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1、精品资料欢迎下载复合函数单调性年级：高二科目：数学时间： 4/12/2009 22:10:40 新5823779 请问老师如何求复合函数单调性答： 同学，你好，现提供以下资料供你参考：若 y 是 u 的函数： yf(u)，而 u 又是 x 的函数： u(x)，且(x)的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y 通过 u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中 u 叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。一、复合函数单调性的判断：设 yf(x) ，ug(x) ，xa ，b ，um，n 都是单调函数，则 yfg(
2、x)在a ，b 上也是单调函数。若)(xfy是m，n 上的增函数，则yfg(x)与定义在a ，b 上的函数 ug(x) 的单调性相同。若)(xfy是m，n 上的减函数，则 yfg(x)与定义在a ，b 上的函数 ug(x) 的单调性相同。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时, 则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时, 则复合函数为减函数。简而言之“同为增，异为减”。二、复合函数单调区间的求解步骤: 求复合函数的定义域；把复合函数分解成若干个常见的基本
3、函数；分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性；由复合函数的增减性判断方法，写出复合函数的单调区间. 例 1求函数21xy的单调区间解：由02x，得0x或0x令2xt（0t） ，则ty1ty1在),0(上为减函数而2xt在)0,(上为减函数，在),0(上是增函数；由“同增异减”可得，函数21xy在)0 ,(上为增函数，在),0(上为减函数。例 2 求函数342xxy的单调区间 . 解 ： 由xxxx243013或函 数 的 定 义 域 是()，13. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载令uxx24
4、3 , 则21uyyu12在, 0是增函数，而u在1 ,上是减函数，在,3上是增函数；由“同增异减”得，函数的增区间是)3， 函数的减区间是1 ,. 例 3 已知228)(xxxf，试确定)2(2xfy的单调区间 . 解：令22xt，则912822ttttfy，得tf在1 ,上为增函数，在, 1上为减函数；由122xt， 解 得1x或1x， 由122xt， 解 得11x；而函数t在1,和0, 1上是增函数， 在1 ,0和, 1上是减函数；由复合函数求单调区间的方法得，)(xg的单调递增区间为1,和1 ,0，)(xg的单调递减区间为, 1和0 ,1. 例4 若 函 数( )f x在(,)上 是
5、减 函 数 ， 试 判 断22xxfy的单调区间。解：原函数的定义域为R令22xxu，则ufy，函数( )f x在(,)上是减函数，而22xxu在1 ,上是增函数，在, 1上为减函数，y在1 ,上为减函数，在, 1上为增函数，即原函数的单调减区间为1 ,，单调增区间为, 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载评注：复合函数求单调区间是一个难点，我们应明确单调区间必须是定义域的子集，当求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原则判断复合函数的单调区间，在函数学习中应树立“定义域优先”的原则。另外，对初学者来说，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
