《2022年高三第二轮复习专题五立体几何文科》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三第二轮复习专题五立体几何文科（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载2015 春高三第二轮复习专题五立体几何文科（教）一、选择题1(高三第三次模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是 AB 的中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几何体F-AMCD 内的概率为 () A.13B.12C.23D.34【解析】 选 B.题中的多面体的体积是123329，几何体F-AMCD 的体积是13 321213 392，因此所求的概率等于921912，故选 B. 2(高考新课标全国卷)如图， 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm， 将一个球放在容器口，再向容器内注水， 当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球
2、的体积为() A.5003cm3B.8663cm3 C.1 372 3cm3D.2 048 3cm3解析：如图，作出球的一个截面，则 MC862(cm)，BM 12AB12 84(cm)设球的半径为R cm，则 R2OM2MB2(R2)242， R5，V球43 535003(cm3)选 A.3设,为两个不重合的平面，,l m n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若/ /,l则/ /l; 若,/ /,/ /,mnmn则/ /若/ /,ll则; 若,m n是异面直线，/ /,/ /,mn且,lm ln则l其中真命题的序号是（）ABCD【答案】 A4、已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点
3、均在同一个球面上，则该球的体积为（） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载A BCD【解析】由题意可知棱柱底面所在截面圆的半径为，球心与截面圆圆心距离为，所以有，所以故选 D5如图所示，正方体ABCDA B C D的棱长为1，,E F分别是棱AA，CC的中点，过直线,E F的平面分别与棱BB、DD交于,M N，设,0,1BMx x，给出以下四个命题：（ 1）平面MENF平面BDD B；（ 2）当且仅当12x时，四边形MNEF的面积最小；（ 3）四边形MENF周长( ),0,1Lf x x是单调函数；（
4、 4）四棱锥CMENF的体积( )Vh x为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A （1） （4）B （2）C （3）D （3） （4）【解析】 （1） 由于ACEF /，BBACBDAC,， 则DDBB平面AC， 则EF平面BDD B，又因为EF平面MENF，则平面MENF平面BDD B； （2）由于四边形MENF为菱形，MNEFSMENF21，2EF，要使四边形MENF的面积最小，只需MN最小，则当且仅当12x时，四边形MENF的面积最小；（ 3）因为21()12MFx，21( )4 ()12f xx，( )f x在0,1上不是单调函数； （4）CMENFFMC EFCNEVVV，1112
5、4C NESC E，F到平面C ME的距离为1，1 113 412FC MEV，又11124C NESC E，1 113 412FC NEV，1( )6h x为常函数 .故选（ 3） 。 【答案】 C6如图，棱长为1 的正方体ABCD -A1B1C1D1中，P为线段 A1B 上的动点，则下列结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载错误的是（）A11DCD PB平面11D A P平面1A APC1APD的最大值为90D1APPD的最小值为22【解析】111DCDA，11DCBA，1111ABADA，1D
6、C平面11BCDA，PD1平面11BCDA，因此PDDC11，A 正确；由于11AD平面11ABBA，11AD平面PAD11，故面PAD11面APA1，故 B 正确，当2201PA时，1APD为钝角， C 错；将面BAA1与面11BCDA沿BA1展成平面图形，线段1AD即为1PDAP的最小值，利用余弦定理解221AD，故 D 正确，故答案为C 【答案】 C7一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A.B.C.D.【解析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P- ABC，它是一个正四棱锥 P- ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6 的直角三角形，高PE=4
7、设其外接球的球心为O，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R，则在直角三角形BOE 中， BO2=OE2+BE2=（PE- EO）2+BE2，即 R2=（ 4-R）2+（32）2，解得： R=174，故选 C. 【答案】 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载82014 湖北文数 在如图 1-1 所示的空间直角坐标系O -xyz中， 一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为() 图 1-2 A和B和C
8、和D和解析 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是 (0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线 (一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是.故选 D. 9正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且1AE，12BF，将此正方形沿DE、DF折起， 使点A、C重合于点P，则三棱锥PDEF的体积是（）A13B56C2 39D23【解析】因为90 ,DPEDPF所以,DPPE DPPF又因为PE平面PEF,PF平面PEF,且PEPFP,
9、所以DP平面PEF。在PEF中，22223151,1222PEPFEFEBBF。所以222351222cos332 12EPF,225sin133EPF。所以11355sin122234PEFSPE PFEPF。115523346PEFP DEFDPEFVVDP S三棱锥三棱锥，所以应选B. 【答案】 B 10 如图，正方体1111ABCDA BC D的棱长为1，线段11B D上有两个动点,E F且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载22EF，则下列结论中错误的个数是 ( )(1)ACBE;(2) 若
10、P为1AA上的一点 , 则P到平面BEF的距离为22.(3) 三棱锥ABEF的体积为定值; (4) 在空间与111,DDAC BC都相交的直线有无数条.(5) 过1CC的中点与直线1AC所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条 .A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 （1）连接BD, 由1,DDACBDAC，可知AC面11BBDD，而BE面11BBDD, BEAC,(1)正确； （2）由1AA面11BBDD，则P点到面BEF的距离等于A到面11BBDD的距离22， （2）正确； （3）三棱锥BEFA中，底面积是定值，高是定值， 所以体积是定值， （3）正确； (4) 在AC上任取
11、点P，过点P和直线1DD确定面，设面面11BBCC=l，则l与直线11CB必有交点G（若l11CB，则11CB1DD, 矛盾 ), 则直线PG就是所画的直线，因为点P的任意性， 所以这样的直线有无数条，（4）正确；（5）设1CC的中点为O，过点O与1AC所成的角是040的直线，是以与1AC平行的直线为轴的圆锥的母线所在的直线，过点O与面11BBDD所成的角是050的直线，是以过点O且与面11BBDD垂直的直线为轴的圆锥的母线，两圆锥交于两条直线，（5）正确 . 【答案】 A11 （2012?西区模拟） 如图， 已知球 O 是棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1
12、截球 O 的截面面积为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载ABCD解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，ACD1内切圆的半径是 tan30 =，则所求的截面圆的面积是=12已知棱长为l 的正方体1111ABCDABC D中，E，F，M 分别是 AB、AD、1AA的中点， 又 P、 Q 分别在线段11AB11、AD上, 且0111A P= AQ= x, x， 设面MEF面MPQ=l，则下列结论中不成立的是( )A/ /l面 ABCD ;
13、 BlAC ; C面 MEF 与面 MPQ 不垂直 ;D当 x 变化时，l不是定直线 .【答案】 D【解析】 解： 连结1111,AC BD ACB D,AC BD交于点O1111,ACB D交于点1O由正方体的性质知，11111111/ / /,BDB DACACACBD ACB D，因为,E F是,AD AB的中点，所以/ /EFBD；因为11APAQ,所以11/ /PQB D所以/ /PQEF,所以/ /PQ平面MEF,/ /EF平面MPQ,由MEF面 MPQ=l，EF平面MEF，所以/ /EFl，而EF平面ABCD,l平面ABCD,所以，/ /l面 ABCD，所以选项A 正确；由ACB
14、D，/ /EFBD得EFAC而/ /EFl，所以lAC，所以选项B 正确；连111,MB MD O M,则11/ /,O MAC而1111,/ /,/ /ACA B ACBDBDEF ABMF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载所以，11,O MEF O MMF,所以1OM平面MEF，过直线l与平面MEF垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面 MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为/ /EFl，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选项D 不正确考点： 1
15、、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质13在正四棱锥P- ABCD 中， PA=2，直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60， E 为 PC 的中点，则异面直线PA 与 BE 所成角为（）A90B60C45D30【解析】 连接,AC BD交于点O，连接OE,OP。因为E为PC中点， 所以OEPA，所以OEB即为异面直线PA与BE所成的角。因为四棱锥PABCD为正四棱锥，所以POABCD面，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以PAO即为PA与面ABCD所成的角，即=60PAO，因为2PA，所以1OAOB，1OE。所以在直角三角形EOB中=45
16、OEB，即面直线PA与BE所成的角为45。 【答案】 C考点： 1 异面直线所成角；2 线面角； 3 线面垂直。 14 正四面体ABCD，线段 AB/ /平面，E，F 分别是线段AD 和 BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与 EF 在平面上的射影所成角余弦值的范围是（）A 0 ，22 B22，1 C21，1 D21，22【解析】试题分析：如图，取AC 中点为 G，结合已知得GF/ /AB，则线段AB、EF 在平面上的射影所成角等于 GF 与 EF 在平面上的射影所成角，在正四面体中，ABCD，又 GE/ /CD，所以 GEGF,所以222GFGEEF，当四面体绕AB 转
17、动时，因为GF / / 平面，GE 与 GF 的垂直性保持不变，显然， 当 CD 与平面垂直时， GE 在平面上的射影长最短为 0，此时 EF 在平面上的射影11FE的长取得最小值21，当 CD 与平面平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11FE取得最大值22，所以射影11FE长的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载是 21，22，而 GF 在平面上的射影长为定值21，所以 AB 与 EF 在平面上的射影所成角余弦值的范围是22，1.故选 B二、填空题15如图，已知点P是正方体1111A
18、BCDA B C D 的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB与CP所成的角为，则 cos的最小值是【解析】以D 为坐标原点，DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 A（1,0,0）, B（1,1,0）,C（0,1,0）,P （ x,0,1）,其中10x，所以)0, 1 ,0(AB，) 1 , 1,(xCP，所以21,coscos2xCPAB，可知当1x，即P与1A重合时，21cos2x取得最小值且为33.故应填33. 考点：异面直线及其所成的角16、如图，在直三棱柱中，,分别是和的中点，则直线与平面所成角为【解析】取的中点, 连接, 因为在直
19、三棱柱，, 又因为是三角形的中位线，故四边形是平行四边形，所以,过点作垂直于交于，由题意得，即为所求的角 ,如图所示ABCDD1A1B1C1Px y z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载因为，所以，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，故，所以17、三棱锥 SABC 中，SBASCA90 ，ABC 是斜边 ABa 的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线 SB与 AC 所成的角为 90 ； 直线 SB平面 ABC；平面 SBC平面 SAC；点 C 到平面 SAB的距离是12a. 其中正确结论的序号是
20、 _. 解析由题意知 AC平面 SBC，故 ACSB，SB平面 ABC，平面 SBC平面 SAC， 正确；取 AB的中点 E， 连接 CE，(如图)可证得 CE平面 SAB，故 CE 的长度即为 C 到平面 SAB的距离12a，正确 .答案18 （ 20XX年 上 海 ）在xOy平 面 上 , 将 两 个 半 圆 弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分 . 记 D绕 y 轴旋转一周而成的几何体为, 过(0,)(| 1)yy作的水平截面, 所得截面面积为2418y, 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体 , 得出的体积值
21、为 _ 【解答】根据提示，一个半径为1，高为2的圆柱平放，一个高为2，底面面积8的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为22122 821619如图， 在三棱锥ABCD中，2BCDCABAD，2BD，平面ABD平面BCD，O 为BD中点， 点,PQ分别为线段,AOBC 上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载的动点（不含端点） ，且 APCQ ，则三棱锥PQCO 体积的最大值为_【解析】 因为ADAB且O为BD中点，所以AOBD， 因
22、为平面ABD平面BCD，由 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得AO面BCD， 即PO面COQ。 因 为2,2BCDCBD，所以BCD为直角三角形，则1111222222BOCBCDSS，令APCQx01x，则2112212113312122482P QPCQOCBOCxxxVSPOSAPxx，当且仅当1xx即12x时取. 【考点定位】本题考查面面垂直的性质定理、棱锥的体积、基本不等式等知识，意在考查学生的空间想象能力及综合计算能力. 三、解答题20如图，在三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，ACPD于点D，且22ADDC，E为PC上一点，:1: 2PE EC（ 1）求证：；平面 P
23、ABDE /（ 2）；平面求证：平面ABCPDB（ 3）若32ABPD，60ABC，求三棱锥ABCP的体积【答案】（1）参考解析； （2）参考解析； （ 3）3【解析】（1）2,/ /PEADDEPAECDC，,PABDE平面,PABPA平面；平面 PABDE /（ 2）因为平面PAC平面ABC，且平面PAC平面ABCAC，PD平面PAC，ACPD，所以PD平面ABC，又PD平面PAC，所以平面PAC平面ABC（ 3）由（ 2）可知PD平面ABC法一：ABC中，,3AB,60ABC3AC，由正弦定理ABCACACBABsinsin，得1sin2ACB，PABECD精选学习资料 - - - -
24、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载因为 ACAB ，所以ACBABC ，则6ACB，因此2CAB，ABC的面积233332121ABACSABC所以三棱锥ABCP的体积13PABCABCVSPD3法二：ABC中，3AB，60ABC3AC，由余弦定理得：60cos2222BCABBCABAC，所以2360ACAC，所以2 33(ACAC或舍去）ABC的面积233233232160sin21BCABSABC所以三棱锥ABCP的体积13PABCABCVSPD321在直角梯形ABCD中，/ADBC，2BCAD22 2AB，ABBC，如
25、图，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD（ 1）求证：CDAB；（ 2）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；（ 3）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60？若存在，求出BNBC的值；若不存在，请说明理由【答案】 (1) 证明过程详见解析; （ 2）2（3）存在14BNBC【解析】（1）证明：因为/ADBC，2BCAD22 2AB，ABBC，所以2ADAB，222BDABAD，045DBCADB222(2 2)22 2 2cos45CD2，222BDACBC，所以CDBD因为平面ABD平面BCD, 平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD， 又AB平面
26、ABD，所以CDAB。（ 2）由已知条件可得ABAD，2ABAD，所以112ABDSAB AD由（ 1）知CD平面ABD，即CD为三棱锥CABD的高，又2CD，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载13CABDABDVSCD23，由CD平面ABD得到CDAD，设点C到平面ADC的距离为h，则11(22)32BACDVh23h所以2233h，2h，因为点M为线段BC中点，所以点M到平面ACD的距离为22。22已知多面体ABCDFE 中， 四边形 ABCD 为矩形， ABEF，AFBF，平面 ABEF
27、平面 ABCD， O、 M 分别为 AB、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF= 1. （ 1）求证： AF平面 FBC；（ 2）求证： OM平面 DAF；（ 3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 VF-ABCD， VF-CBE，求 VF-ABCDVF-CBE的值 . 【解析】（1）平面ABEF 平面ABCD，平面ABEF平面ABABCD, BC平面ABCD，而四边形ABCD为矩形ABBC,ABEFBC平面.AF平面ABEFAFBC则BBFBCBFAFAFBC,，,FBCAF平面（ 2）取FD中点N，连接ANMN ,，则MNCD，且CDMN21，又四边形A
28、BCD为矩形，MNOA，且OAMN四边形AOMN为平行四边形，OMON又OM平面DAF，ON平面DAFOM平面DAF（ 3）过F作ABFG于G，由题意可得：FG平面ABCD. 所以 :FGFGSVABCDABCDF3231矩形.因为CB平面ABEF, 所以FGCBFGEFCBSVVBFEBFECCBEF61213131所以1:4:CBEFABCDFVV考点：面面垂直,线面垂直 ,线线垂直 ;线面平行的判定;棱锥体积转化及计算. 23在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB/CD，3AC，22ABBC，ACFB（ 1）求证：AC平面FBC；（ 2）求四面体FBCD的体
29、积；（ 3）线段AC上是否存在点M，使EA/ 平面FDM？证明你的结论【解析】 （1） 证明：在ABC中， 因为3AC，2AB，1BC，所以BCAC又因为ACFB，BFBBC所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载AC平面FBC（ 2）解：因为AC平面FBC，所以FCAC因为FCCD，所以FC平面ABCD在等腰梯形ABCD中可得1DCCB，所以1FC所以 BCD的面积为43S. 所以四面体FBCD的体积为：13312FBCDVS FC. （ 3）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA/ 平
30、面FDM，证明如下：连结CE， 与DF交于点N， 连接MN 因为CDEF为正方形， 所以N为CE中点所以EA/MN因为MN平面FDM，EA平面FDM，所以EA/平面FDM所以线段AC上存在点M，使得EA/平面FDM成立考点： 1直线与平面垂直的判定；2棱柱、棱锥、棱台的体积；3直线与平面平行的判定24如图，在三棱锥P-ABC 中， PA平面 ABC，AC BC，D 为侧棱 PC 上一点，它的正 (主)视图和侧 (左)视图如图所示(1)证明： AD 平面 PBC；(2)求三棱锥D-ABC 的体积；(3)在 ACB 的平分线上确定一点Q，使得 PQ平面 ABD，并求此时PQ 的长【解】 (1)证明
31、： 因为 PA平面 ABC，所以 PABC.又 ACBC，PAACA，所以 BC平面PAC，所以BCAD.由三视图可得，在PAC 中， PAAC4，D为 PC 的中点，所以ADPC，又 BCPCC，所以 AD 平面 PBC. (2)由三视图可得BC4，由 (1)知 ADC90 ，BC平面 PAC. 又三棱锥D-ABC 的体积即为三棱锥B-ADC 的体积，所以，所求三棱锥的体积V13122 22 24163. (3)取 AB 的中点 O，连接 CO 并延长至Q，使得 CQ2CO，点 Q 即为所求连接 OD，因为 O 为 CQ 的中点，所以PQOD，因为 PQ?平面 ABD，OD? 平面 ABD，
32、所以 PQ平面 ABD. 连接 AQ、BQ，四边形ACBQ 的对角线互相平分，所以 ACBQ 为平行四边形，所以AQ4.又 PA平面 ABC，所以在直角三角形PAQ 中， PQAP2AQ242. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载25、(2014 长沙模拟 ) 一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M，N 分别是 AF，BC 的中点)(1)求证： MN平面 CDEF；(2)求多面体 ACDEF 的体积解由三视图可知： ABBCBF2，DECF2 2，CBF2. (1)证明：取 BF 的中点 G
33、，连接 MG，NG，由 M，N 分别为 AF，BC 的中点可得， NGCF，MGEF，且 NGMGG，CFEFF，平面 MNG平面 CDEF，又 MN? 平面 MNG，MN平面 CDEF. (2)取 DE 的中点 H.ADAE，AHDE，在直三棱柱 ADEBCF 中，平面 ADE平面 CDEF，平面 ADE平面 CDEFDE.AH平面 CDEF. 多面体 ACDEF 是以 AH 为高，以矩形 CDEF 为底面的棱锥，在 ADE中，AH2.S矩形CDEFDE EF4 2，棱锥 ACDEF 的体积为 V13 S矩形CDEF AH134 2283. 26、(2013 泉州模拟 )如图所示，在直四棱柱
34、ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点 M 是棱 BB1上一点(1)求证： B1D1平面 A1BD；(2)求证： MDAC；(3)试确定点 M 的位置，使得平面DMC1平面 CC1D1D. (1)证明由直四棱柱，得BB1DD1，又 BB1DD1，BB1D1D 是平行四边形， B1D1BD.而 BD? 平面 A1BD， B1D1?平面 A1BD， B1D1平面 A1BD. (2)证明BB1平面 ABCD，AC? 平面 ABCD，BB1AC. 又BDAC，且 BDBB1B，AC平面 BB1D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
35、 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载而 MD? 平面 BB1D，MDAC. (3)解当点 M 为棱 BB1的中点时，平面 DMC1平面 CC1D1D. 证明如下：取DC 的中点 N，D1C1的中点 N1，连接 NN1交 DC1于 O，连接OM，如图所示 N 是 DC 的中点， BDBC，BNDC.又DC 是平面ABCD 与平面 DCC1D1的交线，而平面ABCD平面 DCC1D1，BN平面 DCC1D1.又可证得 O 是 NN1的中点，BMON 且 BMON，即 BMON 是平行四边形BNOM.OM平面 CC1D1D. OM? 平面 DMC1，平面 DMC1平面 CC1D1D.27.201
36、4?北京卷 如图， 正方形AMDE的边长为2，CB,分别为MDAM ,的中点， 在五棱锥ABCDEP中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PCPD,分别交于点HG,.（1）求证：FGAB /；（2）若PA底面ABCDE，且PEAF，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长 . 解： （I）在正方形中，因为B 是 AM 的中点，所以ABDE。又因为AB平面 PDE，所以AB平面 PDE，因为AB平面 ABF ，且平面ABF平面PDFFG，所以ABFG. （）因为PA底面ABCDE, 所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(1,0,0)B,(2,1,
37、0)C,(0,0, 2)P,(0,1,1)F,BC(1,1,0). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载设平面 ABF 的法向量为( , , )nx y z，则0,0,n ABn AF即0,0.xyz令1,z，则1y。所以(0,1,1)n，设直线BC 与平面ABF所成角为a,则1sincos,2n BCan BCn BC.因此直线BC 与平面 ABF 所成角的大小为6. 设点 H 的坐标为( , ,).u v w因为点 H 在棱 PC 上，所以可设(01),PHPC即( , ,2)(2,1, 2).u v w。所以2 ,22uvw. 因为n是平面 ABF 的法向量，所以0n AB，即(0,1,1) (2 ,22 )0。解得23，所以点H 的坐标为4 2 2(,).3 3 3所以222424( )( )()2333PH. 【考点定位】线面垂直二面角勾股定理菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
