2022年高三数学专题复习直线与圆锥曲线

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1、优秀学习资料欢迎下载直线与圆锥曲线的位置关系（21） （本小题满分12 分）如图，已知椭圆)0(12222babyax的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,FF为顶点的三角形的周长为)12(4，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于项点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为A、B 和 C、D. （）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明：121kk；（）是否存在常数，使得CDABCDAB恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 22 （本小题满分14 分）已知动直线l与椭圆 C: 22132xy交于 P11

2、,xy、 Q22,xy两不同点，且OPQ的面积OPQS=62,其中 O 为坐标原点 . （）证明2212xx和2212yy均为定值 ; （）设线段PQ 的中点为M，求| |OMPQ的最大值；（）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得62ODEODGOEGSSS?若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由. ( 21) （本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C:)0(22ppyx的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O三点的圆的圆心为Q, 点Q到抛物线C的准线的距离为43.( ) 求抛物线C方程 ;F2PF1DCBAoyx精选学习资料 - - - -

3、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载( ) 是否存在点M, 使得直线MQ与抛物线C相切与点M ?若存在 , 求出点M的坐标 ; 若不存在 , 说明理由 ;( ) 若点M的横坐标为2, 直线l:41kxy与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E, 求当21k2 时，22DEAB的最小值 .2013 山东理科22、椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别是12,F F, 离心率为32，过1F, 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. （）求椭圆C的方程；（） 点P是椭圆C上除长轴端点外的任

4、一点，连接12,PF PF, 设12F PF的角平分线PM交C的长轴于点(,0)M m，求m的取值范围；（）在（）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点. 设直线12,PF PF的斜率分别为12,k k，若0k，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值 . 一、直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或 x)得变量 x(或 y)的方程：ax2bxc0(或 ay2byc0)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式，有：0? 直线与圆锥曲线；0? 直线与圆锥曲线；b0)的左、右焦点，过点F1作 x 轴的垂线交

5、椭圆C 的上半部分于点P，过点 F2作直线 PF2的垂线交直线xa2c于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是 (4,4)，求此时椭圆C 的方程；(2)证明：直线PQ 与椭圆 C 只有一个交点1(20XX 年高考广东卷 )在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1(1,0)，且点 P(0,1)在 C1上(1)求椭圆 C1的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载(2)设直线 l 同时与椭圆C1和抛物线 C2：y24x 相切，求直线l 的方程考向二相交弦问题

6、例 2设过原点的直线l 与抛物线y24(x1)交于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求：(1)直线 l 的方程；(2)|AB|的长本例中将 “ 以 AB 为直径的圆恰好过抛物线焦点F” 改为 “ AB 的中点为 (2,3) ”，求 l 的方程考向三定点、定值的探索与证明例 3(20XX 年高考湖南卷)在直角坐标系xOy 中，曲线 C1 上的点均在圆C2：(x5)2 y29 外，且对 C1 上任意一点M，M 到直线 x 2的距离等于该点与圆C2 上点的距离的最小值(1)求曲线 C1 的方程；(2)设 P(x0，y0)(y0 3)为圆 C2 外一点，过P 作圆 C2 的两条

7、切线，分别与曲线C1 相交于点 A，B 和 C，D，证明：当 P 在直线 x 4 上运动时，四点A，B，C，D 的纵坐标之积为定值2(20XX 年高考福建卷 )如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P，与直线y 1 相交于点Q，证明以PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点【答题模板】圆锥曲线最值问题的解题策略【典例】(13 分)如图， 椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，直线 x a 和 y b所围成的矩形ABCD 的面积为8. (1)求椭圆 M 的标准方程；(2)设

8、直线 l：yxm(mR)与椭圆 M 有两个不同的交点P，Q，l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点S，T，求|PQ|ST|的最大值及取得最大值时m 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载1(20XX 年高考北京卷 )在直角坐标系xOy 中，直线 l 过抛物线y24x 的焦点 F，且与该抛物线相交于A，B 两点 其中点 A 在 x 轴上方， 若直线 l 的倾斜角为60，则 OAF 的面积为_2(20XX 年高考福建卷)如图， 椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率

9、 e12.过 F1的直线交椭圆于A、B 两点，且 ABF2的周长为8. (1)求椭圆 E 的方程(2)设动直线l：y kxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点P，且与直线x 4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ 为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由一、选择题1 (20XX 年揭阳模拟 )过点 P(4,4)且与双曲线x216y291 只有一个公共点的直线有() A1 条B2 条C3 条D4 条2(20XX 年海口模拟 )若 AB 是过椭圆x2a2y2b2 1(ab0)中心的一条弦， M 是椭圆上任意一点，且 AM、 BM 与两坐标轴均不平行，kA

10、M， kBM分别表示直线AM、 BM 的斜率，则 kAM kBM() Ac2a2Bb2a2Cc2b2Da2b23设抛物线y28x 的准线与 x 轴交于点Q，若过点Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载直线 l 的斜率的取值范围是() A.12，12B2,2 C1,1 D4,4 4(20XX 年福州模拟 )已知直线l：y12xm 与曲线 C：y12|4 x2|仅有三个交点，则实数 m 的取值范围是() A(2，2) B(2，2) C(1，2) D(1，3) 5(20X

11、X 年衡水模拟 )已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)，F(c,0)是它的右焦点，经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆相交于A，B 两点，且 FA FB0，|OAOB|2|OAOF|，则椭圆的离心率为 () A.2 B.3 C.21 D.3 1 二、填空题6(20XX 年浙江五校联考)已知 F1为椭圆 C：x22y21 的左焦点，直线l：yx 1 与椭圆 C 交于 A、B 两点，则 |F1A|F1B|的值为 _7已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(0， 1)，直线 l 与抛物线C 相交于 A，B 两点若AB 的中点为 (2， 2)，则直线l 的方程为 _8过点P32， 1 作抛物线y

12、ax2的两条切线PA，PB(A， B 为切点 )，若 P A PB0，则 a_. 9(20XX 年洛阳模拟 )已知双曲线x24y2121 的离心率为p，焦点为 F 的抛物线y22px与直线 yk(xp2)交于 A，B 两点，且|AF|FB|p，则 k 的值为 _三、解答题10(20XX 年郑州模拟 )已知圆 C：(x3)2y216，点 A(3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点 M，设点 M 的轨迹为E. (1)求轨迹 E 的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载(2)过点

13、P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点A，B，AOB(O 是坐标原点 )的面积 S45，求直线AB 的方程11已知椭圆C：x2a2y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线 AF 与圆 M：(x3)2(y1)23 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 AP AQ0. 求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标12(能力提升 )(20XX 年高考北京卷 )已知曲线 C：(5m)x2(m2)y28(mR)(1)若曲线 C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(2)设 m4，曲线 C 与 y 轴的交点为A，B(点 A 位于点

14、 B 的上方 )，直线 ykx4 与曲线 C 交于不同的两点M，N，直线 y1 与直线 BM 交于点 G，求证： A，G，N 三点共线解 : （）当xc代入椭圆方程2222:1xyCab, 得2bya, 由题意知22=1ba, 即22ab. 所以32cea,2,1ab. 所以 , 椭圆方程22:14xCy. （）设00(,)P xy, 当002x时, 当03x时, 直线2PF的斜率不存在, 易知1( 3,)2P或1( 3,)2P. 若1( 3,)2P, 直线1PF的方程为4 330xy. 由题意得|m+3|37m, 由于33m, 所以3 34m. 若1( 3,)2P, 同理可得3 34m. 当

15、03x时, 设直线12,PFPF的方程分别为12(3),(3)yk xykx. 由题意得11222212|3 |3|1+1+mkkmkkkk, 整理得22122211(3)1(3)1kmmk. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载又220014xy, 且001200,33yykkxx, 22222000222220004(3)4( 34)(3)(3)4(3)4( 34)xxxmmxxx, 即00343334xmmx, 又33m,0002,3xx且, 00343(3)( 34)xmmx. 整理得034

16、xm, 所以33 30,24mm且. 综合可得 , 302m. 当0-20x时, 同理可求得3-02m. 综上所述 , m的取值范围是3 3(-,)2 2. ( ) 设000(,)(0)P xyy, 则直线l的方程为00()yyk xx, 由22001.4().xyyyk xx整理得22222200000(14)8()4(21)0kxkyk xxykyk x. 由题意2220000=0,(4)210xkx y ky. 又220014xy, 22200001680y kx y kx, 可得004xky. 由（）知001200,33yykkxx,0120211xkky, 001212004211111()8yxkkkkk kkxy, 1211kkkk为定值，这个定值为8. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页