《2022年大学物理授课教案第三章动量守恒和能量守恒定律》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年大学物理授课教案第三章动量守恒和能量守恒定律（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章动量守恒和能量守恒定律1-1 质点和质点系的动量定理一、质点的动量定理1、动量质点的质量 m与其速度v的乘积称为质点的动量，记为P。vmP（3-1）说明：P是矢量，方向与v相同P是瞬时量P是相对量坐标和动量是描述物体状态的参量2、冲量牛顿第二定律原始形式)(vmdtdF由此有)(vmddtF积分：122121ppPddtFpptt（3-2）定义：21ttdtF称为在21tt时间内力F对质点的冲量。记为21ttdtFI（3-3）说明：I是矢量I是过程量I是力对时间的积累效应I的分量式212121ttzzttyyttxxdtFIdtFIdtFI精选学习资料 - - - - - - - - -
2、 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页212121)()()(121212ttzzttyyttxxdtFttFdtFttFdtFttF（3-4）分量式（ 34）可写成)()()(121212ttFIttFIttFIzzyyxx（3-5）xF 、yF 、zF 是在21tt时间内xF 、yF 、zF 平均值。3、质点的动量定理由上知12ppI（3-6）结论：质点所受合力的冲量 =质点动量的增量，称此为质点的动量定理。说明：I与12pp同方向分量式z1z2zy1y2yx1x2xppIppIppI（3-7）过程量可用状态量表示，使问题得到简化成立条件：惯性系动量原理对碰撞问
3、题很有用二、质点系的动量定理概念：系统：指一组质点内力：系统内质点间作用力外力：系统外物体对系统内质点作用力设系统含 n个质点，第i个质点的质量和速度分别为im 、iv ，对于第i个质点受合内力为内iF，受合外力为外iF，由牛顿第二定律有dtvmdFFiiii)(内外对上式求和，有n1iiin1iiin1iin1ii)vm(dtddt)vm(dFF内外因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故0合内力F，有PdtdF合外力（3-8）结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。式（3-8）可表示如下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
4、- - - -第 2 页，共 16 页122121ppPddtFpptt合外力（3-9）即12ppI合外力冲量（3-10）结论： 系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。例 3-1：质量为 m的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间t，打击前铁锤速率为 v，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？解：设竖直向下为正，由动量定理知：mvtF0tmvF强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量例 3-2 ：一物体受合力为tF2（SI） ，做直线运动，试问在第二个5 秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？解：设物体沿 +x 方向运动，2525
5、0501tdtFdtIN S（1I 沿i方向）7521051052tdtFdtIN S（2I 沿i方向）3/12II1122)()(pIpI3)()(12pp例 3-3：如图 3-1，一弹性球，质量为020.0mkg，速率5vm/s，与墙壁碰撞后跳回。设跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60，求碰撞过程中小球受到的冲量?I设碰撞时间为05.0ts，求碰撞过程中小球受到的平均冲力?F解：?I如图 3-1 所取坐标，动量定理为12vmvmI方法一 用分量方程解0sinsincos2)cos(cos1212mvmvmvmvImvmvmvmvmvIyyyxxx1oAB2212（平移）
6、xy图 3-1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页iiimviIIx10.060cos5020.02cos2N S 方法二 用矢量图解)(1212vvmvmvmI)(12vv如上图 3-1 所示。60OBA, 60A故OAB为等边三角形。512vvvm/s,)(12vv沿i方向10. 05020. 012vvmIN S，沿i方向。tFIiitIF205.0/10.0/N 注意：此题按21ttdtFI求I困难（或求不出来）时，用公式pI求方便。3-2 动量守恒定律由式（ 3-8）知，当系统受合外力为零时0dtpd (3
7、-11) 即系统动量不随时间变化, 称此为动量守恒定律。说明：动量守恒条件：0合外力F，惯性系。动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。内力能改变系统动能而不能改变系统动量。0合外力F时，若合外力F在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。动量守恒是指常矢量p（不随时间变化），此时要求0合外力F。动量守恒是自然界的普遍规律之一。例 3-4：如图 3-2，质量为 m的水银球，竖直地落到光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，沿桌面运动。其中两等份的速度分别为1v 、2v ，大小都为 0.30m/s 。相互垂直地分开，试求第三等份的速度。解： 方法一 用分量式法解研
8、究对象：小球受力情况： m只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平方向不受力，故水平方向动量守恒。xy11vm22vm33vmo图 3-2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页在水平面上如图 3-2 取坐标，有0)90cos(cos332211vmvmvmx分量：0)90sin(sin2211vmvmy分量：smvvmmm/30.021321）成即与135(13545/42.030.02213vsmvv方法二 用矢量法解0332211vmvmvm及321mmm0321vvv即)(213vvv即有图 3-3。可得
9、42.02)(22212133vvvvvvvm/s 得13545强调： 要理解动量守恒条件例 3-5：如图 3-4，在光滑的水平面上，有一质量为M长为l的小车，车上一端有一质量为 m 的人，起初 m 、M均静止，若人从车一端走到另一端时，则人和车相对地面走过的距离为多少？解：研究对象： m、M为系统此系统在水平方向受合外力为零，在此方向动量守恒。方法一0MmvMvm（对地）)(MmMmvvv0)(MMMmvMvvm即0)(MMmvMmvm如图所取坐标，标量式为0)(MMmvMmmv即MMmvMmmv)(积分（0t，m在 A处，0tt，m在 B处）dtvMmdtvmtMtMm0000)(即MSM
10、mml)(得MmmlSM由图 3-4 知：lMmMSlSMm1v2v)(213vvvo图 3-3)(21vvlMmSMSABx图 3-4mMv精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页方法二0MmvMvm标量式：0MmMvmv即MmMvmv积分：dtvMdtvmtMtm0000MmMSmS可知：lSSMm由、得：lMmmSlMmMSMm例 3-6：质量为m的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用以与水平方向成角的速率 v向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出，问：由于人抛出物体， 他跳跃的距离
11、增加了多少？ （假设人可视为质点）解：如图 3-5，设 P为抛出物体后人达到的最高点，1x 、2x 分别为抛球前后跳跃的距离。研究对象：人、物体组成的系统， 该系统在水平方向上合外力=0， 在水平方向上系统的动量分量守恒。设在 P点，人抛球前、后相对地的速度分别为v、1v ，在 P点抛球后球相对地速度为2v ，有)uv(mvmvmvmv)mm(1121标量式：)uv(mvmv)mm(11即muvmmvmm10)(cos)(得：ummmvvcos01gmmmuvgvummmtvvxxx)(sinsin)cos(000112强调：uvv12，uvv2。因为u是与1v 同时产生的，而人速度为v时，u
12、还没产生yxv1x2xPo图 3-5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页3-3 碰撞一、碰撞碰撞非直接碰撞直接碰撞特点：碰撞时物体间相互作用内力很大，其它力相对比较可忽略。即碰撞系统合外力 =0。故动量守恒。机械能E不守恒：非完全弹性碰撞完全非弹性碰撞守恒完全弹性碰撞：EE二、完全弹性碰撞1、对心情况（一维）如图 3-6，以1m 与2m 为系统，碰撞中常矢p2211202101vmvmvmvm（3-12）22212202210121212121mvmvvmvm（3-14）1220101m2mx碰前碰后碰时图 3-61
13、m2m1m2m（0v，沿+x 方向；反之，沿 -x 方向）解得：211012012221202102112)(2)(mmvmvmmvmmvmvmmv（ 3-15）讨论：10220121vvvvmm（交换速度）10210112210112202,0,0vvvvmmvvvmmv2、非对心情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页设21mm，且020v，可知，1m 、2m 系统动量及动能均守恒，即22221121012211101212121vmvmvmvmvmvm（3-16）22212102110vvvvvv（3-17）可
14、知，1v 、2v 、10v 是以10v 为斜边的直角三角形，如图3-7。3-4 动能定理一、功定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。1、恒力的功恒力：力的大小和方向均不变。如图 3-8，功为SFSFWcos(3-18) 即SFW(3-19) 说明：W为标量力对物体不做功力对物体做负功力对物体做正功,0,2,0,2,0,20WWW功是过程量功是相对量功是力对空间的积累效应作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。2、变力的功设质点做曲线运动，如图3-9。F为变力，在第i个位移元iS 中，iF 看作恒力，iF对物体做功为iiiiiSFSFWcos质点从ba过程中，F对质点做
15、的功为iiiiiSFWW功的精确数值为1m2m10v020v图 3-72m1m1v2vmFS图 3-8（恒力）（位移）baiF2F1FiS1S2Si图 3-9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页babaiiiSrdFSdFSFW0limmaxiSS即：baSdFW（ 3-20）讨论：恒力功SFSdFSdFWbaba直线运动设ixFxF)()(，如图 3-10，质点在ba中，功为曲线下面积代数和bababaFdxidxiFxdFW合力功设质点受 n个力，1F ，2F ，nF ，合力功为banbardFFFrdFW)(2
16、1nbanbabaWWWrdFrdFrdF2121各分力功代数和二、功率定义：力在ttt内对物体做功为W，下式tWP称为在ttt时间间隔内的平均功率。下式VFdtrdFdtdWtWlimPlimP0tt称为瞬时功率，即VFP（3-21）三、质点的动能定理1、动能定义：221mvEk（3-20）式（3-20）中， m、 v分别为物体质量和速率。称kE 为质点的动能。说明：kE 为标量；kE 为瞬时量；)(xFabcxo图 3-10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页kE 为相对量。2、质点的动能定理设 m做曲线运动，如
17、图3-11，合力为F，在 a、b 二点速度分别为1v 、2v 。在 c 点力为F，位移为sd，由牛顿定律有：ttmaF（切线上）即dtdvmF cosdsdtdvmdsF cos即v m d vsdF)(vdtds做如下积分：2122212121mvmvmvdvsdFvvba可写成：21222121mvmvW（ 3-21）结论：合力对质点作的功等于质点动能的增量, 称此为质点的动能定理。说明：0E00E00E0WkkkW为过程量，kE 为状态量，过程量用状态量之差来表示，简化了计算过程。动能定理成立的条件是惯性系。功是能量变化的量度。例 3-7：如图 3-12，篮球的位移为S，S与水平线成45
18、角，mS4，球质量为 m ，求重力的功。解：研究对象：球重力为恒力mgmgFSFSSFW22135cos4135coscos强调：恒力功公式SFW的使用 . 例 3-8：如图 3-13，远离地面高H处的物体质量为 m，由静止开始向地心方向落到地面，试求：地球引力对m做的功。解：c 点：ixGmMF2ba1vcsdtFna切线F图 3-11gm45S球水平图 3-12HabRcxo图 3-13x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页babaidxixGmMxdFW)(2)11(RHRGmM例 3-9：力i tF6(SI
19、)作用在kgm3的质点上。物体沿x 轴运动，0t时，00v。求前二秒内F对 m作的功。解：研究对象： m直线问题，F沿+x 轴方向方法一 按baxdFW作在此有：babatdx6idxi t6WtdtdvmmaF6tdtmdv6做如下积分：tvt d tdv0063有2tv2tvdtdx即dttdx2J24t23dttt6W204202方法二 用动能定理作)vv(m21mv21mv21W21222122J24)02(3214例 3-10：质量为kg10的物体作直线运动，受力与坐标关系如图3-14 所示。若0x时，smv/1，试求mx16时，?v解：在0x到mx16过程中，外力功为J40xW轴所
20、围面积代数和力曲线与由动能定理为：2122mv21mv21W即1102110214022vsmv/32481216)(mx10-100)(NF图 3-14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页3-5 保守力与非保守力势能一、万有引力、重力、弹性力的功及其特点1、万有引力功及特点如图 3-15，设质量为 m物体在质量为M的引力场中运动，（M不动） ， m从ba中，引力功 =？bardFW在任一点 c 处，rrGmMF3（变力）ba3rdrrGmMW（3-22）rrr2rrdrdrrdr2又rrdrdrrdrrdrbaa
21、b3r1r1GmMrdrrmMGW（3-23）特点：万有引力只与物体始末二位置有关，而与物体所经路程无关。2、重力功及特点如图 3-16，质点 m经 acb 路径由ba，位移为S，在地面附近重力可视为恒力，故功为)yy(mgcosmgsspWba（3-24）特点：重力功只与物体始末二位置有关，而与其运动路径无关。3、弹性力功及特点如图 3-17，)(mk称为弹簧振子， m处于 x 处时，它受弹性力为轴正向沿轴负向沿xFxxFxikxiFF, 0,0MFrarmrdabcbr图 3-15abcgmmaybyxyo图 3-16Skmo1x2xx图 3-17精选学习资料 - - - - - - -
22、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页m从坐标21 xx过程中，弹性力做功为2121xxxxidxikxxdFW)(idxxd)2121(212221kxkxxdxkxx（3-25）特点：弹性力功仅与物体始末位置有关而与过程无关。如：物体可以从1x 处向左移，然后向右平移至2x 处，也可以从1x 处直接移到2x 处。但是，无论怎样从1x 处移到2x 处，弹性力做的功都是上述结果。二、保守力和非保守力1、保守力与非保守力如果力F对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为：lldF0（3-26）及l
23、l dF0（3-27）由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。三、势能对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即：)EE(Wpapb（3-28）结论：保守力功 =相应势能增量的负值。* 从理论上讲，ll dF00F即F是无旋的，0FF与pE 有对应关系，pE 可定义为与F相应的势能。也就是说，保守力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。 注意：势能是相对的，属于系统的。 ）势能零点取在无限远处万有引力势能：(rmMGEp（ 3-29 ）面上）势能零点取在某一水平重力势能：(mghEp（3-30）处）势能零点取在弹簧原长
24、弹性势能：(212kxEp（3-31）说明： （1）能概念保守力场中才能引进势精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页（2）势能是属于系统的（3）势能是相对的3-6 功能原理机械能守恒定律一、质点系的动能定理系统中有 n个物体，第i个物体受合外力为外iF，合内力为内iF，在某一过程中，合外力功为外iW，合内力功为内iW，由单个质点的动能定理，对第i个质点有：21ii22iiiivm21vm21WW内外（3-32）,2 ,1i。对上式两边求和，有n1i21iin1i22iin1iin1iivm21vm21WW内外（3-3
25、3）1k2kEEWW内外（3-34）结论：合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量。称此为系统的动能定理。二、功能原理作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。由质点动能定理1k2kEEWW内外有1k2kEEWW(W）非保守保守内外势能增量负值）保守力功保守内非保守外(EEEEWEEWW1p2p1k2k1k2k1122pkpkEEEE1p1k2p2kEEEEWW非保守外（3-35）结论：合外力功 +非保守内力功 =系统机械能（动能 +势能）的增量。称此为功能原理。说
26、明：功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。功是能量变化或转化的量度能量是系统状态的单值函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页三、机械能守恒定律由功能原理知，当0WW非保守外时，有1122pkpkEEEE（3-36）结论：当0WW非保守外时，系统机械能 =常量，这为机械能守恒定律。（注意守恒条件）例 3-11：如图 3-18，在计算上抛物体最大高度H时，有人列出了方程（不计空气阻力）2022021cos21mvmvmgH列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？
27、解：动能定理为合力功 =质点动能增量202021cos21mvvmmgH功能原理为外力功 +非保守内力功 =系统机械能增量（取 m、地为系统）021cos21002020mvmgHvm机械能守恒定律0非保内外WW1122pkpkEEEE即021cos212020mvmgHvm可见，此人用的是质点的动能定理。例 3-12：如图 3-19，质量为 m的物体，从四分之一圆槽A 点静止开始下滑到B。在 B处速率为 v，槽半径为R。求 m 从 AB过程中摩擦力做的功。解： 方法一 按功定义BAsdFW，m 在任一点 c 处，切线方向的牛顿第二定律方程为dtdvmmaFmgtrcoscosmgdtdvmF
28、rcossdFsdFWBArBArxy0vH0pEo图 3-18精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页BABArdsdtdvmcosmgdsFBABAdsmgdsdtdvmcos200cos RdmgvdvmvmgRmv221方法二 用质点动能定理m受三个力，N，rF ，gm由2122mv21mv21W合有0mv21WWW2prN即)m g hEW(mv21mgRW0pp2rmgRmv21W2r方法三 用功能原理取 m、地为系统，无非保守内力0W非保内，外F 功为rWW外（N不作功，及槽对地的力也不做功）由1p1k2p2kEEEEWW非 保 守外有00mgRmv210W2r即mgRmv21W2r注意：此题目机械能不守恒。例 3-13：质量为1m 、2m 的二质点靠万有引力作用，起初相距l，均静止。它们运动到距离为l21时，它们速率各为多少？解：以二质点为系统，则系统的动量及能量均守恒，即02211vmvmlmGmlmGmvmvm21212222112/2121由、解得：lmmGmvlmmGmv2112212122图 3-19切线m0pEsddcABrFgmvo水平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
