《2022年数列分知识点讲解绝对好题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年数列分知识点讲解绝对好题(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、数列大盘点(一)第一节数列的概念知识点:数列概念、单调性、周期性、通项公式、递推公式例题 1 、写出下列数列的一个通项公式练习:3,5,7,912nan-1,7,-13,19)56(1nnna225, 8,29,2,2122nan7,77,777,7777,)1(9710nna11,22,5,213nan6461,3229,1613,85,41,212213nnnna1,0 , 1,0 2111nna例题 2、根据下列条件,确定数列an的通项公式。aaannnn111, 1)2(n分析:累乘nan1nnsn23223nns56nan)2() 1(521nnnna例题 3、已知数列an满足11a
2、,)2(113naannn,求aa32,;证明:213nna分 析 : 134,413, 132321aaa; 由 已 知)2(113naannn得)2(311nnnnaa,故aaaaaaaannnnn112211)()()(211333321nnn例题 4、设an是首项为1 的正数列,且)3,2,1(0) 1(1221nnnaaaannnn,求他的通项公式an分析:对所给式子因式分解得:0) 1()(11aaaannnnnn,01aann;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页aannnn1)1(,12)2()1(,
3、 112211aaaaaannnnnnnan1法 2 累乘法例题 5、数列an的前 n 项和asnn21,求其通项公式an。分析:121asnn,22111asnn两式相减得)(2111aassannnnnaann21,又aa111212,11a,所以数列an是以 -1 为首项, 2 为公比的等比数列,所以21nna练习 1、数列,41,83,21,21的一个通项公式_an2) 1(1nnn2、数列an中,11a,对于所有的2n都有naaaan2321,则_3a493、在数列an中,11a中,对任意Nn, 有aaannn11,则_10a1014、已知数列an满足10a,) 1(110naaaa
4、nn,则当1n时,an( C )A、2n B、)1(21nn C、21n D、12n5、已知数列1929922nnn, (1)求这个数列的第10 项; (2)10198是不是该数列中的项,为什么?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内分析: ( 1)31281323)13)(13()23)(13(nnnnnnan(2)不是,3100n(3)13311323nnnan10an6、设函数) 10(2)(loglog2xxxfx,数列an满足)3, 2, 1(,2)(2nnafn(1)求数列an的通项公式; (2)判断数列an的单调性。分析:由,2)(loglog2xxxf得naafannn2
5、22)(log2log22,即naann21,故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页0122aannn, 且由10x, 得22010an, 即0an, 解得)(12Nnannn第二节等差数列知识点: 等差数列定义、等差中项、通项公式、求和公式、性质例题 1 已知两个等差数列5、8、11和 3,7,11都有100 项,问它们一共有多少相同的项?并求所有相同项的和。分析:设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新的数列an,则111a,因为数列5,8,11 与 3,7,11 公差分别是3和 4 , 所以an的公差43d,
6、所以112nan, 又因数列 5,8,11 与 3,7,11 的前100 项分别是302 与 399,所以302112nan,即25.25n,又Nn,所以连个数列有25 个相同的项。例题 2、已知数列an满足41a,)2(441naann,令21abnn(1)求证数列bn是等差数列; (2)求数列an的通项公式分析: ( 1)由)2(114naann,得) 1(2121211naann,即211bbnn( 2)nan22例题 3 设等差数列an的前 n 项和为sn,已知0, 0,1213123ssa。(1)求公差d 的范围;(2)指出sss1221,中哪一个值最大,并说明理由。分析: ( 1)
7、由题意得:02) 113(131302) 112(1212113112ddasas;即06011211ddaa又由123a得da2121代入上式,所以3724d(2)saaaaaaass677613112113120002)(1302)1200(最大。例题 4、有两个等差数列an、bn满足327321321nnbbbbaaaann,求ba55精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页分析:126555ba练习: 1、已知an是一个等差数列,5, 152aa(1)求an的通项an(2)求an的前 n 项和sn的最大值。分析:
8、 (1)52nan(2))2(2244nnsnn,sn的最大值是4.2、 (1)等差数列中,若24)(2)( 31310753aaaaa,则_13s26 (2)已知数列an是一个等差数列,且101021aaa,20201211aaa,求_504241aaa50 3、设数列an的通项)(72Nannn,则_1521aaa153 4、已知数列an的前 n 项和)40(nnsn,则下列判断正确的是()A、0, 02119aa B 、0,02120aaC、0, 02119aaD、0,02019aa分析:由)40(nnsn得412nan选 C 5、等差数列an中,24321aaa,78201918aaa
9、,则此数列前20 项和等于( B ) A 、160 B 、180 C 、200 D 、220 6、已知数列an中,11a,且)2( ,1211nsssnnn,求an分析:由21112111sssssnnnnn,又11111as,故sn1是首项为1,公差为2 的等差数列。122)1(111nns,)(121Nsnnn,当2n时,)32)(12(21nnssannn故)2()32)(12(2) 1( , 1nnnnan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页第三节等比数列知识点等比数列定义、等比中项通项公式、求和公式、性质例
10、题 1 已知正项数列an中,1002736251aaaaaa,362645342aaaaaa,求数列an的通项公式an和前 n 项和sn。26 nna,2664nns或,22nna)1(212nns例题 2、 (2009 年全国)设数列an前 n 项和为sn,已知11a,241asnn(1)设aabnnn21,证明数列bn是等比数列。(2)求数列an的通项公式。分析: (1) 证明:由已知241asnn,241212aaas, 解得52a,32121aab由241asnn得,2412asnn, 两式相减得)2(22112aaaannnn, 即bbnn21,所以数列bn是以 3 为首项, 2 为
11、公比的等比数列。(2) 由 (1) 知道等比数列bn中31b, 公比2q, 所以21132nnnaa, 于是432211nnnnaa又2121a,所以数列2nna是首相为21,公差为43的等差数列,414343)1(212nnnna22)13(nnna例题 2、等比数列an的公比为q,前 n 项的和为sn,若sss10155,成等差数列,求证:ssss1020105,2成等比数列。证明:若 q=1,则as155,as11515,as11010,由01a够不成等差。1q,sss20155,成等差数列,sss105152即qqqqaqaqa1)1(1)1(1)1(210151151,整理得2101
12、25510qqq0116921)1()21(1)1(222210qaqas,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页)(1(121)1(1)1(1)1 (2)(22010521012015110205)1(qqqqaqaqaqasssqqq)1()21()21()1(1169211122422qaqa)(210205210ssss,且010s,所以ssss1020105,2成等比数例题 3、已知数列an前 n 项和为sn,已知11a,)(21Nsannnnn求证: ( 1)数列nsn是等比数列; (2)22)1(nnna
13、证 明 : 因 为ssannn11, 又)(21Nsannnnn, 所 以sssnnnnn21, 则ssnnnn)1(21,即nnssnn211,又01111as,所以数列nsn是以 2 为公比, 1 为首项等比数列。(2)由(1)得221111nnnssn,所以21nnns。2n时,222222211)1()1(2)1(nnnnnnnnnnnnssa1n时11a时也适合上式。所以)()1(22Nannnn练习1、数列nn) 1(的前 2010 项的和s2010为( D )A、2010 B 、1005 C 、2010 D、1005 2、各项均为正数的等比数列an前 n 项和为sn,若2sn,1
14、43sn,则sn4等于()BA、80 B、30 C、26 D、16 3、已知an是等比数列,22a,415a,则aaaaaann13221( )C A、)1 (164n B、)1(162nC 、)1(3324nD、)1 (3322n4、等差数列an中,21a,公差不为0,且aaa1131,恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列的公比等于_4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页5、在数列an中,aannc1,c为非零常数,且前n 项和为knns3,则实数_k-1 6、在正数列an中,21a,点)2)(,(1naan
15、n在直线02yx上,则数列an的前n项和_sn221nna第四节数列求和知识点(1)等比数列求和讨论公比q 是否为 1 (3)错位相减法(3)分组转化( 4)裂项相消_)1(1nn_) 12)(12(1nn_)2)(1(1nnn_1ba(4)倒序相加(5)公式法 (数学归纳法证明) 12)(1(612221221nnnnknkk例题 1 求下列各式的和(1)nkknkks1)13)(23(1分析:)2, 1)(131231(31)13)(23(1nkkkkk13)131231()7141()411(31nnnnsn(2)12121531311nnsn分析:)1212(2112121nnnn)1
16、12(21)1212()35()13(21nnnsn(3))0()12(5311anaaasnn分析:当1a时,nsnn2) 12(531当1a时,)1 ()12(5311asnnnaa)2()12(5332aaaasnnna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页(1)-(2)得aannaaaaaaasnnnnn1)1(2)12(1) 12()(21)1(112)1 (21)1 (21)12(1aaasnnnaan例题 2 若公比为c的等比数列an的首项11a,且满足)4 ,3(221naaannn(1)求c的值;(2
17、)求数列ann的前n项和sn。分析: ( 1)221aaannn,)1(2222cacann0122cc解得21c或1c(2)当1c时,)(1Nann,则2)1(321nnnSn当21c时,)21(1nnnna则) 1(3)21(21)21()21(12nnns)2(322121)21()21()21(32nnns(1)- (2)得)(32491)2(1Nsnnnn例题 3、已知数列an中,11a,当2n时,其前n 项和sn满足)21(2sasnnn,(1)求sn的表达式,(2)设12nsbnn,求bn的前 n 项和Tn。分析:(1))21(2sasnnn,又)2(1nssannn,所以)21
18、)(12ssssnnnn即ssssnnnn112,由题意得01ssnn,所以2111ssnn,所以数列sn1是首项为11111as,公差为2 的等差数列。12) 1(211nnsn,121nsn(2))121121(21) 12)(12(112nnnnnsbnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页12)121121()5131()311 (2121nnnnbbbTnn练习:1、 已知数列an中,01a,naann21, 那么_2011a4042110 2、数列an的通项公式11nnan,若前 n 项和为 10 ,则项
19、数为_120 3、已知数列an前 n 项的和)34(211713951) 1(1nnns,则_312215sss-76 分析:)34() 1(1nnna,297)4(1515as,同理61,443122ss4、若nan321,则数列an1的前 n 项和_sn12nn5、若数列an的通项公式122nnna,则数列an的前 n 项和为_答案:222nsnn6、数列an满足11a,22a,3 ,2, 1,2)21(sincos222nnnaann(1)求aa43,的值,并求数列an的通项公式。(2)设aabnnn212,bbbsnn21,求sn分析:(1)当 n=1 时,212)21(12123si
20、ncosaaa当 n=2 时,422)221(2sincos22224aaa当 n 为奇数时,12;02sincos22nn当 n 为奇数时,, 12aann11a,nan 12当 n 为偶数时,02; 12sincos22nn当 n 为偶数时,aann2221a,22nna(n 为奇数)222121nnna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页(n 为偶数)由(1)知2nnnb,222213213221nnnnns222221432132121nnnnns由 -得:2222221132113221)211 (nnnnnnnns,222nnns精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页