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1、控制科学与工程 研究生专业基础课程-2 第二章线性系统的运动分析主要内容：主要内容： 自由运动1 1 状态转移矩阵的求解2 2线性定常系统的受控运动3 3 离散系统的状态空间描述4 4 离散时间系统状态方程的解5 5连续时间状态空间表达式的离散化6 6对于不同系统，其状态空间表达式的一般形式为对于线性定常系统，状态空间表达式中各元素均是常数，与时间无关，状态空间表达式为(2-1)(2-2)式中A、B、C、D为常系数矩阵 1 自由运动自由运动1-1 线性定常系统线性定常系统自由运动的定义自由运动的定义运动可分为自由运动和强迫运动，自由运动的定义如下定义定义2-1 线性定常系统在没有控制作用时，由
2、初始条件引起的运动称为自由运动。状态方程可表示为齐次方程(2-3)若状态向量 的初始值为 ，齐次方程的解可表示为 (2-4) 1 自由运动自由运动仿照标量,指数函数 展开成幂级数形式(2-6)将式（2-4）括号内矩阵的无穷项级数和称为矩阵指数函数，记为 ，即(2-5) 1-2 自由运动解的组成自由运动解的组成 1 自由运动自由运动则齐次方程的解可表示为(2-7)若初始时刻 ，对应的初始状态为 ，则齐次方程的解可表示为(2-9)将矩阵指数函数称为系统的状态转移矩阵，记为 ，即(2-8)(2-10) 1 自由运动自由运动齐次方程的解，可表示为(2-12)(2-11)或 上式表明齐次状态方程的解，在
3、初始状态确定情况下，由状态转移矩阵唯一确定，即状态转移矩阵 包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性。 1 自由运动自由运动 1-3 状态转移状态转移矩阵的性质矩阵的性质1）2）3）4） 1 自由运动自由运动6）7）5）对于 矩阵A和B，如果满足AB=BA,则 1 自由运动自由运动 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解2-1状态转移矩阵的求解方法状态转移矩阵的求解方法状态转移矩阵可以通过以下五种方法计算得到1）直接级数展开法）直接级数展开法根据矩阵指数的定义直接计算例例2-1 已知 ，求 。(2-13) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解 解：根据定义有 2 状态转移矩
4、阵的求解状态转移矩阵的求解 该方法具有步骤简便、易于编程，适用于计算机求解。缺点是计算结果是一个无穷级数，不易获得解析式，不适合手工计算。2）拉普拉斯变换法）拉普拉斯变换法对线性定常齐次状态方程式（2-3）两边取拉普拉斯变换，得整理有取拉普拉斯反变换，可得齐次状态方程的解为(2-14)(2-15) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解比较式(2-16)与式(2-6)，且根据定常微分方程组解的唯一性，有(2-16)(2-17)例例 2-2 求如下线性定常系统 的状态转移矩阵 和解： 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解3）化矩阵化矩阵A为对角标准
5、型法为对角标准型法若矩阵M为对角矩阵，且A的特征根没有重根的情况下，即(2-18) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解则(2-19) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解 找到变换矩阵Q，通过下式变换，即 (2-20) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解则状态转移矩阵 为(2-21) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解例例2-32-3 如下矩阵 用化为对角阵法计算 解：A的特征值为0和-2，求其变换矩阵 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解4）化矩阵）化矩阵A为约当标准型为约当标准型若A为一个 的约当块，其重复的特征值为(2-22) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵
6、的求解则(2-23) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解若矩阵A为一约当矩阵，即其中 为约当块(2-24) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解则(2-25) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解 当A的N个特征值都相同时，经线性变换可化为约当形矩阵J(2-26) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解则(2-27) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解例例2-4 2-4 线性定常系统的齐次状态方程为 求系统的状态转移矩阵解：根据已知条件求出特征值为三重的 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解则 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解5）应用凯莱-哈密尔顿定理当A的特
7、征值互异时，有(2-28) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解 当A有重特征值时，设矩阵A有m重特征值 ，其余特征值互异。 满足将上式依次对 求导m-1次，得(2-29)(2-30) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解再将其余 个单特征根考虑在内，即 解上述方程组，得出系数(2-31) 2 状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的求解例例2-5 考虑如下矩阵 ，用有限项法计算 解：A的特征值为0和-2，由（2-26）式可得下方程组将两特征值代入上式得 3 线性定常系统的受控运动线性定常系统的受控运动3-1 线性定常系统线性定常系统受控运动的定义受控运动的定义定义定义2-2 线性定常系统在控
8、制输入信号作用下的运动，称为受控运动。其状态方程为 定理定理2-1 若非齐次状态方程的解存在，则有(2-32)(2-33) 3 线性定常系统的受控运动线性定常系统的受控运动证明：由状态方程 得 ，上式左乘 得 对上式进行 的积分，得上式化简为 3 线性定常系统的受控运动线性定常系统的受控运动因此上式两边再左乘 ，且有 ，则同样从上式可以看出，可通过选择 使 的轨线满足要求 3 线性定常系统的受控运动线性定常系统的受控运动例例2-6 系统状态方程为其中 为单位阶跃函数，求方程的解。解 3 线性定常系统的受控运动线性定常系统的受控运动第一项为转移项 3 线性定常系统的受控运动线性定常系统的受控运动
9、第二项为受控项离散系统高阶差分方程描述形式：脉冲传递函数描述：如何得到状态空间表达式？（2-34）（2-35）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述l 选择选择状态变量状态变量（2-36）（2-37）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述4-1 将将标量差分方程化为状态空间描述标量差分方程化为状态空间描述1）差分方程）差分方程的输入函数中不包含差分项形式：的输入函数中不包含差分项形式：l 化为化为一阶差分方程组一阶差分方程组（2-38）（2-39）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述l 相应相应的状态空间表达式的状态空间表达式（2-40）（2-41）4 离散系统
10、的状态空间描述离散系统的状态空间描述或2）差分方程的输入函数包含差分项的情况差分方程的输入函数包含差分项的情况差分方程:一般表示为：（2-42）（2-43）（2-44）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述l 状态变量状态变量的选择：的选择： 使导出的一阶差分方程等式右边不出现输入函数的差分项，即（2-45）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述其中待定系数 h0,h1, ,hn-1及hn的计算关系式：（2-46）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述一阶差分方程组：（2-47）（2-48）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述状态空间描述：（2-49）
11、4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述输出方程：（2-50）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述1）脉冲函数的极点为脉冲函数的极点为两两相异两两相异令W(z)的极点为 z1,z2，zn 用部分分式法： 脉冲传递函数为： （2-51）（2-52）（2-53）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述4-2 将脉冲函数化为状态空间描述将脉冲函数化为状态空间描述相应的状态空间描述：（2-54）（2-55）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述2）脉冲的传递函数有重极点：脉冲的传递函数有重极点：令z1为W(z)的重极点，用部分分式法：（2-56）（2-57）4 离
12、散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述相应的状态空间描述：（2-58）（2-59）4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述线性定常离散系统的状态方程为：该差分方程的解为：或（2-60）（2-61）（2-62）5-1递推法递推法5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解例例2-72-7 已知定常离散时间系统的状态方程为：给定初始状态为：以及 k=0，1，2时，u（k）=1。试用递推法求解X（k）。5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 得到：解：（2-63）5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解因此显然递推法求得的是一个序列解，而不是一个封闭解。
13、5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 对于线性定常离散系统的状态方程，也可以用 Z 变换法来求解。或 设定常离散系统的状态方程是： 对上式两端进行 Z 变换，有：5-2 z变换法变换法（2-64）（2-65）（2-66）5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解所以：对上式两端取 Z 的反变换，得：对式（2-58）和式（2-64）比较，有：（2-67）（2-68）（2-69）（2-70）5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 如果要获得采样瞬时之间的状态和输出，只需在此采样周期内，即 在kTt (k+1)T内，利用连续状态方程解的表达式： 为了突出地表示
14、f的有效期在kTt (k+1)T，可以令t=(k+)T(这里01)，于是上式变成：（2-71）（2-72）5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解式中例例2-82-8 用Z变换法求解例2-7的状态方程的状态转移矩阵及解。 状态方程为：解: 由式 1）计算(ZI-G)-1（2-73）5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解所以考虑到（2-74）5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 2）计算X(k)因为 u(k)=1 所以 ，则5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解根据式 得（2-75）（2-
15、76）5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 显然，Z变换法求得的是封闭形式的解析解，将k=0,1,2,3, 代入X（k），所得结果与前例一样。5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解l 周期性采样；采样是等间隔进行；采样周期T远远大于采样脉冲 宽度；l 满足香农采样定理；l 采用零阶保持器，即 把连续时间系统化为离散时间系统需满足三个基本假定：（2-77）6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化 满足基本假定，则其离散化方程为 定理定理2-2：时变系统状态方程6-1 时变系统状态方程的离散化时变系统状态方程的离散化（2-79）（2-78）6
16、连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化两者的系数矩阵关系为：（2-80）6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化近近似离散化似离散化 在采样周期 T 较小时，一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时，离散化的状态方程可近似表示为：（2-81）（2-82）（2-83）6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化满足基本假定，则其离散化方程为6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化6-2 定常系统状态方程的离散化定常系统状态方程的离散化定理定理2-3： 线性定常系统（2-85）（2-84）6 连续时间状态空
17、间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化式中，G、H、C、D为常矩阵，且例例2-9 定常系统求离散系统的状态空间描述。（2-86）6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化解：先求所以再求（2-87）（2-88）6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化 故离散化状态方程为6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化线性控制系统分析线性控制系统分析自由运动 线性定常系统的受控运动 离散系统的状态空间描述离散时间系统状态方程的解连续时间状态空间表达式的离散化状态转移矩阵的求解 本章要点本章要点级数展开 拉氏反变换对角型 约当型凯莱哈密顿线性控制系统分析
