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1、优秀学习资料欢迎下载年级高二学科数学内容标题排列与组合解决实际问题（理科）编稿老师胡居化一、教学目标：（1）利用计数原理及排列组合知识解决综合性的实际问题，（2）体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想及捆绑法、插空法、隔板法等数学思想方法的应用.二、知识要点 ：1.解决有限制条件的排列组合问题的常用的数学方法：（1）直接法：从问题的正面入手，其基本方法有（i）元素分析法：即以元素为主，优先考虑特殊的元素的要求，再考虑其它的元素. （ii ）位置分析法：即以位置为主，优先考虑特殊的位置，再考虑其它位置.（2）间接法：就是剔除不符合条件的情况，也叫排除法.在直接法和间接法中常用
2、以下一些方法解决排列与组合问题.枚举法：将所有排列的情形一一例举出来（适应排列数较少）捆绑法：用于两个（或更多）元素排在一起（看成一个元素）.插空法：用于两个（或更多）元素不相邻排列.隔板法：用于相同的元素分成若干部分. 每部分至少一个的排列2.某些元素定序排列问题处理方法对于某些元素定序排列问题的处理方法有两种：（1）整体法，即有m+n 个元素的排成一列，其中m 个元素的排列顺序不变，将（m+n）个元素排成一列有nmnmA种排法，然后任取一个排列，固定其它n 个元素位置不动，把m 个元素交换顺序，共有mmA种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有mmnmnmAA种不同的排法 . （ 2
3、）逐步插空法 .3.分组分配问题的处理方法（1）分组问题的处理途径：（a）非均匀不编号分组：即将n 个不同的元素分成m 组，每组元素个数均不同，（m组中的元素个数分别是m21a,a,a，其中naaam21）则分法种数是mmaaaananCCC211（b）均匀不编号分组（平均分组）：将 n 个不同的元素平均分成m 组（每组元素个数相同都是a） ，则不同的分组方法有mmaaaananACCC， （其中 n=ma）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（2）分配问题：将n 个不同的元素分给m 个人称为分配问
4、题，处理的方法：先分组后分配 .【典型例题】知识点一：有限制条件的排列组合问题例 1.某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别60 元、 70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3 张，磁盘至少买2 盒，则不同的选购方法有（）A. 5 种B. 6 种C. 7 种D. 8 种题意分析 ：本题是限制条件的组合问题，根据所给选项数字较小，不好使用计数原理，可用枚举法解决 .思路分析： 本题的限制条件有三个，分别是（i）软件至少3 张， （ii ）磁盘至少2 盒， （iii ）花钱总数不超过500 元，故要对购买的软件数和磁盘数进行讨论.解题过程： 对购买的软件数、磁盘数进行讨论
5、如下：（1）软件买3 张，磁盘买2 盒，花钱320 元；（2）软件买3 张，磁盘买3 盒，花钱390 元；（3）软件买3 张，磁盘买4 盒，花钱460 元；（4）软件买4 张，磁盘买2 盒，花钱380 元；（5）软件买4 张，磁盘买3 盒，花钱450 元；（6）软件买5 张，磁盘买2 盒，花钱440 元；（7）软件买6 张，磁盘买2 盒，花钱500 元. 故选购方式有7 种，选 C.解题后的思考： 本题解决的关键是：购买的软件数5007060磁盘数（单位是元） .体现了分类讨论的数学思想的应用，易错点是：分类出现：重和漏的现象.例 2. 某小组 6个人排队照相留念：（1）若分成两排照相，前排2
6、 人，后排4 人，有多少种不同的排法？（2）若分成两排照相，前排2 人，后排4 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照相，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照相，6 个人中有3 名男生和3 名女生，且男生不能相邻，有多少种不同的排法？（5）若甲、乙、丙三人的顺序不变有多少种排法？题意分析： 本题是排队问题，这类问题都是排列问题.思路分析： 对于（ 1）是 6 个元素的全排列， （2）采用元素分析法，优先安排甲，乙两个特殊元素，（3）采用捆绑法， （4）采用插空法， （5）定序问题采用倍缩法.解题步骤：（1）分两排照相实际上与排成一排照
7、相一样，只不过把第36 个位子看成是第二排而已，所以实际上是6 个元素的全排列66A=720 种；（2）先确定甲的排法，有12A种，再确定乙的排法，有14A种， 最后确定其他人的排法，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载有44A种，共有12A14A44A=192种；（3）采用 “ 捆绑法 ” ，先把甲、乙看成1 人，与其他人排队有55A种，然后甲、乙之间再排队，有22A种，共有55A22A=240 种；（4）采用 “ 插空法 ” ，先把 3 名女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4把椅子，如：女 女
8、 女 ，再将 3 名男生排在这4 个位置上有34A种，3 名女生之间有33A种排法，共有3334AA=144 种排法 .（5）在不考虑任何限制的条件下6 个人的排列有66A种，其中甲乙丙三人的排列有33A种，由于甲乙丙顺序不变，故只有其中的一种排法符合要求，即有3366AA120 种.解题后的思考： 对于排列组合中必须在一起的元素处理时把它捆绑为一个整体，然后考虑其内部的位置关系；对于排列中不能相邻的元素，采用插空法处理，即把整个位置看作是一个抽屉，把无条件限制的元素作为隔板安置在抽屉中，最后把要求不相邻的元素放置在由隔板所形成的空格中，这里应注意， 如果无条件限制的元素有n 个，那么它们所形
9、成的空格数目为 n1 个.例 3. 3 个大人和2 个小孩要过河，现有3 条船，分别能载3 个、 2 个和 1 个人，但这5个人要一次过去，且小孩要有大人陪着，问有多少种过河的方法？题意分析： 这是一道排列与组合综合性的试题，是有限制性的排列组合问题，其限制条件是在每只船载人的人数限制下小孩与大人同船，因此需把小孩分类.思路分析： 假设 1 号船载 3 人， 2 号船载 2 人， 3 号船载 1 人，小孩显然不能进第3 号船，也不能两个同时进第2 号船 .（1 个小孩进 3 号船或 2 个小孩进2 号船没有大人陪伴） ，由此对小孩“进船”的情形进行分类.解题步骤： 从“小孩”入手. 可分为两类
10、第一类： 2 个小孩同时进第1 号船，此时必须要有大人陪着（i）2 个大人同时进第2 号船只有1 种情形， 先选 3 个大人中的一个进1 号船有13C种，此时共有131C种过河方法 .（ii）2 个大人分别进2、3 号船有22A种，再从3 个大人中选一个人进1 号船有13C种，此时共有2213AC，有 N1=131 C+2213AC=9（种）过河方法第二类： 2 个小孩分别进第1、2 号船，此时第2 号船上的小孩必须要有大人陪着，另外 2 个大人同时进第1 号船或分别进第1、 3 号船， 有过河方法)1(2213222ACAN=18 （种） .因此，过河的方法共有：N=N1+N2 =27 种.
11、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载解题后的思考：本题解题的关键是对“元素”（小孩）分类，即元素分析. 只有合理的分类才能解决复杂的问题，然后先选后排. 体现了分类讨论的数学思想的应用，易错点： 分类不清 .小结：本组试题主要是解决有限制条件的排列组合问题，解决问题的关键是看什么样的限制条件？根据限制条件的不同采用不同的方法，如排列数较小的问题采用枚举法，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法等都是我们解决排列组合问题的常用的方法.知识点二：分组分配问题例 4. （1） 8 个相同的小球放入四个不同的
12、盒子中，每个盒子至少放一个，共有 _种方法？A.37CB.37AC.48CD.48A题意分析： 本题是分组问题，把小球分组放入盒子中，如何分才能保证每一个盒子中至少一个小球？思路分析： 要把 8 个小球分成4组，可用三块“隔板”隔开，采用隔板法.解题过程： 将 8 个球摆成一列，设法分成四部分，则每种分法对应一种放法. 要想分成四部分， 只需用 3 个隔板将它们隔开. 8 个球共有 7 个空隙，选其中 3个空隙插隔板， 共有35C37种分法，故共有35种放法 .解题后的思考： 本题是元素无条件的分组问题，把 8 个小球分成4 组，每组的个数是不定的，只要在 8 个元素之间的7 个空位插入三块隔
13、板 （实际是插入法） 体现了等价转化思想的应用.易 错 点 ： 不 能 对 小 球 正 确 分 组 . 该 题 的 数 学 模 型 为 ： 方 程21xx )nm,Nnm,(mx*n有1-n1-mC个正整数解 .例 5. 现有 4 套不同的练习题：（1）平均分给2 名同学有多少种不同的分法？（2）平均分成2 份，有多少种不同的分法？题意分析： 本题是分组分配组合问题，注意（1） （2）的区别 .思路分析：（ 1）4 套练习题平均分给2 名同学，一名同学从4 套练习题中选2 套，余下 2 套给另一名同学， （2）把 4 套练习题分成2 份有 2 种重复的情形 .解题过程：（1）甲学生得2 套，有
14、24C种，乙学生得2 套有22C种分法，根据乘法原理共有24C22C=6 种分法 .（2）按（ 1）分法有22A种重复，所以不同的分法有222224ACC=3 种.实验检验：把A、B、C、D 四个字母分成2 份： AB，CD； AC ，BD ；AD ，BC；BC ，AD ； BD ，AC ； CD， AB ；从这个具体例子可以发现，AB，AC ，AD ，BC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载BD，CD 各出现两次，重复计为22A.解题后的思考：对平均分组问题要注意重复的情形，例如：把A，B，C，
15、D，E，F 六个字母平均分成3 份，出现33A种重复 .一般地，把4 个元素平均分成2 份，不同的分法有222224ACC，把 6 个元素平均分成3 份，不同的分法有33222426ACCC，把 8 个元素平均分成4 份，不同的分法有4422242628ACCCC等，本题的易错点：忽视平均分组中的重复问题，把（1） （2）混淆为同一答案.例 6. 将 4 个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中；恰有一个空盒的放法共有多少种？恰有 2 个空盒的放法共有多少种？题意分析： 本题是分组分配问题，解题的原则是先选后排，选盒子或是选球都可以.思路分析： 对可以从4 个盒子中选一个空盒子，4 个
16、球分在余下的3 个空盒子中或对小球先分组，分为“2，1，1” ，三组然后装入盒子中. 对可以从4 个小球中选出2 个，看作一个球，问题转化为“3 个球”，4 个盒子，再求解.解题过程： 解法一 ：先从 4 个盒子中选一个为空，然后从剩余的3 个盒子中选出一个，再从 4 个小球中选出2 个放入此盒，还有2 个盒子放2 个球，每个盒子放一个球，显然有2种放法，共有14C13C24C 2=144 种.解法二：先从4 个小球中选出2 个，看作一个球. 问题转化为 “3 个球， 4 个盒子，每个球都放入盒内，每个盒子至多放一个球，共有几种放法. ” 将 4 个不同的小球分成“2 ，1， 1”三堆，有24
17、C种分法，再将三堆分别放入4 个盒中，有34A种，恰有一个空盒的放法共有24C34A=144 种.解（分类法） ：先从 4 个盒子中任选2 个盒子，在这两个盒子中不放入小球，问题转化为“ 4 个球， 2 个盒，每个盒子必须放小球，共有几种放法？”，从放球的数目考虑分为两类；一类是其中一个盒子放入3 个球，另一个盒子放入1 个球，有12C34C=8 种放法；另一类是每个盒子放2 个球，放法数为24C 1=6，共有24C （86）=84 种.解题后的思考： 本题是组合问题中的分组与分配问题，对均匀分组或部分均匀分组要注意重复的情形 .如第一问：把4个小球分组为2，1，1，分法种数是24C不是122
18、4CC（部分均匀分组） ，在分配的时候是有序的. 本题的易错点：均匀分组时忽视重复分组情形.小结： 在知识点二的三个例题中都是分组分配问题，对这类问题一般方法是先分组后分配，关键是如何分组？在分组的时候是均匀分组还是非均匀分组还是部分均匀分组，对均匀分组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载或部分均匀分组都要要注意重复问题. 要注意等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想的应用 .【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述了利用排列组合知识解决实际问题，在解决实际问题中运用了等价转化的数学思想、 分类讨论
19、的数学思想以及捆绑法、插空法、隔板法、倍缩法等数学思想方法的应用.【模拟试题】（答题时间： 60 分钟，满分 60 分）一、选择题 （每题 5 分，计 25 分）1.有 A、B、C、D、E 共 5 人并排站在一起，如果A、B 必须相邻，并且B 在 A 的右边，那么不同的排法有（）A. 60 种B. 48 种C. 36 种D. 24 种2. 6 个人排成一排，其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有（）A. 480 种B. 720 种C. 240 种D. 360 种3.将 10 个完全相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子内， 要求放入盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A. 20 种B
20、. 15 种 C. 14 种D. 12 种4. 10 个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有（）种排法 .A.1010101010101010A.DA61.CA31.BA215.用 1，4， 5，x四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，则x=（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、计算题 （共 35 分）6. （10 分）平面上有9 个点，其中4 个点在同一条直线上，此外任三点不共线.（1）过每两点连线，可得几条直线? （2）以每三点为顶点作三角形可作几个? （3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条? （4）分别以其中两点为
21、起点和终点，最多可作出几个向量? 7.（10 分）有五张卡片， 它们的正反面分别写有0 与 1，2 与 3，4与 5，6 与 7，8 与 9，将其中任意三张排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？8.（15 分）有 3 名男生， 4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.（2）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.（3）全体排成一行，其中男生必须排在一起.（4）全体排成一行，男、女各不相邻.（5）全体排成一行，男生不能排在一起.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
22、第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载【试题答案】一、选择题1. D 解析：利用捆绑法：把A，B 看作一个元素，共有4！种排法 .2.A 解析：插空法：除甲乙两人外，四个人排在一起有5 个空位（包括首末） ，从 5个空位中选2 个插入甲乙的排列数是25A种排法，其余4 人排列有44A种排法 . 故共有25A44A=480 种排法 .3. B 解析：设编号为1，2，3 的三个盒子中分别放入x，y，z 个小球，于是题中不同的放法即为方程：x+y+z=10 ，且 x
23、1 ，y2 ， z3 的非负整数解的个数. 令 u=x1， v=y 2，w=z3，得 u+v+w=4 ，所以该方程的非负整数解的个数即为所求的放法数目C1541344.C 解析：甲、乙、丙三人排列一共有6 种排法，在这6 种排法中各种排列顺序在10 个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为1010A61.5. A 解析：若x不为 0，在每一个数位上1，4，5，x，出现的机会是均等的.由于一共可以得到24 个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6 次，于是得到：288)x541(46，解得2x. 若x为 0，无解 .二、计算题6.解： （1）311CC2429；（2）
24、80CC3439（3）不共线的五点可连得25A条射线，共线的四点中，外侧两点各可得到1 条射线，内部两点各可得到2 条射线； 而在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射线有221514ACC条 . 故共有：66ACC2212A22151425条射线 .（4）任意两点之间，可有方向相反的2 个 向量各不相等，则可得到72A29个向量 .7.解： （1）0 不能作百位，但可以作十位或个位.（2）0 与 1 在同张卡片上，因此直接分类既要考虑0 又要考虑1 分类较复杂 .于是先不考虑任何情况算出总数，然后减去0在 左 边 第 一 位 的 号 码 即 为 所 求 .由 于 任 取 三 张
25、可 以 组 成 不 同 的 三 个 数 的 号 码 有 ：AC333352，其中 0 在左边第一位的号码有：AC222242，故所求的不同三位数共有：AC333352AC222242=432 个.8.解： （1）利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择 .有 A13种，其余6 人全排列，有A66种. 由乘法原理得A13A66=2160 种.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（2）位置分析法 .先排最右边， 除去甲外， 有 A16种，余下的 6 个位置全排列有A66种，但应剔除乙在最右边的排法数A15A55种.则符合条件的排法共有A16A66A15A55=3720 种 .（ 3）捆绑法 . 将男生看成一个整体，进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有A33A55=720 种.（4）插空法 . 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A33A44=144 种.（5）插空法 . 先排女生，然后在空位中插入男生，共有A44A35=1440 种.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
