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页