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1、学习必备欢迎下载教案普通高中课程标准选修2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质(第一课时)教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、 椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上,进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。(可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。)通过本节课的学习,使学生深刻理解双曲线的几何性质,体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。二、教学目标(一)知识与技能 1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。 2、理解双曲线的渐近线。(二)过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法, 用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质
2、,从而培养学生的观察能力、联想类比能力。(三)情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程,深刻认识“数”与“形”的关系,培养学生勇于攀登科学高峰的精神。三、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。四、教学过程( 一) 课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程,并由标准方程推导出椭圆的几何性质,椭圆的几何性质有哪些? (教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质,双曲线及其标准方程。 )今天我们以标准方程为工具,研究双曲线的几何性质。【板书】 :双曲线)0, 0(12222babyax的性质2、双曲线有哪些性质呢?(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。)3、双曲线的这些性质具体是什么
3、?如何推导?请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法,推导出双曲线的几何性质。 (讨论)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备欢迎下载(二)双曲线的性质1、范围:把双曲线方程12222byax变形为22221byax。因为022by,因此122ax,即22ax,所以axax或。又因为022by,故Ry。【板书】 :1、范围:axax或,Ry。2、对称性:下面我们来讨论双曲线的的对称性,哪位同学能根据双曲线12222byax的标准方程,判断它的对称性?在标准方程中,把x换成x,或把 y 换成y,或把x, y 同时换成x
4、,y时,方程都不变,所以图形关于y 轴、x轴和原点都是对称的。【板书】 :2、对称性:双曲线的对称轴是x轴、 y轴,原点是它的对称中心。3、顶点:提问: (1)双曲线有几个顶点?顶点的坐标是什么?在标准方程12222byax中,令0y得ax;令0x,则y无解。这说明双曲线有两个顶点,)0,(),0,(21aAaA。(2)如图,对称轴上位于两顶点间的线段21AA叫做双曲线12222byax的实轴,其长度o2B1B2A1Ayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页学习必备欢迎下载为a2 。尽管此双曲线与y 轴无公共点,但y
5、轴上的两个特殊的点),0(),0(21bBbB。我们称线段21BB为双曲线的虚轴,其长度为b2 。【板书】 : 3、 顶点:)0 ,(),0 ,(21aAaA, 称21AA为实轴,21BB为虚轴,其中),0(),0(21bBbB。特别地,当ba时,双曲线12222byax的实轴长与虚轴长相等,称其为等轴双曲线222ayx。4、离心率【板书】 :4、定义双曲线的焦距与实轴长的比ace,叫做双曲线的离心率。提问: (1)双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同?(2)双曲线的形状与离心率有什么关系?由等式222bac,可知:2222222211abababaacace【板书】 :双曲线的离心率1e且
6、e越大双曲线的开口就越开阔。5、渐近线:提问: (1)椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面,因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据,那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢?谁能比较准确地画出双曲线?在第一象限内双曲线12222byax可以化为22axaby,是增函数。因为222xax,所以xabxabaxaby222,即xaby,这个不等式意味着什么?(它表示直线xaby下方半个平面区域。)(用刚才作矩形的方法画出两条直线xaby,然后指出区域。)由于双曲线和直线xaby都关于坐标轴对称,所以双曲线(两支)在直线xaby之间,这
7、样,我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。提问: (2)直线xaby与双曲线12222byax有什么联系呢?(用几何画板课件演示) :精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页学习必备欢迎下载随着x无限增大时,点),(yxM到直线xaby的距离就无限趋于零。【板书】 :5、渐近线:直线xaby叫做双曲线)0,0(12222babyax的渐近线;直线xbay叫做双曲线)0, 0( 12222babxay的渐近线。练习:求下列双曲线的渐近线方程(写成直线的一般式)。(1)369422yx的渐近线方程是:032yx(2)36942
8、2yx的渐近线方程是:032yx(3)10042522yx的渐近线方程是:025yx(4)10042522yx的渐近线方程是:025yx可以发现,双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。(启发学生讨论,归纳) 。把双曲线方程中的常数项改为零,会怎样呢?02222byax,即0byaxbyax,这就表示两条渐近线00byaxbyax或。【板书】 :结论:把双曲线标准方程中等号右边的1 改成 0,然后变形,即可得其渐近线方程。(三)小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页学习必备欢迎下载标准方程)0,0(12222bab
9、yax)0, 0( 12222babxay图形性质焦点)0,(,021cFcF),(),0(), 0(21cFcF范围axax或,RyRxayay,或对称性关于x轴,y轴,原点都对称顶点)0,(),0,(21aAaA),0(),0(21aAaA离心率1ace渐近线xabyxbay(四)典型例题与变式训练例1、求双曲线14416922xy的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。解:把方程14416922xy化为标准方程1342222xy由此可知,半实轴长4a,半虚轴长3b;5342222bac焦点坐标是)5,0(),5,0(;离心率45ace;渐近线方程为xy34。归纳总结:首先把方
10、程化为标准方程,看准焦点在哪条轴上,得到a,b,c 的值,再由双曲线的几何性质求解。2A1A2F1FOyxo2B1B2A1Ayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页学习必备欢迎下载【变式训练】:求双曲线14416922xy的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例2、 求适合下列条件的双曲线标准方程(1) 顶点在x轴上,虚轴长为12,离心率为45;(2) 顶点间距离为 6,渐近线方程为xy23;解: (1)设双曲线的标准方程为12222byax)0,0(ba。由题意知122b,45ac且222bac。,8,
11、10,6acb所求双曲线方程为1366422yx。(2)当焦点在x轴上时,由23ab且3a,29b。所求双曲线方程为1814922yx当焦点在 y 轴上时,由23ba且3a,2b。所求双曲线方程为14922xy归纳总结:首先观察条件能否确定焦点位置,再采用待定系数法设出所求双曲线的标准方程,在由条件求出 a,b,c 即可。【变式训练】:2、求符合下列条件的双曲线的标准方程:(1) 顶点在x轴上,两顶点间的距离是8,45e;(2) 焦距是 16,34e。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页学习必备欢迎下载(五)课堂总结(
12、六)作业: 教材第 61页:习题 2.3 ,第 2、3 两题。五、板书设计椭圆双曲线图形标准方程)0(12222babyax)0,0(12222babyax范围bybaxa,axax或,Ry对称性关于x轴,y轴,原点都对称关于x轴,y轴,原点都对称顶点),0(),0,(ba)0,( a离心率10ace1ace渐近线无xaby1、范围:axax或,Ry。2.3.2 双曲线的简单几何性质双曲线)0,0( 12222babyax的性质2、对称性: 双曲线的对称轴是x轴、y轴,3、顶点:)0 ,(),0 ,(21aAaA,称21AA为实轴,21BB为虚轴,其中),0(),0(21bBbB。4、渐近线:
13、直线xaby叫做例题课堂训练5、结论:o2B1B2A1Ayx2F1Foyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页学习必备欢迎下载六、课堂设计说明1、本节课的内容是通过双曲线标准方程推导研究双曲线的几何性质,采用类比椭圆的几何性质的推导方法,让学生自己推导出双曲线的几何性质。在教学中,凡是经过努力学生自己能得到的结论应该让学生自己得到,这样有利于调动学生学习的积极性, 有利于激发学生的学习兴趣,使学生的主动性得到淋漓尽致的发挥,从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。2、本节课的难点是双曲线的渐近线,故采取了有目的的,精心巧妙地存疑设问,用悬念激发学生的情趣,促进思考。结合学生实际,把“共渐近线的双曲线”、“离心率的问题”放到下一节课来完成。七、课后反思:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页