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1、精品资料欢迎下载复合函数单调性年级:高二科目:数学时间: 4/12/2009 22:10:40 新5823779 请问老师如何求复合函数单调性答: 同学,你好,现提供以下资料供你参考:若 y 是 u 的函数: yf(u),而 u 又是 x 的函数: u(x),且(x)的函数值的全部或部分在的定义域内,那末,y 通过 u 的联系也是x 的函数,我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数,简称复合函数,记作,其中 u 叫做中间变量。注:并不是任意两个函数就能复合;复合函数还可以由更多函数构成。一、复合函数单调性的判断:设 yf(x) ,ug(x) ,xa ,b ,um,n 都是单调函数,则 yfg(
2、x)在a ,b 上也是单调函数。若)(xfy是m,n 上的增函数,则yfg(x)与定义在a ,b 上的函数 ug(x) 的单调性相同。若)(xfy是m,n 上的减函数,则 yfg(x)与定义在a ,b 上的函数 ug(x) 的单调性相同。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精品资料欢迎下载即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时, 则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时, 则复合函数为减函数。简而言之“同为增,异为减”。二、复合函数单调区间的求解步骤: 求复合函数的定义域;把复合函数分解成若干个常见的基本
3、函数;分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性;由复合函数的增减性判断方法,写出复合函数的单调区间. 例 1求函数21xy的单调区间解:由02x,得0x或0x令2xt(0t) ,则ty1ty1在),0(上为减函数而2xt在)0,(上为减函数,在),0(上是增函数;由“同增异减”可得,函数21xy在)0 ,(上为增函数,在),0(上为减函数。例 2 求函数342xxy的单调区间 . 解 : 由xxxx243013或函 数 的 定 义 域 是(),13. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精品资料欢迎下载令uxx24
4、3 , 则21uyyu12在, 0是增函数,而u在1 ,上是减函数,在,3上是增函数;由“同增异减”得,函数的增区间是)3, 函数的减区间是1 ,. 例 3 已知228)(xxxf,试确定)2(2xfy的单调区间 . 解:令22xt,则912822ttttfy,得tf在1 ,上为增函数,在, 1上为减函数;由122xt, 解 得1x或1x, 由122xt, 解 得11x;而函数t在1,和0, 1上是增函数, 在1 ,0和, 1上是减函数;由复合函数求单调区间的方法得,)(xg的单调递增区间为1,和1 ,0,)(xg的单调递减区间为, 1和0 ,1. 例4 若 函 数( )f x在(,)上 是
5、减 函 数 , 试 判 断22xxfy的单调区间。解:原函数的定义域为R令22xxu,则ufy,函数( )f x在(,)上是减函数,而22xxu在1 ,上是增函数,在, 1上为减函数,y在1 ,上为减函数,在, 1上为增函数,即原函数的单调减区间为1 ,,单调增区间为, 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精品资料欢迎下载评注:复合函数求单调区间是一个难点,我们应明确单调区间必须是定义域的子集,当求单调区间时,必须先求出原复合函数的定义域,再根据基本函数的单调性与“同为增,异为减”的原则判断复合函数的单调区间,在函数学习中应树立“定义域优先”的原则。另外,对初学者来说,做这类题目时,一定要按要求做,不要跳步。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页