第十三章达朗贝尔原理哈工大理论力学课件ppt

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1、第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理( (动静法动静法) )达朗贝尔原理动动 力力 学学 达朗贝尔原理提供了研究动力学问题达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍方法，的一个新的普遍方法， 即用静力学中研究平衡问题的方法即用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为来研究动力学问题，因此又称为动静法动静法。 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理( (动静法动静法) ) 达达朗朗贝贝尔尔原原理理为为解解决决非非自自由由质质点点系系的的动动力力学学问问题题提提供供了了有有别别于于动动力力学学普普遍遍定定理理的的另另外外一一类类方方法。法。 引进惯性力的概念，将动力学系

2、统的二阶运引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题力学问题 达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。 达达朗朗贝贝尔尔原原理理一一方方面面广广泛泛应应用用于于刚刚体体动动力力学学求求解解动动约约束束力力；另另一一方方面面又又普普遍遍应应用用于于弹弹性性杆杆件件求解动应力。求解动应力。工程实际问题工程实际问题第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理( (动静法动静法) ) 车底盘距路面的高度为什么不同？车底盘距路面的高度为什么不同？车底盘距路面的高度为什么不同？车底盘距路面的高度为什么不同？第十三章第十三章 达朗贝尔

3、原理达朗贝尔原理( (动静法动静法) ) 质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理 13-1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理ABM该质点的动力学基本方程为该质点的动力学基本方程为 设质量为设质量为m的非自由质点的非自由质点M，在主，在主动力动力F和约束力和约束力FN作用下沿曲线运动，作用下沿曲线运动，FIFFN或或引入质点的惯性力引入质点的惯性力FI =ma 这一概念，于是上式可改写成这一概念，于是上式可改写成 上上式式表表明明，在在质质点点运运动动的的每每一一瞬瞬时时，作作用用于于质质点点的的主主动动力力、约约束束力力和和质质点点的的惯惯性性力力在在形形式式上上构构成成一一平平衡衡力力系系。这这就就是

4、是质质点点的达朗贝尔原理。的达朗贝尔原理。ama 13-1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理一、质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理 13-1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 这这表表明明，在在质质点点系系运运动动的的任任一一瞬瞬时时，作作用用于于每每一一质质点点上上的的主主动动力力、约约束束力力和和该该质质点点的的惯惯性性力力在在形形式式上上构构成成一一平平衡力系。衡力系。 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将上述质点的达朗贝尔原理可以直

5、接推广到质点系。将达朗贝尔原理应用于每个质点，得到达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。个矢量平衡方程。这就是质点系的达朗这就是质点系的达朗贝尔贝尔原理。原理。 13-2 质点系质点系达朗贝尔原理达朗贝尔原理二、质点系达朗贝尔原理二、质点系达朗贝尔原理 对对于于所所讨讨论论的的质质点点系系，有有n个个形形式式如如上上式式的的平平衡衡方方程程，即即有有n个个形形式式上上的的平平衡衡力力系系。将将其其中中任任何何几几个个平平衡衡力力系系合合在在一一起起，所所构构成成的的任任意意力力系系仍仍然然是是平平衡衡力力系系。根根据据静静力力学学中中空间任意力系的平衡条件，有空间任意力系的平衡条件

6、，有质点系达朗质点系达朗质点系达朗质点系达朗贝尔贝尔贝尔贝尔原理原理原理原理 13-2 质点系质点系达朗贝尔原理达朗贝尔原理 上上式式表表明明，在在任任意意瞬瞬时时，作作用用于于质质点点系系的的主主动动力力、约约束束力力和和该该点点的的惯惯性性力力所所构构成成力力系系的的主主矢矢等等于于零零，该该力力系系对对任任一一点点O的主矩也等于零。的主矩也等于零。 达达朗朗贝贝尔尔原原理理提提供供了了按按静静力力学学平平衡衡方方程程的的形形式式给给出出质质点点系系动动力力学学方方程程的的方方法法，这这种种方方法法称称为为动动静静法法。这这些些方方程程也也称称为为动动态平衡方程。态平衡方程。 质点系达朗贝

7、尔原理质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理 13-2 质点系质点系达朗贝尔原理达朗贝尔原理由质心运动定理有由质心运动定理有 F = maC ,得得 对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向任意点力各自向任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和和FIR ，MIO ，于是，由力系平衡条件，可得，于是，由力系平衡条件，可得即即, ,质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘积，而取相反方向。的乘积，而取相反方向。一、一、

8、惯性力系的简化惯性力系的简化1.1.惯性力系的主矢惯性力系的主矢 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化由对任意固定点由对任意固定点O的动量矩定理有的动量矩定理有 ， 现将上式两端投影到任一固定轴现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，上， 上式表明上式表明：质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。数，并冠以负号。2.2.惯性力惯性力系的主矩系的主矩代入代入得得 对任意固定点对任意固定点对任意固定点对任意固定点 对固定轴对固定轴对固定轴

9、对固定轴 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 上上式式表表明明：质质点点系系的的惯惯性性力力对对质质心心（或或通通过过质质心心的的平平动动轴轴）的的主主矩矩，等等于于质质点点系系对对质质心心（或或该该轴轴）的的动动量量矩矩对对时时间间的的导导数数，并冠以负号。并冠以负号。以及它在通过质心以及它在通过质心C的某一平动轴的某一平动轴上的投影表达式上的投影表达式 利利用用相相对对于于质质心心的的动动量量矩矩定定理理，可可以以得得到到质质点点系系的的惯惯性性力力对质心对质心C的主矩表达式的主矩表达式 惯性力惯性力惯性力惯性力系的主矩系的主矩系的主矩系的主矩 对质心点对质心点对质心点对质心点 对质心

10、轴对质心轴对质心轴对质心轴 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 惯性力惯性力惯性力惯性力系的主矩系的主矩系的主矩系的主矩 惯性力惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。系的主矩与刚体的运动形式有关。 惯性力惯性力系的主矢系的主矢与与刚体的运动形式无关。刚体的运动形式无关。 注注 意意 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化1. 1. 刚体作平动刚体作平动aCa1a2anMm2mnm1FIRnFIR1FIR2FIR 刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。 刚体平移时，惯性力系向质心简化刚体平移时，惯性力系向质心简化 主矢主矢 主矩主矩 13-

11、3 惯性力系的简化惯性力系的简化二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩 OCz zy yx x2. 2. 刚体做定轴转动刚体做定轴转动 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬转动，在任意瞬时的角速度为时的角速度为，角加速度为，角加速度为。 主矢主矢具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。 设质心设质心C的转动半径为的转动半径为rC，则，则 和和 的大小可分别表示为的大小可分别表示为刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化rC

12、显然，当质心显然，当质心C在转轴上时，刚在转轴上时，刚体的惯性力主矢必为零。体的惯性力主矢必为零。其中其中刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 OCzyxrC 主矢主矢 具具有有质质量量对对称称平平面面的的刚刚体体绕绕垂垂直直于于质质量量对对称称平平面面的的固固定定轴轴转转动动时时，惯惯性性力力系系向向固固定定轴轴简简化化，得得到到的的惯惯性性力力系系主主矢矢的的大大小小等等于于刚刚体体质质量量与与质质心心加加速速度度大大小小的乘积，方向与质心加速度方向相反的乘积，方向与质心加速度方向相反。刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚

13、体做定轴转动 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 OCzyxrC OCzyx即即 对转轴的主矩对转轴的主矩将刚体对转轴将刚体对转轴Oz的动量矩的动量矩 代入代入 可得刚体惯性力对可得刚体惯性力对轴轴Oz的主矩的主矩M*M*z z刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化rC 具具有有质质量量对对称称平平面面的的刚刚体体绕绕垂垂直直于于质质量量对对称称平平面面的的固固定定轴轴转转动动时时，惯惯性性力力系系向向固固定定轴轴简简化化的的结结果果，得得到到合合力力偶偶的的力力偶偶矩矩即即为为惯惯性性力力系系的的主主矩矩，其其大大小小等等于于刚刚

14、体体对对转转动动轴轴的的转转动动惯惯量量与与角角加加速速度度的的乘乘积积，方方向向与与角角加加速速度度方向相反。方向相反。刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动 对转轴的主矩对转轴的主矩 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 OCzyxM*M*z z 主矢主矢 对转轴的主矩对转轴的主矩 合合力力的的矢矢量量即即为为惯惯性性力力系系的的主主矢矢，其其大大小小等等于于刚刚体体质质量量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。 具具有有质质量量对对称称平平面面的的刚刚体体绕绕垂垂直直于于质质量量对对称称平平面面的的固固定定

15、轴轴转转动动时时，惯惯性性力力系系向向固固定定轴轴简简化化的的结结果果，得得到到一一个个合合力力和一个和一个合力偶合力偶。 合合力力偶偶的的力力偶偶矩矩即即为为惯惯性性力力系系的的主主矩矩，其其大大小小等等于于刚刚体体对对转转动动轴轴的的转转动动惯惯量量与与角角加加速速度度的的乘乘积积，方方向向与与角角加加速速度度方方向相反。向相反。刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动OCMIz 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化3. 3. 刚体作平面运动刚体作平面运动 若取质心若取质心C为基点，则刚体的平面运动为基点，则刚体的平面运动可以分解为随质心可以分解为随质心C的平动和绕质心（

16、通过的平动和绕质心（通过质心且垂直于运动平面的轴）的转动。质心且垂直于运动平面的轴）的转动。CaCrimiaC 刚体上各质点的加速度及相应的惯性刚体上各质点的加速度及相应的惯性力也可以分解为力也可以分解为随质心的平动和绕质心轴随质心的平动和绕质心轴的转动的转动两部分。两部分。 于于是是，此此刚刚体体的的牵牵连连平平动动惯惯性性力力可可合合成成为为作作用用线线通通过过质质心心、且且在在对对称称面面内内的的一一个力个力FI。 因因质质心心C在在相相对对运运动动的的转转轴轴上上，故故刚刚体的体的相对转动的惯性力合成为一力偶。相对转动的惯性力合成为一力偶。FIMIC 13-3 惯性力系的简化惯性力系的

17、简化 具具有有质质量量对对称称平平面面的的刚刚体体作作平平面面运运动动，并并且且运运动动平平面面与与质质量量对对称称平平面面互互相相平平行行。这这种种情情形形下下，惯惯性性力力系系向向质质心心简简化化的的结结果果得得到到一一个个合合力力和和一一个个合合力力偶偶，二二者者都都位位于于质质量量对对称称平平面内。面内。 合力的矢量即为惯性力系的合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。速度方向相反。 主矢主矢 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化CaCrimiaCFIMIC 合合力力

18、偶偶的的力力偶偶矩矩即即为为惯惯性性力力系系的的主主矩矩，其其大大小小等等于于刚刚体体对对通通过过质质心心的的转转动动轴轴的的转转动动惯惯量量与与角角加加速速度度的的乘乘积积，方方向向与与角角加加速速度度方向相反。方向相反。 主矩主矩 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化CaCrimiaCFIMIC3. 3. 刚体作平面运动刚体作平面运动刚体作平面运动刚体作平面运动 主矩主矩 主矢主矢向质心简化向质心简化向质心简化向质心简化1. 1. 刚体作平动刚体作平动刚体作平动刚体作平动向质心简化向质心简化向质心简化向质心简化 主矢主矢 主矩主矩2. 2. 刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体

19、做定轴转动 主矢主矢 对转轴的主矩对转轴的主矩向固定轴简化向固定轴简化向固定轴简化向固定轴简化综上所述：综上所述： 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化2713-4 定轴转动刚体的轴承动反力定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 一、刚体的轴承动反力一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ，角加速度（逆时针） 主动力系向O点简化: 主矢 ,主矩 惯性力系向O点简化: 主矢 ,主矩2829根据动静法：其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得30 由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力静反力；一部分是由于惯性力系的不平

20、衡引起的，称为附加动附加动反力反力，它可以通过调整加以消除。 使附加动反力为零，须有静反力静反力附加动反力附加动反力动反力动反力31当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。对z 轴惯性积为零，z 轴为刚体在O点的惯性主轴；过质心32 静平衡：静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。不一定是动平衡的。二、静平

21、衡与动平衡的概念二、静平衡与动平衡的概念33思考题思考题1. 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡： (b)、 (d)动平衡： ( a) 例例题题 13-1 汽汽车车连连同同货货物物的的总总质质量量是是m ，其其质质心心 C 离离前前后后轮轮的的水水平平距距离离分分别别是是 b 和和 c ，离离地地面面的的高高度度是是 h 。当当汽汽车车以以加加速速度度a沿沿水水平平道道路路行行驶驶时时，求求地地面面给给前前、后后轮轮的的铅铅直直反反力力。轮子的质量不计。轮子的质量不计。ABCcbh 13-5 动静法

22、应用举例动静法应用举例 取取汽汽车车连连同同货货物物为为研研究究对对象象。汽汽车车实实际际受受到到的的外外力力有有：重重力力 G，地地面面对对前前、后后轮轮的的铅铅直直反反力力 FNA 、 FNB 以以及及水水平平摩摩擦擦力力 FB (注注意意：前前轮轮一一般般是是被被动动轮轮，当当忽忽略略轮轮子子质质量量时时，其其摩摩擦力可以不计擦力可以不计)。解： 因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心 C 上的上的一个力一个力 FI= ma 。A AB BCcbhF FI Ia aF FB BmgmgF FN NA AF FN NB B例题例题例题例题 13-1

23、13-113-5 动静法应用举例动静法应用举例于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程由式由式(1)和和(2)解得解得例题例题例题例题 13-113-113-5 动静法应用举例动静法应用举例A AB BCcbhF FI Ia aF FB BmgmgF FN NA AF FN NB B汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死抱死”？车轮防抱死装置车轮防抱死装置ABS: Anti-Brake System13-5 动静法应用举例动静法应用举例 思考题分析汽车刹车时的动力学特性分析汽车刹车时的动力学特性刹车时的动力学特性：刹车时的动力学特性：车头下沉；车头下

24、沉； 若质心在中间，后轮容易打滑。若质心在中间，后轮容易打滑。AB 例例题题13-2 如如图图所所示示，匀匀质质滑滑轮轮的的半半径径为为r，质质量量为为m，可可绕绕水水平平轴轴转转动动。轮轮缘缘上上跨跨过过的的软软绳绳的的两两端端各各挂挂质质量量为为m1和和m2的的重重物物,且且m1 m2 。绳绳的的重重量量不不计计，绳绳与与滑滑轮轮之之间间无无相相对对滑滑动动，轴轴承承摩摩擦擦忽忽略略不不计计。求求重重物的加速度和轴承反力。物的加速度和轴承反力。 OABrO13-5 动静法应用举例动静法应用举例 以以滑滑轮轮与与两两重重物物一一起起组组成成所所研研究究的的质质点点系系。作作用用在在该该系系统

25、统上上的的外外力力有有重重力力m1g，m2g，mg和轴承约束反力和轴承约束反力FN。OABra aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNy解：解： 已已知知m1m2，则则重重物物的的加加速速度度a方方向向如图所示。如图所示。 在在系系统统中中每每个个质质点点上上假假想想地地加加上上惯性力后，可以应用达朗贝尔原理。惯性力后，可以应用达朗贝尔原理。 重重物物的的惯惯性性力力方方向向均均与与加加速速度度a的方向相反，大小分别为：的方向相反，大小分别为：O13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-213-2 滑轮定轴转动，惯性力向转轴滑轮定轴转动，惯性力向

26、转轴O简简化。化。应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢主矢 FI=maO=0主矩主矩 MIO=JO =OABra aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNyOMMI IO O13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-213-2解得解得OABra aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNyO MM* *O O13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-213-2 例题例题13-3飞轮质量为飞轮质量为m，半径为，半径为R，以，以匀角速度匀角速度转动。转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，

27、轮辐质量不计。若不考虑重设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。力的影响，求轮缘横截面的张力。 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-313-3 取取四四分分之之一一轮轮缘缘为为研研究究对对象象，如如图图所所示示。将将轮轮缘缘分分成成无无数数微微小小的的弧弧段段，每段加惯性力每段加惯性力 建立平衡方程建立平衡方程令令 ，有，有解：x xy y R RA AB BO OF FA AF FB B13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-313-3由于轮缘质量均分布，任一截由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。面张

28、力都相同。 再建立平衡方程再建立平衡方程同样解得同样解得x xy y R RA AB BO OF FA AF FB B13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-313-3 例例题题13-5 如如图图所所示示，匀匀质质圆圆盘盘的的半半径径为为r，质质量量为为m，可可绕绕水水平平轴轴O转转动动。突突然然剪剪断断绳绳，求求圆圆盘盘的的角角加加速速度度和和轴轴承承O处处的的反力。反力。 ABrOC13-5 动静法应用举例动静法应用举例ABrOCyxMMIOIO圆盘定轴转动，惯性力向转轴圆盘定轴转动，惯性力向转轴O简化。简化。应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，

29、得主矢主矢 FIt=matC= m r主矩主矩 MIO= JO = FOx +FIn=0m mg gF FOxOxF FOyOyFOy + FItmg= 0FIn=mr2= 0是否可以是否可以？13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-513-5解：解：ABrOCyxMMICIC若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆心若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆心C简化。简化。应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢主矢 FIt=matC= m r主矩主矩 MIC= JC = FOx +FIn=0m mg gF FOxOxF FOyOyFOy + FItmg= 0

30、FIn=mr2= 013-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-513-5 讨论 例例题题 13-6 用用长长 l 的的两两根根绳绳子子 AO 和和 BO 把把长长 l ，质质量量是是 m 的的匀匀质质细细杆杆悬悬在在点点 O (图图 a )。当当杆杆静静止止时时，突突然然剪剪断断绳子绳子 BO ，试求刚剪断瞬时另一绳子，试求刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。的拉力。OlllBAC（a）13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-613-6 绳绳子子BO剪剪断断后后，杆杆AB将将开开始始在在铅铅直直面面内内作作平平面面运运动动。由由于于受

31、受到到绳绳OA的的约约束束，点点A将将在在铅铅直直平平面面内内作作圆圆周周运运动动。在在绳绳子子BO刚刚剪剪断断的的瞬瞬时时，杆杆AB上上的的实实际际力力只只有有绳绳子子AO的拉力的拉力F和杆的重力和杆的重力mg。解：解： 在在引引入入杆杆的的惯惯性性力力之之前前，须须对对杆杆作作加加速度速度分析。取坐标系分析。取坐标系Axyz 如图如图(c)所示。所示。aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anACOl ll lBACm mg gF F（b b）OxyBAC C（c） 利利用用刚刚体体作作平平面面运运动动的的加加速速度度合合成成定定理，以质心理，以质心C作基点

32、，则点作基点，则点A的加速度为的加速度为13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-613-6 在绳在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度刚剪断的瞬时，杆的角速度 = 0 ，角加速度，角加速度 0。因此。因此又又 anA=0，加加速速度度各各分分量量的的方方向向如如图图(c)所所示示。把把 aA 投影到点投影到点A轨迹的法线轨迹的法线 AO上，就得到上，就得到anAC = AC 2 = 0atAC = l2这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。条件。即即（1）Ol ll lBACm mg gF F（b b）OxyBAC C（c）

33、13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-613-6 杆的惯性力合成为一个作用在质心杆的惯性力合成为一个作用在质心的力的力 FIC 和一个力偶和一个力偶MIC ，两者都在运动，两者都在运动平面内，平面内， FIC的两个分量大小分别是的两个分量大小分别是FICx = maCx , FICy = maCy力偶矩力偶矩 MIC 的大小是的大小是MIC = JCz旋向与旋向与相反相反( 如图如图b)。Ol ll lBACm mg gF F（b b）OxyBAC C（c）13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-613-6FICxFICyMIC

34、由动静法写出杆的动态平衡方程，有由动静法写出杆的动态平衡方程，有且对于细杆且对于细杆 , JCz = ml 212 。联立求解方程联立求解方程(1)(4)，就可求出，就可求出（2）（3）（4）Ol ll lBACm mg gF F（b b）OxyBAC C（c）13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-613-6FICxFICyMIC 例例题题13-7 半半径径为为R，重重量量为为W1的的大大圆圆轮轮，由由绳绳索索牵牵引引，在在重重量量为为W2的的重重物物A的的作作用用下下，在在水水平平地地面面上上作作纯纯滚滚动动，系系统统中中的的小小圆圆轮轮重重量量忽忽略略不不

35、计计。求求大大圆圆轮轮与与地地面面之之间间的的滑滑动动摩摩擦力。擦力。A AO OC CWW1 1WW2 2R R13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-713-7 解：解：先先应应用用动动能能定定理理，求求出出加加速速度度，再再对对大大圆圆轮轮应应用动静法。用动静法。 1. 应用动能定理。应用动能定理。AO OC CWW1 1WW2 2R RF FF FN NF FOxOxF FOyOy13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-713-71. 应用动能定理。应用动能定理。两边对时间两边对时间t求导，且求导，且得得AO OC CWW

36、1 1WW2 2R RF FF FN NF FOxOxF FOyOy13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-713-72. 应用动静法。应用动静法。取轮子为研究对象。取轮子为研究对象。C CF FF FN NJ JJC CC WW1 1a a将将 带入上式得带入上式得F FOxOxA AO OC CWW1 1WW2 2R RF FF FN NF FOyOy13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例例题例题例题例题 13-713-7例例13-8 铅铅直直轴轴AB以以匀匀角角速速度度转转动动，轴轴上上固固连连两两水水平平杆杆CD和和EF，两两杆杆分分别别和和转

37、转轴轴形形成成的的平平面面夹夹角角是是，两两杆杆长长度度都都是是l，其其余余尺尺寸寸如如图图14-9所所示示。今今在在两两杆杆端端上上各各固固连连一一小小球球D和和F，它它们们的的质质量量都都是是m，不不计计转转轴轴和和杆杆的的质质量量。试试求求轴轴承承A、B对对轴轴的的动动反力。反力。xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQFFAy13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例 当转轴以匀角速度当转轴以匀角速度转动时，两小转动时，两小球只有法向加速度，其大小是球只有法向加速度，其大小是两小球惯性力的大小是两小球惯性力的大小是方方向向分分别别沿沿CD和和EF，真真实实力

38、力与与惯惯性性力力构构成成空空间间任任意意力力系系，如如图图所所示示。因因对对象象上上的的惯性力是两个集中力，所以不必简化。惯性力是两个集中力，所以不必简化。xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQFFAy13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例解解：取取转转轴轴连连同同两两杆杆和和两两小小球球为为研研究究对对象象。它它所所受受的的真真实实力力有有两两球球的的重重力力G=mg和轴承和轴承A、B的反力。的反力。 取坐标系如图，并根据达朗伯原理列出平衡方程取坐标系如图，并根据达朗伯原理列出平衡方程 xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQFFAy

39、13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例 联立求解上列联立求解上列13个方程，得到轴承的反力个方程，得到轴承的反力是是（1）13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例 上上述述解解答答式式中中，不不含含2的的项项是是转转子子（机机器器中中的的转转动动部部件件，本本题题中中是是转转轴轴、杆杆及及小小球球所所组组成成的的转转动动刚刚体体）静静止止时时的的静静反反力力；而而含含2的的项项是是转转子子匀匀速速转转动动时时的的惯惯性性力力引引起起的的附附加加动动反反力力，它们的反作用力是轴承所受的，它们的反作用力是轴承所受的附加动压力附加动压力。 讨讨讨讨 论论论论 转转子子匀匀速速转转动

40、动时时的的附附加加动动压压力力随随的的增增大大而而急急剧剧增增大大（与与2成成比比例例），且且其其在在空空间间的的方方向向随随时时间间而而周周期期性性变变化化它它将将影影响轴承的使用寿命，并引起周围物体的振动。响轴承的使用寿命，并引起周围物体的振动。13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例 (2) 为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本例的如下两种特例：例的如下两种特例： 1. 当当=时，由式（时，由式（1），有），有13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQF

41、FAy (2) 为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本例的如下两种特例：例的如下两种特例： 1.当当=时，由式（时，由式（1），有），有 事事实实上上，当当=时时，转转子子质质心心在在转转轴轴上上，从从而而转转子子惯惯性性力力主主矢矢等等于于零零，使使得得附附加加动动压压力力中中由由惯惯性性力力主主矢矢引引起起的的部部分分得得以以消消除除。注注意意到到质质心心在在转转轴轴上上的的转转子子若若除除自自身身重重力力外外不不受受其其他他主主动动力力作作用用，则则转转子子可可在在任任意意放放置置的的位位置置上上静静止止平平衡衡，所所以以这这种种

42、质心在转轴上的情况称为质心在转轴上的情况称为静平衡静平衡。13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例 可可以以看看出出，式式（2）中中的的第第二二式式表表示示了了两两小小球球惯惯性性力力所所形形成成的的力力偶偶所所引引起起的的附附加加动动反反力力。一一般般也也如如此此，即即仅仅静静平平衡衡的的转转子子，还还不不能能完全消除附加动反力。完全消除附加动反力。13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例当当=时，由式（时，由式（1），有），有(2)xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQFFAy 2. 当当=时时，且且h=2a时时，由式（由式（2）有）有(3)13-5

43、 13-5 动静法应用举例动静法应用举例当当=时，由式（时，由式（1），有），有(2)xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQFFAy即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯性即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯性力自成平衡的情况称为力自成平衡的情况称为动平衡动平衡。 动动平平衡衡在在工工程程技技术术中中有有重重要要意意义义。为为了了使使高高速速旋旋转转部部件件，如如陀陀螺螺仪仪的的转转子子、航航空空发发动动机机的的转转子子等等工工作作时时的的附附加加动动压压力力减减小小到到允允许许的的范范围围之之内内，常常常常要要在在专专门门的的动动平平

44、衡衡试试验验机机上上进进行行试试验验，并并在在转转子子上上适适当当的的位位置置作作质质量量配配置置，使使转转子子质质心心的的偏离、惯性力的大小都控制在允许的范围内。偏离、惯性力的大小都控制在允许的范围内。13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯性力自成平衡的情况称为性力自成平衡的情况称为动平衡动平衡。 为为检检查查刚刚体体是是否否静静平平衡衡，通通常常采采用用静静平平衡衡架架，将将刚刚体体的的转转轴轴放放在在两两个个水水平平支支撑撑上上。若若质质心心在在转转轴轴上上，则则刚刚体体

45、可可静静止止在在任任何何位位置置随随遇遇平平衡衡。若若质质心心不不在在轴轴线线上上，刚刚体体就就只只能静止在质心能静止在质心C最低时的稳定位置上如图。最低时的稳定位置上如图。 静平衡的检查静平衡的检查静不平衡的转子静不平衡的转子静不平衡的转子静不平衡的转子静平衡的转子静平衡的转子静平衡的转子静平衡的转子13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例 静平衡的检查静平衡的检查静平衡的转子静平衡的转子静平衡的转子静平衡的转子13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例静平衡的刚体并不一定也是动平衡。静平衡的刚体并不一定也是动平衡。 静静平平衡的刚体转动时，惯性力的主矢必等于零。因此，衡的刚体

46、转动时，惯性力的主矢必等于零。因此，如果这刚体不是动如果这刚体不是动平平衡的，那么它的惯性力只能合成为一个衡的，那么它的惯性力只能合成为一个力偶。力偶。 动平衡的检查动平衡的检查13-5 13-5 动静法应用举例动静法应用举例2. 质质点点的的达达朗朗贝贝尔尔原原理理：质质点点上上除除了了作作用用有有主主动动力力F和和约约束束力力FN外外，如如果果假假想想地地认认为为还还作作用用有有该该质质点点的的惯惯性性力力F*，则则这这些些力力在在形形式式上上形形成成一一个个平平衡衡力力系，即系，即 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理本本 章章 小小 结结1. 设质点的质量为设质点的质量为m，加速

47、度为，加速度为a，则质点的惯性力，则质点的惯性力F*定义为定义为 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理本本 章章 小小 结结3. 质质点点系系的的达达朗朗贝贝尔尔原原理理：质质点点系系中中每每个个质质点点上上都都假假想想地地加加上上各各自自的的惯惯性性力力FIi，则则质质点点系系的的所所有有外外力力FIi（e）和和惯惯性性力力FIi，在在形形式式上上形形成成一一个个平平衡衡力系，可以表示为力系，可以表示为 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理本本 章章 小小 结结（1 1）刚体平移，惯性力系向质心）刚体平移，惯性力系向质心C简化，主矢与主矩为简化，主矢与主矩为 （2 2）刚刚体体绕

48、绕定定轴轴转转动动，如如果果刚刚体体有有质质量量对对称称平平面面，且且此此平平面面与与转转轴轴z z垂垂直直，则则惯惯性性力力系系向向此此质质量量对对称称平平面转轴面转轴z z的交点的交点O O简化，主矢与主矩为简化，主矢与主矩为 4. 刚体惯性力系的简化结果：刚体惯性力系的简化结果：第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理本本 章章 小小 结结（3 3）刚刚体体作作平平面面运运动动，若若此此刚刚体体有有一一质质量量对对称称平平面面，且且此此平平面面作作同同一一平平面面运运动动，惯惯性性力力系系向质心向质心C简化，主矢与主矩为简化，主矢与主矩为 式中式中JC为对过质心且与质量对称平面垂直的轴为对过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动转量。的转动转量。