《2022年高二数学圆锥曲线的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高二数学圆锥曲线的综合问题（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载高二数学寒假辅导资料（6）圆锥曲线的综合问题一、基础知识：解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计的非
2、常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号二、基础练习：1 设 abc0， “ac0”是“曲线ax2+by2=c 为椭圆”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要
3、条件D 既不充分又不必要条件答案： B 解析： ac0曲线 ax2+by2=c 为椭圆反之成立2 到两定点 A（0，0） ，B（3，4）距离之和为5 的点的轨迹是（）A 椭圆BAB 所在直线C 线段 AB D 无轨迹答案： C解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=34x，其中 0x3 3 若点（ x，y）在椭圆4x2+y2=4 上，则2xy的最小值为（）A1 B1 C323D 以上都不对答案： C 解析：2xy的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率显然直线与椭圆相切时取得最值， 设直线 y=k （ x2） 代入椭圆方程 （4+k2） x24k2x+4k24=0 令=0， k=3
4、23kmin=3234 以正方形 ABCD 的相对顶点A、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（）A3210B315C215D2210答案： D 解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=22105 已知 F1（ 3，0） 、F2（3，0）是椭圆mx2+ny2 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点， 当 F1PF232时， F1PF2的面积最大，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载Am=12，n=3 Bm=24， n=6 Cm=6， n=23Dm=12，
5、n=6 答案： A解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3 6 点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线x=4 的距离的比为2, 则动点 M 的轨迹方程为( ) A 13422yxB 13422yxC 3x2-y2-34x+65=0 D 3x2-y2-30x+63=0 答案 : D解析 : 24)1(22xyx, 两边平方即得3x2-y2-30x+63=0 7 P是椭圆191622yx上的动点 , 作 PDy 轴, D 为垂足 , 则 PD 中点的轨迹方程为( ) A 116922yxB 196422yxC 14922yxD 19422yx答案 : D 解析 : 设 PD 中点
6、为 M(x, y), 则 P点坐标为 (2x, y), 代入方程191622yx, 即得19422yx8 已知双曲线12222byax,(a0,b0), A1、A2是双曲线实轴的两个端点, MN 是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则 A1M 与 A2N 交点的轨迹方程是( ) A 12222byaxB 12222bxayC 12222byaxD 12222bxay答案 : A 解析 : 设 M(x1, y1), N(x1, -y1), A1M 与 A2N 交点为 P (x,y), A1 (-a,0), A2(a,0), 则 A1 M 的方程是axaxyy11,A2M 的方程是axaxyy1
7、1, 两式相乘 , 结合1221221byax即得三、典型例题：例 1已知椭圆C 的方程为22ax+22by=1（ab0） ，双曲线22ax22by=1 的两条渐近线为l1、l2，过椭圆 C 的右焦点F 作直线 l，使 ll1，又 l 与 l2交于 P 点，设 l 与椭圆 C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）（1）当 l1与 l2夹角为 60，双曲线的焦距为4 时，求椭圆C 的方程；（2）当FA=AP时，求 的最大值分析： （1）求椭圆方程即求a、b 的值，由 l1与 l2的夹角为 60易得ab=33，由双曲线的距离为4 易得 a2+b2=4，进而可求得a、b（2）由FA=AP，欲求 的最
8、大值，需求A、 P 的坐标，而P 是 l 与 l1的交点，故需求 l 的方程将l 与 l2的方程联立可求得P 的坐标，进而可求得点A 的坐标将 A 的坐标代入椭圆方程可求得 的最大值解： （1）双曲线的渐近线为y=abx，两渐近线夹角为60，又ab1， POx=30，即ab=tan30=33 a=3bFll2l1ABPoyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载又 a2+b2=4， a2=3，b2=1 故椭圆 C 的方程为32x+y2=1 （2）由已知l：y=ba（xc） ，与 y=abx 解得 P
9、（ca2，cab） ，由FA=AP得 A（12cac，1cab）将 A 点坐标代入椭圆方程得（c2+a2）2+2a4=（1+）2a2c2（ e2+）2+2=e2（ 1+）22=2224eee= （2e2）+222e+3322的最大值为21 点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题例 6 A、B、C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6 km，C 在 B 正北偏西30，相距 4 km，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C 两地
10、比 A 距 P 地远，因此 4 s 后， B、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A 若炮击 P 地，求炮击的方位角解：如下图，以直线BA 为 x 轴，线段 BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B（ 3，0） 、A（3， 0） 、C（ 5，23）因为 |PB|=|PC|，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上因为 kBC=3，BC 中点 D（ 4，3） ，所以直线PD 的方程为y3=31（x+4）又|PB|PA|=4，故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上设 P（x，y） ，则双曲线方程为42x52y=1（x0）联立，得x=8，y=53，所以 P（8，53）因此kPA
11、=3835=3故炮击的方位角为北偏东 30例 3、已知双曲线C：2x2y2=2 与点 P(1， 2) (1)求过 P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没有交点 . (2)若 Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. .解： (1)当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线 C 有一个交点 .当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y2=k(x1),代入 C 的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*) ( )当 2k2=0,即 k=2时，方程 (*)有一个根， l 与 C 有一个交点( )当 2k20,即
12、k2时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k) 当 =0,即 32k=0,k=23时，方程 (*)有一个实根，l 与 C 有一个交点 . 当 0,即 k23,又 k2,故当 k2或2k2或2k23时， 方程(*)有两不等实根，l 与 C 有两个交点 . 当 0，即 k23时，方程 (*)无解， l 与 C 无交点 . PDCBAoyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载综上知：当k=2,或 k=23，或 k 不存在时， l 与 C 只有一个交点；当2k23,或2k2,或 k2
13、时， l 与 C 有两个交点；当 k23时， l 与 C 没有交点 . (2)假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x12 y12=2,2x22y22=2 两式相减得： 2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2) 又 x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1即 kAB=2121xxyy=2 但渐近线斜率为2,结合图形知直线AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在. 例 4 如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点 F2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B， 且|F1B|+
14、|F2B|=10， 椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件： |F2A|、 |F2B|、|F2C|成等差数列 . (1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦 AC 中点的横坐标；(3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m，求 m 的取值范围 . 20.解： (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b=22ca=3. 故椭圆方程为92522yx=1. (2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=59.因为椭圆右准线方程为x=425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F2A|=54(425x1),|F2C|=54(
15、425x2)，由|F2A|、 |F2B|、|F2C|成等差数列，得54(425 x1)+54(425x2)=259,由此得出： x1+x2=8. 设弦 AC 的中点为P(x0,y0),则 x0=221xx=4. (3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上 . 得25925925925922222121yxyx得9(x12x22)+25(y12 y22)=0, 即 9)()2(25)2(21212121xxyyyyxx=0(x1 x2) 将kxxyyyyyxxx1,2, 422121021021(k 0)代入上式，得94+25y0(k1)=0 (k0) 即 k=3625y0(当
16、k=0 时也成立 ). 由点 P(4，y0)在弦 AC 的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以 m=y04k=y0925y0=916y0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载由点 P(4，y0)在线段 BB(B与 B 关于 x 轴对称 )的内部，得59y059,所以516m516. 解法二：因为弦AC 的中点为P(4,y0)，所以直线AC 的方程为yy0=k1(x4)(k0) 将代入椭圆方程92522yx=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0 所以
17、x1+x2=259)4(5020kk=8,解得 k=3625y0.(当 k=0 时也成立 ) (以下同解法一). 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是（A）A43 B75 C85 D32. 椭圆2221(1)xyaa的一个焦点为F，点 P 在椭圆上，且 | |OPOF （ O 为坐标原点），则OPF的面积 S等于（ A）A12 B75 C85 D以上都不对3椭圆122byax与直线xy1交于 A、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为23，则ba的值为 AA.
18、23B.332C. 239D. 27324.若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0 距离，则M 点的轨迹是（D）A.x+4=0 B.x-4=0 C.28yx D.216yx5.直线 l 过点(2,0)且与双曲线222xy仅有一个公共点，这样的直线有（C）A.1 条B.2 条C.3条D.4 条6. 过双曲线M:2221yxb的左顶点A作斜率为 1 的直线l, 若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于 B、C,且 |AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是（ C）A.10 B.5 C.103 D.527.椭圆221259xy上的一点M 到左焦点1F的距离为2，N 是 M1F的
19、中点，则 |ON| 等于（ A）A. 4 B. 2 C. 32D. 8 8. 已知(,)5 2 6xya，(,)52 6xyb，曲线1a b一点 M 到 F（7，0）的距离为11，N是 MF 的中点， O 为坐标原点，则|ON| 的值为（ B）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载A211B221C21D221或219.抛物线22xy离点 A（0， a）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是（C）A.0aB. 12aC. 1aD. 2a10. 已知12,FF为椭圆 E的两个左右焦点，抛物线 C
20、以1F为顶点，2F为焦点， 设 P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e 满足12PFe PF，则 e 的值为（ A）A. 33B.23C. 22D.2211已知双曲线)0(222aayx的左、右顶点分别为A、B，双曲线在第一象限的图像上有一点 P，APBPBAPAB,，则（ C）A、0tantantanB、0tantantanC、0tan2tantanD、0tan2tantan12. 已知点 P是椭圆221(0,0)168xyxy上的动点，12,F F为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是12F PF的角平分线上一点，且10FM MP, 则OM的取值范围是（B）A.0,3 B. (0,2
21、 2) C. 22,3) D.0,4二、填空题：本大题共4 小题；每小题4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上。13. 已知点 P（x,y）是抛物线y2=x 上任意一点，且点P在直线0ayax的上方，则实数a 的取值范围为. 13. 12a. 14.与双曲线221169xy有共同的渐近线， 且经过点( 3,2 3)A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于14.2 15若椭圆22:11xCym的一条准线方程为2x，则m；此时， 定点)0 ,21(与椭圆 C上动点距离的最小值为 .15.1，32. 16.已知抛物线) 1 ,0(,22Pyx过点的直线与抛物线相交于),(),(221,1yx
22、ByxA两点，则21yy的最小值是 _ 16. 2 三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。17过抛物线xy42的焦点作一条斜率为k(k0)的弦，此弦满足：弦长不超过8；弦所在的直线与椭圆3x2+ 2y2= 2相交，求k 的取值范围17. 解： 抛物线xy42的焦点为 (1，0)，设弦所在直线方程为)1(xky由)1(42xkyxy得0)2(22222kxkxk2 分1)2(2212221xxkkxx，故42422221) 1(164)2(4)(kkkkxx由64)1(16)(1(4222212kkxxk，解得 k 1 精选学习资料 - - - -
23、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载由)1(22322xkyyx得0)1(24)23(2222kxkxk8 分由0)1)(23(816224kkk，解得 k2 3 因此 1k2 3 k 的取值范围是 3 ， 1 1，3 18 若点 P在椭圆13422xy上， 设)1(|21mmPFPF，（1） 试用 m 表示21PFPF；（ 2）在（ 1）的条件下，求|2121PFPFPFPF的最大值和最小值18. 解： （ 1）因为P在椭圆上，故1121224,4,24,.2mPFPFPFmPFPFmPF21PFPF222212121212
24、12128cos.42PFPFF FmPFPFF PFPFPFPFPF（ 2）mmPFPFPFPF8412121，由平面几何知识21PFPF21FF，即2m，所以2, 1m；记xxxf8，设21,xx2, 1且21xx，则21xfxf212181xxxx0，所以21，在xf上单调递减，所以当1m时原式取最大值49，当2m时原式取最小值23. 19已知椭圆2212xy的左焦点为F，O 为坐标原点。（1）求过点O、 F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段 AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点 G 横坐标的取值范围。19.解： （1）22
25、2,1,1,( 1,0), :2.abcFlx圆过点 O、F，圆心 M 在直线12x上。设1(, ),2Mt则圆半径13()( 2).22r由,OMr得2213(),22t解得2.t所求圆的方程为2219()(2).24xyxylGABFOxylGABFO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载（2）设直线AB的方程为(1)(0),yk xk代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxk xk直线 AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记1122(,),(,),A x yB xyAB中点
26、00(,),N xy则21224,21kxxkAB的垂直平分线NG 的方程为001().yyxxk令0,y得222002222211.21212124210,0,2GGkkkxxkykkkkkx点 G 横坐标的取值范围为1(,0).220 （理） 已知动点M 到点 F222)0,2(的距离之比为的距离与到直线x. （ 1）求动点M 的轨迹 C的方程；（ 2）若过点E（0， 1）的直线与曲线C在 y 轴左侧交于不同的两点A、B，点 P（ 2，0）满足)(21PBPAPN，求直线PN 在 y 轴上的截距d 的取值范围 .（文）直线l：1kxy与曲线1:22yxC的左支交于不同的两点A、B，直线 m
27、 过点 P（ 2，0）和 AB的中点 M，求 m 在 y 轴上截距b 的取值范围 . 20 （理）解：（1）设动点M 的坐标为（ x，y） ，由题设可知, 1,222)2(2222yxxyx整理得：动点 M 的轨迹 C方程为122yx（2）设 A（x1，y1） ，B（ x2， y2） ，由题设直线AB的方程为：, 1kxy由)1(1122xyxkxy消去 y 得：),1(022)1(22xkxxk由题意可得：0120120)1 (84, 01221221222kxxkkxxkkk解得21k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共
28、11 页优秀学习资料欢迎下载),(),(2100yxNABNPBPAPN中点，设为则,111,122002210kkxykkxxx222),0(),0,2(),11,1(222kkddQPkkkN三点共线可知令)2, 1()(,22)(2在则kfkkkf上为减函数 . 2)22(,0)()1()()2(ddkffkff或则且（文） 解：由1122yxkxy消去 y 得：),1(022)1(22xkxxk0120120)1 (84, 01221221222kxxkkxxkkk解得21k设 M（ x0，y0）则,111,122002210kkxykkxxx2212 0(,),(0,6)11kpMQ
29、kk由（， ），三点共线2222bkk可知令)2, 1()(,22)(2在则kfkkkf上为减函数 . 2)22(,0)()1()()2(bbkffkff或则且21. 已知椭圆)0(12222babyax，它的上下顶点分别是A、B， 点 M 是椭圆上的动点 （不与 A、B 重合） ，直线 AM 交直线2yb于点 N，且BNBM. （ 1）求椭圆的离心率；（ 2）若斜率为1 的直线 l 交椭圆于P、Q 两点，求证：OQOP与向量a=（ 3，1）共线（其中O 为坐标原点）21 解： （1）设 M（x0，y0） ，又点 A（0，b） ，B（0， b）直线 AM：.00bxxbyy0000002 ,(
30、,2 ).ybbxbxxNbybyxbybybx得0000(,),(,3 )bxBMxyb BNbyb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载200003 ()0,bxBM BNb ybyb2222222220000002220(33)0.1,b xybxya yxaybabb即又22222303()0,abaac即22200(3)(1)0b abyyb解得：36ac，即离心率36e. （ 2）设直线l：yxm22222222222222,()20yxmabxma xa ma bb xa ya b由得
31、2112212222222(,),(,),1mamp xyQ xyxxbaba设则21226123(1),133213cbmxxmaa由知得1212312222yyxxmmmm1212311(,)(,)( 3,1),222OPOQxxyymmm( 3,1)OPOQa故与共线22. 已知椭圆C1:22143xy,抛物线 C2:2()2(0)ympx p,且 C1、C2的公共弦AB 过椭圆C1的右焦点 .(1) 当 AB x轴时 , 求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；(2) 是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明
32、理由.22 解： （1）当 AB x 轴时，点A、B关于 x轴对称，所以m 0，直线 AB 的方程为x=1，从而点A 的坐标为（ 1，23）或（ 1，23）. 因为点 A 在抛物线上，所以p249，即89p. 此时 C2的焦点坐标为（169，0） ，该焦点不在直线AB 上. （2）当 C2的焦点在AB 时，由（）知直线AB的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(xky. 由134) 1(22yxxky消去 y 得01248)43(2222kxkxk. 设 A、B 的坐标分别为（x1, y1） , （x2, y2）, 则 x1, x2是方程的两根，x1x222438kk. 精选学习资料 - - -
33、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载因为 AB既是过 C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121xxxxAB，且1212()()22ppABxxxxp.从而121214()2xxpxx. 所以12823pxx，即22882343kpk. 解得6,62kk即. 因为 C2的焦点),32(mF在直线) 1(xky上，所以km31. 即3636mm或. 当36m时，直线AB的方程为)1(6 xy；当36m时，直线AB的方程为)1(6 xy. A y B O x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
