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1、学习必备欢迎下载实变函数论主要知识点第一章集合1、 集合的并、交、差运算;余集和De Morgan 公式;上极限和下极限;练习:证明ABCABC;证明11nE faE fan;2、 对等与基数的定义及性质;练习:证明(0,1);证明(0,1)0,1;3、 可数集的定义与常见的例;性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用;可数集合的基数;练习:证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个;证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集;Q;0,1 中有理数集E的相关结论;4、 不可数集合、连续基数的定义及性质;练习:(0,1);P( P为 Cantor 集) ;精选学习资料 - - -
2、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载第二章点集1、度量空间, n 维欧氏空间中有关概念度量空间 (Metric Space) ,在 数学 中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。n 维欧氏空间 : 设 V 是实数域R 上的线性空间 (或称为向量空间) ,若 V 上定义着正定对称双线性型g( g 称为内积),则 V 称为(对于g 的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当 V 是有限维时,才称为欧几里德空间)。具体来说, g 是 V 上的二元实值函数,满足如下关系:(1)g(x,y)=g(y,x);(2)g(x+y,
3、z)=g(x,z)+g(y,z);(3)g(kx,y)=kg(x,y);(4)g(x,x)=0 ,而且 g(x,x)=0 当且仅当x=0 时成立。这里 x,y,z 是 V 中任意向量,k 是任意实数。2、,聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法);开核,导集,闭包的概念、性质及判定(求法);聚点 :有点集E,若在复平面上的一点z 的任意邻域都有E 的无穷多个点,则称 z 为 E 的聚点。内点 :如果存在点P 的某个邻域U(P) E,则称 P 为 E 的内点。3、开集、闭集、完备集的概念、性质;直线上开集的构造;4、Cantor 集的构造和性质;精选学习资料 - - - - - - - - -
4、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载5、练习:P,P,P;111,2n= ;第三章测 度 论1、 外测度的定义和基本性质(非负性,单调性,次可数可加性);2、 可测集的定义与性质(可测集类关于可数并,可数交,差,余集,单调集列的极限运算封闭) ;可数可加性(注意条件);3、 零测度集的例子和性质;4、 可测集的例子和性质;练习:mQ,mP;零测度集的任何子集仍为零测度集;有限或可数个零测度集之和仍为零测度集;0,1 中有理数集E的相关结论;5、存在不可测集合;第四章可 测 函 数1、可测函数的定义,不可测函数的例子;练习:第四章习题3;2、可测函数与
5、简单函数的关系;可测函数与连续函数的关系(鲁津定理);3、叶果洛夫定理及其逆定理;练习:第四章习题7;4、依测度收敛的定义、简单的证明;5、具体函数列依测度收敛的验证;6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系,两者互不包含的例子;第五章积 分 论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载1、非负简单函数L 积分的定义;练习:Direchlet 函数在1上的 L 积分2、可测函数L 积分的定义(积分确定;可积);基本性质(5.4 定理 1 和定理 2 诸条) ;3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用;4、
6、L 积分的绝对连续性和可数可加性(了解);5、Riemann 可积的充要条件;练习:0,1上的 Direchlet 函数不是R-可积的;6、Lebesgue 可积的充要条件: 若f是可测集合E上的有界函数, 则f在E上 L-可积f在E上可测;练习:0,1上的 Direchlet 函数是 L-可积的;设3,( )10,xxf xx为无理数为有理数,则( )f x在0,1上是否R可积,是否L可积,若可积,求出积分值。例 1、求由曲线2cos,sin22所围图形公共部分的面积解:两曲线的交点65,22,6,2260462d2cos21dsin2212Sd)2cos1(60+46d2cos21362s
7、in212sin214660例 2. 边长为 a 和 b(ab) 的矩形薄片斜置欲液体中, 薄片长边 a 与液面平行位于深为h 处, 而薄片与液面成角 , 已知液体的密度为, 求薄片所受的压力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载解: 取 x 为积分变量 , 变化区间为 h,h+bsin 从中取 x,x+dx知道面积元素sindxadS压力元素sindxxadP, 则)sin21(sin1sinsinsinbhabxdxadxxaPbhhbhh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页