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1、1 / 15 经济数学基础辅导4 叶挺峰第一编第三章导数应用本章主要是介绍利用导数研究函数的一些特性，如极值、最值和对经济问题进行边际分析、弹性分析等内容：一、 如何确定函数的单调区间？1、定理：设 y=f(x) 在a,b上连续，在（ a,b）内可导，若X（a,b）,有（1）f(X)0，f(X) 在a,b上单调增加；（2）f(X)0，f(X) 在a,b上单调减少；此定理中的区间，称为单调区间。2、确定函数 y=f(x) 单调区间步骤：（1）确定 Y=f(x) 的定义域 D；（2）求 Y；（3）令 Y=0，求出根；（4）用 Y=0 的根，划分 D为几个小区间，列出表格判别；（5）结论。例如：确定
2、函数31292)(23xxxf的单调区间。解：f(x)的定义域：),()23(612186)(22xxxxxf =6(X-1)(X-2) 令0)(1xf即 6（X-1）（X-2）=0 得 X1=1，X2=2 列表X （-，1）1（1，2）2（2，+）Y + - + Y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 / 15 注意：确定Y的符号时，可取小区间中任意一个确定数，如：0，1.5 ，3，代入 f (X) 式中定出y的正、负号，再用符号“”、“”分别表示，曲线上升或下降。故 f(x) 单调增加区间为（ -，1,2 ，
3、+) ，单调减少区间为 1 ，2 二、 函数极值和最值：函数极大值与极小值统称为极值。取到极大值或极小值的点统称为极值点。1、极值的必要条件：f(x) 在点 X0处可导，点 X0是 f(X) 的极值点，则 f （X0）=0 2、驻点：使 f (X)=0 的点，称为 f(X) 的驻点（或稳定点）。注意：（1）点 X0是 f(x) 的极值点（或稳定点），f(x) 在 X0处可导，则点 X0必定是驻点；（2）驻点不一定是极值点；（3）在导数不存在的点处，可能有极值。 3 、极值存在充分条件：设 f(x) 在点 X0 的邻域连续且可导（ f（X0）可以不存在），当X从 X0的左侧到右侧取值时， f (
4、X) 符号：从+变- ，X0为极大值点， f(X0) 为极大值；从- 变+，X0为极小值点， f(X0) 为极小值；不变号， X0不是极值点， f(X) 在 X0处无极值。用以上定理，可判别X0是不是 f(X) 的极值点。下面举例说明如何求函数的极值和极值点。例如：求函数xxxf323)(的极值。解：f(x)的定义域（-，+）3333121212)(xxxxxf令 f (X)=0 则有023x得驻点 X=8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 / 15 X=0使 f (X) 无意义， X=0是 f (X) 不可导
5、的点。列表 X （-，0） 0 (0,8) 8 (8, +) y - 不存在 + 0 - y 0 4 极小值极大值故 X=0 是极小值点，极小值f(0)=0 x=8 是极大值点，极大值f(8)=4 4、函数的最值：函数最大值和最小值统称为函数的最值。对整个函数定义域而言，极值是局部概念，函数最值是整体概念。求应用问题的最值，常用以下的结论： f(x)在a,b上连续，在（ a,b）内可导，且 X0是 f(x)在（a,b）内唯一驻点，那么当 X0是 f(x)极大值点（或极小值点）时，X0一定是 f(x)在a,b上的最大值点（或最小值点），f(x0)是函数 f(x)的最值。例如：生产某产品的总成本函
6、数 C（X）=210400xx2求使平均成本最低的产量及最低平均成本。解：平均成本xxxxcxA10400)()(2224001400)(xxxxA令 A（X）=0，则有4002x=0 得 X1=20 X2=20(舍去) 当 X20 时， A（X）20 时， A（X）0 X=20 是极小值点，在（ 0，+）内驻点唯一， X=20 也是最小值点。故当产量 X=20 时，平均成本最低，最低平均成本为 A（20）= 50201020400三、导数在经济分析中的应用1、需求（价格）弹性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4
7、/ 15 设某商品的市场需求量为q，价格为 P，需求函数 q=q(P)可导，则称)()(pqpqpEp为该商品需求价格弹性，简称需求弹性。其经济意义是：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，某需求量将增加（或减少） |Ep|%。例如：某种商品的需求量q(单位：百件 )与价格 P（单位：千元）的关系为：315)(pepq p0 ，10 求当价格为 9千元时的需求弹性。解：315153133peepqqpEppp当 P=9时，31399E2、三个边际函数（1）边际成本：边际成本是总成本函数C（q）关于产量q 的导数，记为MC，则有MC=C（q）。经济意义：当产量为p 时，再生产一个单位产品所增加的
8、成本。即边际成本是第 q+1个产品的成本。（2）边际收入：边际收入是总收入函数R（q）对销售量 q 的导数，记为 MR 。经济意义：当销售量q 时，再销售一个商品所增加的收入。（3）边际利润：利润函数 L=L（q）对销售量 q 的导数，称为边际利润，记为ML 。由于利润函数 L（q）=R(q)-c(q), 则有 L（ q）=R (q)-c(q)例如：已知总成本函数为C（q）=2000+450q+0.02q2销售单价为 490，求1）C（ q）2）L(q) 及 L (q)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 / 15
9、 解：1）C(q)450+0 ， 04q 2) 总收入函数R(q)=pq=490q 利润函数：L(q)=R（q）-C(q) =490q-(2000+450q+0.02q2) =-0.02q2+40q-2000 边际利润函数为：L (q)=-0.04q+40 自测题 : 一、选择题： 1、函数 y=x2-4x+5 在区间（ 0，+）内 A、单调增加 B、先单调增加后单调减少C、先单调减少后单调增加 D、单调减少 2、下列结论中正确的是（）。 A、函数的驻点一定是极值点 B、函数的极值点一定是驻点 C、函数的极值点处导数必为0 D、函数的导数为 0 的点一定是驻点 3、设需求函数 q=2100pe
10、 ,则需求弹性 EP=（） A、250pe B、2100ppeC、2p D、21二、填空题1、f(x)在（a,b）内有 f (X)=0, 则 f(X)= 。2、函数 f(x)= x 2-1 的单调下降区间是。3、已知需求函数32310)(ppq，则需求弹性 EP= 。三、计算题1、确定函数133123xxxy的单调区间。2、求函数 f(x)=-X4 + 83 x32x2 + 2 的极值。3、某产品固定成本为18（万元），可变成本2x 2+5X（万元），其中 X为产量（百台），求使平均成本最低的产量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5
11、 页，共 15 页6 / 15 4、某产品的需求量q=250-2P(P 为价格 ) ，价格为多少时，可使收入最大？5、已知某商品的需求量q=1200-100p(件)，其中P 是价格（元 /件），求使收入最大的销售量和相应的最大收入。6、某厂生产X个产品的成本为C（X）= 2X +100（元）得到收益为R（X）=8X0.01x2(元), 问生产多少个产品时才能利润最大 ?最大利润是多少 ? 答案：一、 选择题： 1、C 2、D 3、C 二、 填空题：1、C（常数） 2、（0，+）3、32323102pp三、 计算题：1、f(x)单调增加区间（，-1 ，3 ，+)单调减少区间为-1 ，3 2、X=
12、0 是极大值点，极大值f(0)=2 3、3(百台) 4、62.5 5、q=600(件),最大收入 R(600)=3600(元) 6、q=300(个),最大利润 L(300)=800(元) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 / 15 经济数学基础辅导5 叶挺峰第二编一元函数积分学第四章一元函数积分学一、不定积分1、什么是原函数？设 f(x)是定义在区间D 上的函数，若存在F(x)，对任何 xD，均有 F(x)=f(x) (或 dF(x)=f(x)dx) 则称 F(x)为 f(x)在 D 上原函数 (简称 f(x)
13、 的原函数 )。注意：函数f(x) 的原函数不唯一，有无穷多个。f(x) 的任意两个原函数只差一个常数。例如：F(X)是 f(x)的一个原函数， C为常数，有F(x)+C =F(x)=f(x) 。2、不定积分定义：对于某区间 D 上的函数 f(x)为可积函数，若存在原函数，则称f(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页8 / 15 为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为f(x)dx ，并称它为函数f(x)的不定积分。若 F(x)是 f(x)的一个原函数， C 为任意常数，由于f(x)的全体原函数可表示为 F(x)
14、+C，则有f(x)dx=F(x)+C 其中 C称为积分常数。3、为什么求积与求导互为逆运算？在f(x)dx= F(x)+C 中，两边对 x 求导，则有f(x)dx = F(x)+C =F(x)=f(x) 又因F(x) dx=f(x)dx= F(x)+C 上式表明：对 F(x)先导后积，结果是F(x)加上一个常数。可见：求积与求导 (或求微分 )互为逆运算。4、基本积分公式：求积与求导互为逆运算，因此，有一个导数公式就有一个对应的积分公式，同学们应熟记以下九个积分公式。odx=c xndx=xn+1n+1 +C(n1) dxx = ln|x|+c axdx=axlna +c exdx=ex+c
15、sinxdx=cosx+c cosdx=sinx+c dxsin2x = cotx+c dxcos2x = tanx+c 二、基本积分方法：(一)不定积分常用性质1、代数和分开积f(x) g(x)dx=f(x)dxg(x)dx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页9 / 15 2、常数因子提出来kf(x)dx = kf(x)dx (k 0 常数) (二)积分基本方法：1、直接积分法这是用不定积分运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。例 1：求下列不定积分(1)(3x22x+1)dx 解：原式 =3x2dx2
16、xdx+dx =3x32+12x21+1x+c=x3-x2+x+c (2)(12x + 2x)dx 解：原式 =121xdx+2xdx=12ln|x|+2xln2 + c (3)ex(1+e-x)dx 解：原式 =exdx+dx=ex+x+c (4)tan2xdx 解：原式 =sin2xcos2xdx = 1-cos2xcos2xdx =1cos2xdxdx = tanxxc 2、凑微分法 (又名第一换元法 ) 这是计算不定积分重要方法，又是本章重点，应多做练习，熟练掌握。凑微分法又名第一换元法。这方法实质上是把被积表达式凑成微分形式，再用基本公式求积。即fu(x)u (x)dx fu(x)d
17、u(x) u(x)=u ，有 f(u)du = F(u)du = dF(u) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 / 15 故dF(u) = F(u) + c=Fu(x)+c u=u(x) 注意：使用这方法求积，凑微分时需换元即选取新积分变量；在结果中要回代，消去中间变量。例如：求e2xdx 解：令 2x = u ,(以便用exdx 公式) du = (2x) dx = 2dx dx = 12 du 原式 = e u 12 du = 12e u du =12e u +c=12e 2x +c 例1、 求下列不定积
18、分(1)12x-1 dx 解：令 2x-1=u (以便用1x dx公式) du = (2x-1) dx=2dx dx = 12du 原式 = 1u12du = 121u du = 12lu|u| + c = 12ln|2x-1|+c (2)sin 1x x2 dx 解：令1x =u du =1x2 dx 原式sin1x(1x2 )dsinuducosu + c cos1x + c 熟悉了凑微分法求积分，可以省略换元、回代，但要熟记下列常用的凑微分公式，公式是：(1)adx = d(ax+b) (a0常数， b 常数) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
19、- - - -第 10 页，共 15 页11 / 15 (2)xdx = 12dx2 (3)cosxdxd(sinx) (4)sinxdx = d(cosx) (5) 1 x dx2d( x ) (6) 1x2 dxd( 1 x ) (7) 1 x dxd(lnx) (8) exdxd(ex) 例 3：求下列不积分(1)sin2xdx 解：原式 1 2sin2xd(2x) 1 2 cos2x+c (2)tanxdx 解：原式sinxcosx dxdcosxcosx ln|cosx|+ c (3)lnxx dx 解：原式nxdlnx 1 2 ln2xc (4) ex 1+ex dx 解：原式d(
20、1+ex) 1+exln|1+ex|+c 3、分部积分法这是求不定积分另一种重要方法，是本章重点之一。在被积表达式中，出现函数之积，需要分部积分法求积。 (1)分部积分公式：设 uu(x)，v = v(x)都是连续可微函数，则udvuvvdu (2)u、dv选择的原则在被积表达式中，对出现下列情况时，u、dv选择的原则是： xk eax dx 1 xk sinax dx 选 uxk ，其他为 dv xk cosax dx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 / 15 2 eaxsinbxdx eaxcosbx
21、dx 选 ueax,其他为 dv 3xklnmxdx 选 u = lnmx，其他为 dv。 (3)分部积分时， dv 中函数 v 如何找？ 1用凑微分得到 2一时无法凑微分，可用不定积分dvv + c求得一个原函数v，把 v 放在 d 之后，不必把积分常数c也放入 d 之后，因为 d(v+c)=dv。例 4：求下列不定积分：(1)x2exdx 解：原式 =x2dexx2exexdx2 = x2ex2xexdx = x2ex2xdex = x2ex2xexexdx = x2ex2x ex+2ex+ c = (x22x+2) ex+ c 从上例可见，分部积分公式可反复使用。(2)excosdx 解
22、：原式 =exdsinx=exsinxsinxdex = exsinxexsinxdx =exsinx+exdcosx = exsinx+excosxcosxdex =exsinx+excosxexcosxdx+2c 则 2excosxdx(sinx+cosx) ex+2c 原式 1 2 (sinx+cosx) ex+c (3)2xlnxdx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 / 15 解：原式 =lnxdx2x2lnxx2dlnx = x2lnxx2xdxx2lnxxdx = x2lnx 1 2 x2+c
23、 自测题：一、选择题：1、若 F( x)是 f(x)的一个原函数，则f(3x+2)dx ( ) A、F(3x+2)+c B、13F(x)+c C、13F(3x+2)+c D、F(x)+c 2、若f(x)dxcos3x+c，则 f(x)( ) A、3sin3x B、3cos3x C、3sin3x D、3cos3x 3、下列等式成立的有 ( ) A、 1 x dxd x B、 1 x2 dxd(1x ) C、sinxdxd(cosx) D、axdx=lnadax 4、下列等式正确的是 ( ) A、13 x2dx=d(x3) B、1x dx=d(ln|x|) C、sinxdx=d(cosx) D、2
24、xln2 dx=d(2x) 5、d(a-3xdx)=( ) A、a-3xdx B、a-3x(-3lna)dx C、a-3x D 、a-3x+c 6、若 f(x) 是可导函数，则下列等式中不正确的是( ) A、f(x)dx = f(x) B、f(x)dx = f(x)+c C、df(x)dx=f(x)dx D 、df(x)=f(x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 / 15 二、填空题：1、若函数 f(x)的一个原函数 F(x)=x3,则 f(x)=。2、sin2xcosxdx=。3、若f(x)dx=x2+
25、c，则xf(1x2)dx= 。三、计算题：1、求下列不定积分(1) (x2 2 x3 )dx (2) (x-1 xsinx)dx (3) ex(3+2x)dx 2、求下列不定积分(1) ex(1+ex)4dx (2) x 1-x2 dx (3) sin(1-2x)dx (4) cosxesinxdx (5)coscos xx dx 3、求不定积分(1) xexdx (2) xlnxdx (3) xsinxdx (4) exsinxdx (4)2xln(x+1)dx 答案：一、选择题：1、C 2、A 3、B 4、B 5、A 6、B 二、填空题：1、6x 2、 1 3 sin3x+c 3、 12
26、(1x2)2+c 三、计算题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页15 / 15 1、 (1) 1 3 x3+1x2 +c (2)xln|x|cosxc (3) 3ex+(2e)x1+ln2 + c 2、(1)15 (1+ex)5+c (2)cx232)1 (31 (3)12 cos(12x)+c (4)esinx+c (5)2sin x +c 3、(1)xexex + c (2)12 x2lnxx24 + c (3)xcosx + sinx + c (4) 12 ex (sinxcosx)+ c (5)x2ln(x+1)x22 + xln|x+1|+ c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
