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1、第二章第二章 解析函数解析函数2.2 解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系2.1 解析函数的概念解析函数的概念2.3 初等函数初等函数12.1 解析函数的概念解析函数的概念一、一、导数与微分导数与微分 二、二、解析函数解析函数 三三、柯西柯西- -黎曼方程黎曼方程 2一、一、导数与微分导数与微分1. 复变函数的导数复变函数的导数则称则称 在在 处处可导可导，设函数设函数 在在 点的点的某邻域内某邻域内有定义，有定义，定义定义是是的邻域内的任意一点，的邻域内的任意一点，如果如果存在存在有限的极限值有限的极限值 A，且称且称 A为为 在在 处的处的导数导数，记作记作 如果函数如果函数
2、在区域在区域 D 内的每一点都可导，内的每一点都可导，在在 D 内可导内可导，此时即得，此时即得 的的导导( (函函) )数数则称则称 P30定义定义 2.1 3一、一、导数与微分导数与微分2. 复变函数的微分复变函数的微分则称则称 在在 处处可微可微，设函数设函数 在在 点的某邻域内有定义，点的某邻域内有定义，定义定义是是的邻域内的任意一点，的邻域内的任意一点， 若若 在区域在区域 D 内处处可微，则称内处处可微，则称 在在 D 内可微内可微。如果存在如果存在 A，使得，使得记作记作为为微分微分，特别地，有特别地，有( (考虑函数考虑函数 即可即可) ) 导数反映的是导数反映的是“变化率变化
3、率”；而微分更能体现；而微分更能体现“逼近逼近”的思的思想。想。P30 补补 4一、一、导数与微分导数与微分3. 可导与可微以及连续之间的关系可导与可微以及连续之间的关系(1) 可导可导 可微可微如果如果可导可导可微可微如果如果可微可微可导可导由此可得由此可得即即5一、一、导数与微分导数与微分3. 可导与可微以及连续之间的关系可导与可微以及连续之间的关系(1) 可导可导 可微可微(2) 可导可导 连续连续如果如果可导可导可微可微连续连续 由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。 对二元实函数：对二元实函数：偏导数存在偏导数存在 可微可微连续连续偏导数连续
4、偏导数连续6解解 (1) 由由( n 为正整数为正整数 )；同理可得同理可得得得( C 为复常数为复常数 )。求下列函数的导数：求下列函数的导数：例例(1)(2)7解解 (2) 由由得得求下列函数的导数：求下列函数的导数：例例(1)(2)8一、一、导数与微分导数与微分4. 求导法则求导法则(1) 四则运算法则四则运算法则P32 9一、一、导数与微分导数与微分4. 求导法则求导法则(1) 四则运算法则四则运算法则(2) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则(3) 反函数的求导法则反函数的求导法则其中，其中， 与与 是两个互为反函数的单值是两个互为反函数的单值函数，且函数，且10二、二、解析函数解
5、析函数则称则称 在在 点解析点解析；(1) 如果函数如果函数 在在 点点以及以及 点的邻域内点的邻域内处处可导，处处可导，定义定义(2) 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内的每一点解析，内的每一点解析，则称则称或者称或者称 是是 D 内的内的解析函数解析函数。在在区域区域 D 内解析内解析，奇点奇点则称则称 为为 的的奇点奇点。如果函数如果函数 在在 点不解析，点不解析，(2) 区域可导区域可导 区域解析。区域解析。关系关系 (1) 点可导点可导 点解析；点解析； P31定义定义 2.2 11二、二、解析函数解析函数性质性质 (1) 在区域在区域 D 内解析的两个函数内解析的两个函数 与与
6、 的和、的和、差、积、商差、积、商( (除去分母为零的点除去分母为零的点) )在在 D 内解析。内解析。(2) 如果函数如果函数 在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析，内解析，则复合函数则复合函数 在在 D 内解析。内解析。函数函数 在在 平面上的区域平面上的区域 G 内解析，内解析， 且对且对 D 内的每一点内的每一点 z，函数，函数 的值都属于的值都属于 G，P32 12由函数由函数 的解析性以及的解析性以及又方程又方程 的根是的根是设设解解当当 时，时，解析，解析，因此在全平面除去点因此在全平面除去点 的区域内，的区域内， 解析。解析。求导法则可知：求导法则可知：求函数求函数的
7、的解析区域解析区域及在该区域上的及在该区域上的导数导数。例例13极限不存在极限不存在( (见见1.5 ) )讨论函数讨论函数 的解析性。的解析性。例例当当 时，时，即即当当 时，时，不存在。不存在。因此，因此， 仅在仅在 点可导，点可导，处处不解析处处不解析。解解 由由有有14讨论函数讨论函数 的解析性。的解析性。例例解解当当 时，时，当当 时，时，因此，因此， 处处不可导，处处不解析。处处不可导，处处不解析。对函数对函数 如何判别其解析性如何判别其解析性？问题问题15三三、柯西柯西- -黎曼方程黎曼方程1. 点可导的充要条件点可导的充要条件且满足且满足柯西柯西- -黎曼黎曼( (Cauchy
8、-Riemann ) )方程方程： 和和 在点在点 处处可微可微，( (简称简称 方程方程) )函数函数 在点在点 处处可导可导定理定理的的充要条件充要条件是：是：实二元函数实二元函数 可微的含义可微的含义：附附 P33定理定理 2.1 16三三、柯西柯西- -黎曼方程黎曼方程1. 点可导的充要条件点可导的充要条件证明证明 必要性必要性 “ ”若若在在 处可导，处可导，且且和和 在点在点 处可微，处可微，故故记记则必可微，即则必可微，即由由有有17三三、柯西柯西- -黎曼方程黎曼方程1. 点可导的充要条件点可导的充要条件证明证明 充分性充分性 “ ”即即在在 处可微处可微( (可导可导) )，
9、若若和和 在点在点 处可微，处可微，则则得得又由又由和和 满足满足 方程：方程：且且18求导公式求导公式三三、柯西柯西- -黎曼方程黎曼方程1. 点可导的充要条件点可导的充要条件若若在在 处可导，处可导，则则P34 19三三、柯西柯西- -黎曼方程黎曼方程2. 区域解析的充要条件区域解析的充要条件和和 在区域在区域 D 内可微，内可微，且且函数函数 在区域在区域 D 内解析的内解析的定理定理充要条件是：充要条件是：满足满足 C - - R 方程。方程。推论推论在区域在区域 D 内存在且连续，并满足内存在且连续，并满足 C - - R 方程，方程，在区域在区域 D 内解析。内解析。和和 的四个偏
10、导数的四个偏导数若函数若函数则函数则函数 P34定理定理 2.2 P34推论推论 20可知不满足可知不满足 C - - R 方程，方程，解解 由由有有所以所以 在复平面内处处不可导，在复平面内处处不可导， 处处不解析。处处不解析。讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例21有有由由 C - - R 方程，方程，所以所以 仅在仅在 点可导，点可导， 处处不解析处处不解析。解解 由由讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例22讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例由由 C - - R 方程，方程，解解 由由有有处处不解析。处处不解析。所以所以
11、 仅在直线仅在直线 上可导，上可导， xy23讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例解解 由由有有四个偏导数连续，四个偏导数连续，且满足且满足 C - - R 方程，方程，故故 在全平面上处处可导，在全平面上处处可导，处处解析，且处处解析，且注注函数函数记为记为本例结果表明：本例结果表明：P35 例例2.4 部分部分 24解解 由由有有由由 C - - R 方程可得方程可得求解得求解得 设函数设函数求常数求常数例例在复平面内处处解析。在复平面内处处解析。的值，使的值，使25即得即得( (常数常数) )。(1) 由由 解析，解析，证证由由 解析，解析，为常数，为常数，设函数设
12、函数内为常数。内为常数。在某区域在某区域例例之一，证明：之一，证明：在区域在区域内解析，且满足下列条件内解析，且满足下列条件内解析；内解析；在在(1)(2)内为常数。内为常数。在在 P35例例2.5 26证证( (常数常数) )；(2) 由由 解析，解析，由由 在在 D 内为常数，内为常数，( (常数常数) )，两边分别对两边分别对 x , y 求偏导得：求偏导得： 若若 若若方程组方程组(A)只有零解，只有零解，即得即得( (常数常数) )。为常数，为常数，(A)272.2 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系一、一、调和函数调和函数二、二、共轭共轭调和函数调和函数三三、构造解析
13、函数构造解析函数28一、一、调和函数调和函数则称则称 为区域为区域 D 内的内的调和函数调和函数。若二元实函数若二元实函数 在区域在区域 D 内内有连续二阶偏导数有连续二阶偏导数，定义定义且满足且满足拉普拉斯拉普拉斯 ( Laplace ) 方程方程：注注 泊松泊松 ( Poission ) 方程方程 P36定义定义 2.3 29同理同理证明证明 由由 解析，解析， 有有 P36定理定理 2.3 一、一、调和函数调和函数若函数若函数和和在区域在区域内内解析解析，则则定理定理在区域在区域内都是内都是调和函数调和函数。30二、二、共轭共轭调和函数调和函数设函数设函数 及及 均为区域均为区域 D 内
14、的调和函数，内的调和函数，定义定义函数函数 在区域在区域 D 内解析的充要内解析的充要定理定理条件是：条件是：在区域在区域 D 内，内，v 是是 u 的共轭调和函数的共轭调和函数。则称则称 v 是是 u 的的共轭调和函数共轭调和函数。注意注意 v 是是 u 的共轭调和函数的共轭调和函数 u 是是 v 的共轭调和函数的共轭调和函数。 且满足且满足 C - - R 方程：方程： P37定义定义 2.4 P37定理定理 2.4 -u 是是 v 的共轭调和函数的共轭调和函数 31三三、构造解析函数构造解析函数问题问题 已知实部已知实部 u，求虚部，求虚部 v ( (或者或者已知虚部已知虚部 v，求实部
15、，求实部 u ) )，使使 解析，且满足指定的条件。解析，且满足指定的条件。注意注意 必须首先检验必须首先检验 u 或或 v 是否为调和函数是否为调和函数。方法方法 偏积分法偏积分法 全微分法全微分法构造解析函数构造解析函数 的依据：的依据：依据依据 (1) u 和和 v 本身必须都是调和函数本身必须都是调和函数； (2) u 和和 v 之间必须满足之间必须满足 C - - R 方程方程。32方法方法 偏积分法偏积分法三三、构造解析函数构造解析函数( ( 不妨仅考虑已知实部不妨仅考虑已知实部 u 的情形的情形 ) )(1) 由由 u 及及 C - - R 方程方程(2) 将将 (A) 式的两边
16、对变量式的两边对变量 y 进行进行( (偏偏) )积分得：积分得：其中，其中， 已知，而已知，而 待定待定。(3) 将将 (C ) 式代入式代入 (B ) 式，求解即可得到函数式，求解即可得到函数得到得到待定函数待定函数 v的两个偏导数：的两个偏导数：(A)(B )(C )33C方法方法三三、构造解析函数构造解析函数 全微分法全微分法 ( ( 不妨仅考虑已知实部不妨仅考虑已知实部 u 的情形的情形 ) )(1) 由由 u 及及 C - - R 方程方程得到待定函数得到待定函数 v 的的全微分：全微分：(2) 利用利用第二类曲线积分第二类曲线积分( (与路径无关与路径无关) ) 得到原函数得到原
17、函数：C0C1C2其中，其中， 或或P39 34故故 是调和函数。是调和函数。由由解解 (1) 验证验证 为调和函数为调和函数P38 例例2.6 修改修改 为为验证验证例例实部的解析函数实部的解析函数使得使得为调和函数，并求以为调和函数，并求以35解解由由 由由(2) 求虚部求虚部 。 方法一方法一： 偏积分法偏积分法验证验证例例实部的解析函数实部的解析函数使得使得为调和函数，并求以为调和函数，并求以为为36解解 (2) 求虚部求虚部 。 由由C1C2验证验证例例实部的解析函数实部的解析函数使得使得为调和函数，并求以为调和函数，并求以为为方法二方法二： 全微分法全微分法(利用第二类曲线积分利用第二类曲线积分)37解解 (3) 求确定常数求确定常数 c根据条件根据条件将将 代入得代入得即得即得验证验证例例实部的解析函数实部的解析函数使得使得为调和函数，并求以为调和函数，并求以为为38
