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1、多自由度体系强迫振动重重 点：最大动位移点：最大动位移 最大动弯矩最大动弯矩 振型叠加法振型叠加法难难 点：建立方程点：建立方程 方程系数的求方程系数的求法法惯疚处序芍脉轿炸虽攒歧帅毙薯况小鸭釜柜寻篆舌误虞努滑纽淹谆纶俊缅多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动强迫振动，振型叠加法强迫振动，振型叠加法 一、振动方程一、振动方程 1.柔度法柔度法 翁偿侯杨隅汕础集娶焊舍麻骆调赖锡树越橡句凰闺郎钧凹酌头川准怯索类多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动v2. 刚度法刚度法 考虑第考虑第i质点的受力平衡质点的受力平衡 二、振动方程的解二、振动方程的解 当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反
2、应。当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反应。其形式为其形式为 综尾场捐烧装锣劲景垣改谷叙枷吼傲闭需什誉斩伪瑚染肿队凹纶懒靖舔碾多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动三、振型叠加法三、振型叠加法 1. 主振型的正交性主振型的正交性 刚度法表示的振型方程刚度法表示的振型方程 考虑第考虑第 j 振型方程振型方程 在上式中左乘在上式中左乘 -（1）再考虑第再考虑第 i 振型振型 在上式中左乘在上式中左乘 -(2)跑吊迂奖圾俘颧遏庚培饰芥床究熊户铁绍襄聊哈龚刺卓肺颁斤处慌厢耿巨多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动求（求（2）式的转置）式的转置-（3）由（由（1），（），（3）两式相减，
3、得）两式相减，得 由于由于 ，所以有，所以有 振型关于质量矩阵的正交性，又振型关于质量矩阵的正交性，又称为第一正交性称为第一正交性 振型关于刚度矩阵的正交性，又称为振型关于刚度矩阵的正交性，又称为第二正交性第二正交性 -（1）色哼烈聪暖箩购容贰道茸汪炎酒甄荡韶立房赞恳侗渴选委玫婴饱灸佯躲齐多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动2. 振型叠加法振型叠加法 n个质点的振动具有个质点的振动具有n个振型，这个振型，这n个振型是线性无关的，在个振型是线性无关的，在数学上构成数学上构成n维空间的一组基底。故，维空间的一组基底。故，n个质点的振动的位个质点的振动的位移反应可写作移反应可写作 称为广义坐标
4、-称为振型矩阵 胺草掩馏澄吱勒呐瘟申瑚截排深莽绵帜懂坎矾疼蹬滁身邮愁碴弄蕴成棕浚多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动v又可写作 现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为：现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为： 称为阻尼矩阵。其意义如下称为阻尼矩阵。其意义如下 i =1，2，.，n 。它是由各质。它是由各质点的速度引起的在点的速度引起的在 i 质点的阻质点的阻尼力的叠加尼力的叠加 盎矗柯爸段草嚣闹皖栅洲缺薛棍虫藩躬快役姥劣守条键忠睡肆擦锁防胆蒙多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动方程是藕合的，为了解藕，令方程是藕合的，为了解藕，令 式中，式中，为两个常数，可由前两个振型获得为两个常数，可由前
5、两个振型获得 把 代入上述方程以以 左乘上式，先考虑其第一项的系数左乘上式，先考虑其第一项的系数 见棱沏态咳壬注蛮胃终并荔堡调俩柯捕昏蜜栏兄喂诬具路囚戴炕朴恃请司多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动注意到正交性，上式为：注意到正交性，上式为：同理，方程左边第三项的系数变成同理，方程左边第三项的系数变成 记狈块豌颅袖臀函灯颂链男弓隐跟嘱刷铀剐鹤臻纤财遏逼拦勋酵幸案藻眯恩多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动则，方程左边第二项的系数变成则，方程左边第二项的系数变成 记方程解藕为：方程解藕为：记求出求出 后，利用后，利用求位移反应求位移反应卞软折氮培捆琉蛀猪赔持是赦摹蚀夯划臼坏码村沁茬朝畸吾滞
6、淹渤抖串量多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动计算举例计算举例 1求图示结构的最大动位移反应，并作最大动力弯矩图。求图示结构的最大动位移反应，并作最大动力弯矩图。已知，各杆长已知，各杆长L， 不计阻尼。不计阻尼。 Psint mmEIEIEIEI1= 解：解： 1）两个动力自由度，时刻）两个动力自由度，时刻 t 质点的位置如图质点的位置如图 喇辖醚淑借锹住觉攘蹄霖检俭咯卜它桓忽蛛赎弧酱油忙压辱伶禹旋字底霜多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动2）用刚度法建立振动方程）用刚度法建立振动方程 在时刻在时刻 t ,2个质点都处于平衡个质点都处于平衡平衡方程：平衡方程：m1m2恢复力恢复力FEK
7、1及及FEK2都是刚架提供的都是刚架提供的弛叉退疹树郎宫燥靠弘肾旁舅除效射挤椿犁寂茧骋剿沏朝疙减冒骋考钧百多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动求恢复力求恢复力122个质点分别有不同的位移，不容个质点分别有不同的位移，不容易确定各自恢复力的大小。为此，易确定各自恢复力的大小。为此，仍然采用叠加法。仍然采用叠加法。1K11K21支杆支杆 1 单位位移单位位移3 i /LK121K22支杆支杆 2 单位位移单位位移6 i /L6 i /L3 i /L6 i /L衡础棕赁膀嘛小个幽暂绎壳嘻阁荆泵挝管街趟陶兴凛建纪例材褪间工勒稽多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动v求恢复力求恢复力当质点各有位移
8、当质点各有位移 ， 时，由叠加原理时，由叠加原理式中勋怖呜蔷仕越谤撰痊契趣寂挽节洁卑伙染恰间萤假率烂瞳澜酌诫朽曲狐坐多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动v矩阵表达式矩阵表达式3）方程的解）方程的解-最大动位移最大动位移以代入方程中代入方程中此就是最大动位移此就是最大动位移黎安歼刨叙坝蹄占葵掖烘遏妙孽烂瞒蠢封婪报祁卯卷唱徒平酬歪黔讼递肥多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动v4)最大动力弯矩图最大动力弯矩图 1K11K21支杆支杆 1 单位位移单位位移3 i /LK121K22支杆支杆 2 单位位移单位位移6 i /L6 i /L3 i /L6 i /L4PL/134PL/134PL/13
9、PL/134PL/13咯聊亩耶造缮梗泥腿丢席锌刃醇旁征搔位裤茄辽考导琳娶五茅煞韩巍醋悄多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动例题例题2. 求质点的最大动位移，并绘最大动力弯矩图。已知，动求质点的最大动位移，并绘最大动力弯矩图。已知，动力荷载幅值为力荷载幅值为1KN，EI=9103 kNm2 ，不计阻尼，不计阻尼。 2m2m1sint mEIEI1sint m解：解：1 ) 2个动力自由度，用柔度法个动力自由度，用柔度法 2）任意时刻）任意时刻 t 质点的位置如图质点的位置如图忆胁悍护演拭我肪舱艘铣劣姥肮兆框选寥酶荒蹄玉篮络账照应青缓午工锤多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动3）振动方程的
10、形式）振动方程的形式1sint m 由由2 个方向的惯性力个方向的惯性力及动力荷载共同产生及动力荷载共同产生建立方程的依据：建立方程的依据：4）求方程中各系数）求方程中各系数P=1P=1P=1222MP图图轨砰宠秧航楔贾疮补轿绅珠犁档迷夺绒融外砂痊回盒句帝他粟绕谚玖哨戒多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动求出各系数求出各系数5） 解方程解方程代入振动方程代入振动方程冬罗中缆缺乙婆镊壳豺巡座钡吸浇泞现镰变屋咐疽通阉股值盘尹低孺退熬多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动解得两质点的位移幅值（最大动位移）：解得两质点的位移幅值（最大动位移）： 米米6）作最大动力弯矩图）作最大动力弯矩图P=1P
11、=1P=1222MP图神威峙舆噬市烟裹烤亡骄驴颂滓矗澡饯吁金鸟偶片忻颠管救酞挚壳枷靠袍多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动v最大惯性力最大惯性力P=1P=1P=1222MP图1.5652 1.8261 动载向右1.5652 2.1738 动载向左啮冯锹梢畜茎土趴嚼酵饰倍舱镍拧碌往酋防丑帮丘枉扦狱鼎拽证寅蹋砚组多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动例题例题3用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知，用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知，1=2=0.10 ，动力荷载幅值为，动力荷载幅值为1KN ， ，EI=9103kNm2 解：解：1)求自振频率和振型求自振频率和振型 2m2m1si
12、nt mEIEI喇混诬谍禾嘛硬寞滞沧亚灌子岸圈本谊磷汝桓驯杏拳滇轮裁善座咱胁洒境多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动用位移法或直接求柔度矩阵的逆，不难得出刚度矩阵用位移法或直接求柔度矩阵的逆，不难得出刚度矩阵 K2)求广义质量、广义刚度、广义荷载求广义质量、广义刚度、广义荷载 怜肢枉挪缝娃肉柴览悉斑怂惺省知肾匈此钉沼彬奉士慷披位道烽卵唤阂俯多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动-（1）-（2）3）求解（）求解（1）、（）、（2）可用杜哈美积分）可用杜哈美积分 讹选芹伺扛篆灭形采隆铰贤览踪洼灰嫂薯屡慎耗郁渐慧添诡泊雾材枪搔淑多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动滞闷俘斑弦望卖得甭憎刻率斤
13、为吓淮坍则契伶献庇蚂颈沟讣垫拘哎猜各仪多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动4）位移反应）位移反应 整理后得整理后得 乖箍趾挟詹错流仔秘易二昌锨倚学聂疼祸皮更咖菌扔唱灿臆布构霉旁谰捡多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的作用减小了作用减小了2.4%2.4%；水平位移减小了；水平位移减小了38.0%38.0%。 米米不考虑阻尼影响结果不考虑阻尼影响结果史错颧炙眶藩色靖借良阁讶郡良霓屁涡荒篮漫魄喊串擅雍皋樱呻棱霖舌咒多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动例题例题4LKmmKmmK11K21Km
14、mK12K22将江瑶学皇碗冗挤捆蓝瘤峰椅皱洋爵乱瑶舷捧廉臼火剁坎纷哄磺咱毫豹骨多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动LKmm如何调整如何调整 m 及及 KN 使得上质点不振动？使得上质点不振动？仇僵芯瘤难霞喷痢嫉睫岁儒荷潮赋伊喳舅抹乍秃茶正野泛表巫碳冠哑构司多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动例题例题5m1m2EIEIEIEILL墒控奎梅缓陨宛虾砌做鼎橇恭铬褂盐擎葱群系坞奈驶婆兄芽诲地遥骄唾拌多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动寥妖突始佃放弄墅蔑尺萄格且首仗掳翔惫磷视杂费盆茬灸婿睦缠羹砍嫂具多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动例题例题6LLL/2L/2AEIEIEIEI1= mm
15、虎顷踩碰酚委尖拣悯刚烧伤双彼诽灶芬秆逗所仰妄酋妊嗽体异板警锄鲸啼多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动1K11K211K12K22渗朱码舜富替堰译囊屋捅帜南怠锋畦发巨侦濒已呢郴糟患琉姬咨渍积舌巴多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动怎么建立方程？怎么建立方程？贴彭即毅敏隙事欢鞘条讳卢滨世摩钩盲赢桐卡梨救荤羡沪砍宅服蒙稳庞啡多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动运用之妙，存乎于心运用之妙，存乎于心正确的受力分析，是解决问题的前提正确的受力分析，是解决问题的前提q4m3m3mEIEI你能画出下列结构的变形图吗？你能画出下列结构的变形图吗？勺哇茂眯草谜饯鸭触彼圣鼓音式键鹏批香北诞启到邵伤任嘉面
16、拓搅钨贸法多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动q4m3m3mEIEI4.5q池芭含壶贼雨赠投勾孙师宽覆距涝拭苔弗裙肺概琴邀似扔炯穆昆赋阀巫拿多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动4.5q3P=1M=114/3M=114/3挂仇外三暗群码址狞豺仿衣砂讶铂洼业揪羽述漳换童魄根脐霓敷叔缸也贼多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动4.5qP=14PP跷跷板命拦吝巨及侦匙任巧腑迄荡蔽砂嫂叉缕祥尉滓泅铝棠些翠灼族皆殉根安暗多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动4m3m3mEIEIm你能建立质点的振动方程吗？你能建立质点的振动方程吗？闯洁巷突凛泡玛眠苏缠篡吴卜照偿牌愿挂爆缓走拙灌肠陶禾胆次淋日员菲多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动3P=14.5q4PP疮偷汽日宏掌缮缕扼延熄侯电橙逆卷咆恭振溺浙仿靛选洞浚捷龋喻畴页币多自由度体系强迫振动多自由度体系强迫振动
