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1、高一数学第一学期函数压轴（大题）练习（含答案）1 （本小题满分12 分）已知x满足不等式211222(log)7log30xx，求22( )loglog42xxf x的最大值与最小值及相应x值2. （14 分）已知定义域为R的函数2( )12xxaf x是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求实数k的取值范围；3. （本小题满分10 分）已知定义在区间( 1,1)上的函数2( )1axbfxx为奇函数 , 且12()25f. (1) 求实数a,b的值；(2) 用定义证明 : 函数( )f x在区间
2、( 1,1)上是增函数；(3) 解关于t的不等式(1)( )0f tf t. 4. (14 分) 定义在 R上的函数 f(x)对任意实数 a,bR, 均有 f(ab)=f(a)+f(b)成立， 且当 x1 时,f(x)0，(1) 求 f(1) (2)求证： f(x) 为减函数。 (3) 当 f(4)= -2时，解不等式1)5()3(fxf5. （本小题满分12 分）已知定义在1 ，4 上的函数 f(x) x2-2bx+4b(b 1) ，(I) 求 f(x) 的最小值 g(b) ；(II)求 g(b) 的最大值M 。6.（12分）设函数( )log (3 )(0,1)af xxa aa且，当点(
3、 , )P x y是函数( )yf x图象上的点时，点(2 ,)Q xay是函数( )yg x图象上的点 . （1）写出函数( )yg x的解析式；（2）若当2,3xaa时，恒有|( )( ) |1f xg x ,，试确定a的取值范围；（3） 把( )yg x的图象向左平移a个单位得到( )yh x的图象，函数1( )2 2 ( )( )( )2h xh xh xF xaaa，（0,1aa且）在1,44的最大值为54，求a的值 . 7. （12 分）设函数124( )lg()3xxaf xaR. （1）当2a时，求( )fx的定义域；（2）如果(, 1)x时，( )f x有意义，试确定a的取值
4、范围；（3）如果01a，求证：当0x时，有2 ( )(2 )f xfx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页8. （本题满分14 分）已知幂函数(2)(1)( )()kkfxxkz满足(2)(3)ff1，所以 f(k)x 所以 kxx,f(kx)f(x)对 xR+恒成立，所以f(x) 为 R+上的单调减函数法二：设2121,0,xxxx且令1,12kkxx则)()()()()()()()(212121kfxfkfxfkxfxfxfxf有题知， f(k)0)()(0)()(2121xfxfxfxf即所以 f(x) 在
5、（ 0，+）上为减函数法三：设2121,0,xxxx且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页)()()()()(12121121xxfxxxfxfxfxf0)(11212xxfxx)()(0)()(2121xfxfxfxf即所以 f(x) 在（ 0，+）上为减函数5 解： f(x)=(x-b)2-b2+4b的对称轴为直线xb（ b 1） ，(I) 当 1b4 时， g(b) f(b) -b2+4b; 当 b4 时， g(b) f(4)16-314b，综上所述， f(x)的最小值 g(b) 2 (14)43116 (4)
6、4bbbbb 。(II) 当 1b4 时， g(b) -b2+4b-(b-18)2+164，当 b1 时， M g(1) -34；当 b4 时， g(b) 16-314b是减函数， g(b) 16-3144-15 -34，综上所述， g(b) 的最大值 M= -34。6.解： （1）设点Q的坐标为(,)xy，则2 ,xxa yy，即2 ,xxa yy。点( , )P x y在函数log (3 )ayxa图象上log ( 23 )ayxaa，即1logayxa1( )logag xxa(2) 由题意2,3xaa，则3(2)3220xaaaa，110(2)xaaa. 又0a，且1a，01a221|
7、( )( ) | | log (3 )log| |log (43) |aaaf xg xxaxaxaxa( )( )1f xg x ,221log (43)1axaxa剟01a22aa，则22( )43r xxaxa在2,3aa上为增函数，函数22( )log (43)au xxaxa在2,3aa上为减函数，从而max ( )(2)log (44 )au xu aa。min ( )(3)log (96 )au xu aalog (96 )101,log (44 )1aaaaa又则,957012a ,（3）由（ 1）知1( )logag xxa，而把( )yg x的图象向左平移a个单位得到( )
8、yh x的图象，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页1( )loglogaah xxx，1l1()()2aaxxhxhFxa即22( )(21)F xa xax，又0,1aa且，( )F x的对称轴为2212axa，又在1,44的最大值为54，令221142aa242026()26aaaa舍去 或；此时( )F x在1,44上递减，( )F x的最大值为2255111()(21)81604(26,)441644Faaaaa，此时无解；令22211148210422aaaaa， 又0 ,1aa且， 102a； 此时(
9、 )F x在1,44上递增，( )F x的最大值为214 255(4)1684444Faaa，又102a，无解；令222262642021141182104242aaaaaaaaa或剟,剟剠且0,1aa且12612aa且剟，此时( )F x的最大值为222242(21)(21)2155()44242aaaFaaaa222(21)541044aaaa，解得：25a，又12612aa且剟，25a；综上，a的值为25. 7 解： （1）当2a时，函数( )f x有意义，则12240122403xxxx，令2xt不等式化为：2121012ttt，转化为12102xx，此时函数( )f x的定义域为(,
10、0)（2）当1x时，( )f x有意义， 则124121101240()3442xxxxxxxxaaa，令11()42xxy在(, 1)x上单调递增，6y，则有6a ；（3）当0ax时，22222(124)1241242( )(2 )2loglglg333(124)xxxxxxxxaaaf xfxa，设2xt，0x，1t且01a，则2224232(124)3(124)(3 )2(22)2(1)xxxxaataaattat4223222222(3)2(22)2(1)(1)(1)(1)0taaattatattatt2( )(2 )f xfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
11、总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页8 解: （）23ff，21012,kkk,0kZk或1k；当0k时，2fxx，当1k时，2fxx；0k或1k时，2fxx（）2121211g xmf xmxmxmx，0m，g x开口方向向下，对称轴2111122mxmm又01,gg x在区间，上的最大值为，111022152 61522mmgmm562m9. （）函数( )yf x的图象经过(3,4)P3-14a，即24a. 又0a，所以2a. （）当1a时，1(lg)( 2.1)100ff; 当01a时，1(lg)( 2.1)100ff因为，31(lg)( 2)100ffa，3.1(
12、 2.1)fa当1a时，xya在(,)上为增函数，33.1，33.1aa. 即1(lg)( 2.1)100ff. 当01a时，xya在(,)上为减函数，33.1，33.1aa. 即1(lg)( 2.1)100ff. （）由(lg)100fa知，lg1100aa. 所以，lg1lg2aa（或lg1log 100aa）. (lg1) lg2aa. 2lglg20aa，lg1a或lg2a，所以，110a或100a. 10(1) 因为( )yf x为偶函数，所以,()()xfxfxR，即99log (91)log (91)xxkxkx对于xR恒成立 . 于是9999912log (91)log (91
13、)loglog (91)9xxxxxkxx恒成立 , 而x不恒为零，所以12k. -4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页(2) 由题意知方程911log (91)22xxxb即方程9log (91)xxb无解 . 令9( )log (91)xg xx，则函数( )yg x的图象与直线yb无交点 . 因为99911( )loglog199xxxg x任取1x、2xR，且12xx，则12099xx，从而121199xx. 于是129911log1log199xx，即12()()g xg x，所以( )g x在,上是单
14、调减函数. 因为1119x，所以91( )log109xg x. 所以b的取值范围是, 0 . - 6 (3) 由题意知方程143333xxxaa有且只有一个实数根令30xt，则关于t的方程24(1)103atat( 记为 (*)有且只有一个正根. 若a=1，则34t，不合 , 舍去；若1a，则方程 (*) 的两根异号或有两相等正跟. 由304a或 3；但3142at，不合，舍去；而132at；方程 (*) 的两根异号1101.aa综上所述，实数a的取值范围是 3(1,) - 6 11.(1)解,A B两点纵坐标相同故可令( )7(3)(5)f xa xx即( )(3)(5)7f xa xx将
15、(2,8)C代入上式可得1a2( )(3)(5)728f xxxxx 4 分(2)由2( )28f xxx可知对称轴1x1） 当11t即0t时( )yfx在区间,1t t上为减函数2max( )( )28f xf ttt22min( )(1)(1)2(1)89f xf tttt 6 2） 当1t时，( )yf x在区间,1t t上为增函数22max( )(1)(1)2(1)89f xf tttt2min( )( )28f xf ttt 8 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页3）当11 10tt即102t时2max
16、( )( )28f xf tttmin( )(1)9f xf 10 分4）当011 1tt即112t时22max( )(1)(1)2(1)89f xf ttttmin( )(1)9f xf 12 分12.( 本小题满分 14 分) 已知函数xxaxf22)(,且)(xf为奇函数( ) 求 a 的值 ; ( ) 定义 : 若函数0),0( ,)(xaxaxxg, 则函数)(xg在,0(a上是减函数 , 在),a是增函数 . 设2)1()()(xfxfxF, 求函数)(xF在 1 , 1x上的值域解： （）函数f（x）的定义域为R，)(xf为奇函数， f （0）=0， 1+a=0，a=-1 3 分
17、( ) 2)1()()(xfxfxF=22122221221211xxxxxx 3 分设2xt，则当 1 , 1x时，1,22t， 3 分1122ytt当1,22t时，函数1122ytt单调递减；当2, 2t时，函数1122ytt单调递增； 2 分当2t时， y 的最小值为22当21t时，417y，当2t时，27y，y 的最大值为417 2 分函数)(xF在1 , 1x上的值域是417,22。 1 分13.( 本小题满分 16 分) 设0a,0b, 已知函数( )1axbf xx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11
18、页( ) 当ab时, 讨论函数( )f x的单调性 ( 直接写结论 ); ( ) 当0x时,(i)证明2)()()1(abfabff; (ii)若abxfbaab)(2,求x的取值范围 . 解： （）由1)(xabaxf，得当ba时，)(xf分别在, 1,1,上是增函数； 2 分当ba时，)(xf分别在, 1,1,上是减函数； 2 分（） （i ）2)1 (baf，ababbabaabfbaababf1)(,2)( 2 分2)()()1(abfababff，2)()()1(abfabff 1 分（ii ）abxfbaab)(2由（ i ）可知，)()()(abfxfabf， 2 分当ba时，a
19、xf)(，H=G=a ，x的取值范围为0x. 2 分当ba时，1ab，abab由（）可知，)(xf在,0上是增函数，x的取值范围为abxab 2 分当ba时，1ab，abab由（）可知，)(xf在,0上是减函数，x的取值范围为abxab 2 分综上，当ba时，x的取值范围为0x；当ba时，x的取值范围为abxab；当ba时，x的取值范围为abxab。 1 分14.( 本小题满分 16 分) 设函数)1 (lg)(22xaaxxf的定义域区间为I, 其中0a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页( ) 求I的长度)
20、(aL( 注: 区间(,)的长度定义为); ( ) 判断函数)(aL的单调性 ,并用单调性定义证明; ( ) 给定常数(0,1)k,当kka1 ,1时, 求区间I长度)(aL的最小值 . 解： （）由0)1(22xaax，得210aax， 2 分)1,0(2aaI21)(aaaL。 1 分（）)(aL在1 ,0上是增函数，在, 1上是减函数， 1 分设1021aa，则)1)(1()1)(11)()(2221212122221121aaaaaaaaaaaLaL 2 分1021aa，01 ,02121aaaa，)()(21aLaL 2 分)(aL在1 ,0上是增函数 1 分同理可证，)(aL在, 1上是减函数 1 分（）(0,1)k，11 , 110kk 1 分由（）可知，)(aL在1 ,1k上是增函数，在k1 , 1上是减函数)(aL的最小值为)1 (),1 (kLkL中较小者； 2 分0)1(1)1 (1 2)1(1)1 (1)1)(1 (1)2()1()1(22322kkkkkkkkkLkL 2 分)(aL的最小值为2212kkk 1 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
