《2022年数列经典讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数列经典讲义（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、探索者研发学习中心Cxiaojun- 1 - 数列和数列的练习一、数列及其相关概念1 数列 ：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限2数列的项及通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项， ，第 n 项数列的一般形式可以写成：123naaaaLL， ， ， ， 或简记为na，其中na 是数列的第n 项，又称为数列的通项3数列的通项公式如果数列na的第 n 项与序号 n之间的关系可以用一个函数式( )naf n 来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式4数列的分类数列的分类方式一般有三种：（ 1）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的
2、数列称为无穷数列；（ 2）从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都比它的前一项小的数列称为递减数列；这两种数列统称为单调数列各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项；（ 3）如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列5数列的表示方法数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集1 2 3nL，）的一类特殊的函数( )f n ，数列的通项公式也就是函数的解析式数列的表示方法通常有三种：（ 1）通项公式法（对应函数的解析式法）；（ 2）图象法（无限多个或有限
3、多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）；（ 3）列表法6数列和函数、集合的区别（ 1）数列和函数：数列是以正整数集*N (或它的有限子集) 1 2 3 4nL， ， ， ，为定义域的函数( )naf n （ 2）数列和集合的区别和联系：集合是没有顺序的，数列是有顺序的7数列的递推公式如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项na 与它的前一项1na间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式例如，1112(2)nnaaan，给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法8 数列的前 n 项和数列na的前 n项和定义为：12
4、3nnSaaaaL数列的前 n 项和构成了一个新的数列nS，且11(1)(2)nnnS naSSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 2 - 一、数列的基本概念1.（ 2010 年东城一模7） 已知数列 na的通项公式3log()1nnann*N，设其前n项和为nS ，则使4nS成立的最小自然数n等于（）A83B82C81D802.（ 2011 年海淀二模5）已知正项数列na中，11a，22a，222112(2)nnnaaan，则6a等于（）A.16 .8 .22.4 3.数列n
5、a满足1111(2)3nnaannNa，则2008a等于（）A13B3C13D-3 4.（ 2011 年东城区期末理11）在数列na中，若12a，且对任意的正整数,p q都有qpqpaaa，则8a的值为5.（ 2010 年东城二模6）已知函数6(3)3,7( ),7.xa xxf xax，若数列 na满足*( )()naf n nN，且 na是递增数列，则实数a的取值范围是（）A93)4，B9(3)4，C （ 2，3）D （1，3）6.已知( )f x 是定义在 R 上不恒为零的函数，对于任意的xyR，都有()( )( )f x yxfyyf x成立数列na满足(2 )nnaf()n*N，且1
6、2a则数列的通项公式na_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 3 - 二、数列的递推公式7.（ 2006 年重庆 12）在数列na中，若11123(1)nnaaan，则该数列的通项na8.数列 na中，11a，对所有的2n，都有2123naaaanL，求数列 na的通项公式na 9.若数列na中，13a，且2+1nnaa（ n 是正整数），则数列的通项公式时na10.已知数列na，满足112311+2+3+1)(2)nnaaaaananL，（，则na的通项11)(2)nnan（
7、11.求满足下列条件的数列na的通项公式（1）已知na满足+11211+412nnaaan，求na（2）已知na满足+13nnnaa ，且13a，求na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 4 - 二、na与nS的关系12.（ 2011 年四川 9）数列na的前 n 项和为nS ，若1113(1)nnaaS n，则6a（）A3 44B3 44+1 C44D44+1 13.设数列na的前 n 项和为111,1(1)3nnnS aaSn，则na=_ 14.已知下列个数列na的前 n项和
8、nS 的公式，求na的通项公式（1）=nnSn（-1)； （2）=32nnS； （3）21=(2)1nnSn ana，15.已知下列个数列na的前 n项和nS 的公式，求na的通项公式（1）2=231nSnn（2）2=10nSnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 5 - 等差数列二、等差数列1等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示用递推公式表示为ana
9、n 1 = d (n 2)或 an + 1an = d (nN*)2等差数列的通项公式：an = a1 + (n 1)d = am + (nm)d3等差中项的概念：定义：如果a，A，b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项其中2abA说明： a，A，b 成等差数列2abA4等差数列的前n 和公式：11()(1)22nnn aan nSnad5等差数列的性质：(1) 在等差数列 an中，从第2 项起，每一项是它相邻两项的等差中项(2) 在等差数列 an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列如： a1，a3，a5，a7，； a3，a8，a13，a18，(3) 在等差数列 an中，对任意
10、m，nN*，an = am + (nm)d，nmaadnm(nm)(4) 在等差数列 an中，若 m + n = s + t (m，n，s，tN*) ，则 am + an = as + at(5) 等差数列 an 中，公差为d，若 d 0，则 an 是递增数列；若d = 0，则 an是常数列；若d 0，d 0 时， Sn有最大值； a1 0 时， Sn有最小值(2) Sn最值的求法： 若已知 Sn，可用二次函数最值的求法(nN*)； 若已知 an，则 Sn取最值时n 的值 (nN*) 可如下确定100nnaa或100nnaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
11、 - - - - -第 5 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 6 - 1.(1) 求等差数列8，5，2，的第 20 项；(2) 401 是不是等差数列 5， 9， 13，的项？如果是，是第几项？解： (1) 由 a1 = 8，d = 5 8 = 3，n = 20，得 a20 = 8 + (20 1) ( 3) = 49(2) 由 a1 = 5， d = 9 ( 5) = 4，得数列通项公式为：an = 5 4(n 1)，由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得401 = 5 4(n 1)成立，解之得 n = 100，即 401 是这个数列的第 100 项2.(2011
12、 湖南理 12)设 Sn是等差数列 an( nN*) ，的前 n 项和，且 a1 =1，a4 = 7，则 S5 = 【答案】 25 【解析】由a1 =1，a4 = 7 可得 a1 =1，d = 2，a5 = 9，所以5(19)5252S3.(2012 辽宁理 6)在等差数列 an中，已知 a4 + a8 = 16，则该数列前11 项和 S11 = ( B ) A58 B88 C143 D176 【解析】在等差数列中，a1 + a11 = a4 + a8 = 16，1111111()882aaS，答案为B4.(2012 江西理 12) 设数列 an ， bn都是等差数列，若a1 + b1 = 7
13、，a3 + b3 = 21，则 a5 + b5 = 【答案】 35 【考点】本题考查等差数列的概念和运算考查等差中项的性质及整体代换的数学思想【解析】 (解法一 )因为数列 an ，bn都是等差数列，所以数列an + bn也是等差数列故由等差中项的性质，得(a5 + b5) + (a1 + b1) = 2(a3 + b3)，即 (a5 + b5) + 7 = 2 21，解得 a5 + b5 = 35(解法二 )设数列 an， bn的公差分别为d1，d2，因为 a3 + b3 = (a1 + 2d1) + (b1 + 2d2) = (a1 + b1) + 2(d1 + d2) = 7 + 2(
14、d1 + d2) = 21，所以 d1 + d2 = 7所以 a5 + b5 = (a3 + b3) + 2(d1 + d2) = 355.等差数列 an的前 n 项和记为 Sn，若 a2+ a4+ a15的值是一个确定的常数，则数列 Sn中也为常数的项是( C ) AS7BS8CS13DS15【解析】设a2 + a4 + a15 = p(常数 )， 3a1 + 18d = p，即 a7 =31p S13 =2)(13131aa= 13a7 =313p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaoj
15、un- 7 - 6.(2012 浙江理 7)设 Sn是公差为 d (d 0)的无穷等差数列 an 的前 n 项和，则下列命题错误的是( C ) A若 d 0，则数列 Sn有最大项B若数列 Sn有最大项，则d 0 D若对任意nN*，均有 Sn 0，则数列 Sn是递增数列【解析】选项C 显然是错的，举出反例： 1，1，3，5，7，满足数列Sn 是递增数列，但是Sn 0 不恒成立故选C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 8 - 7.把正整数按下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，
16、6)，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第 n 组中所有各数的和，那么S21等于 ( B ) A1113 B4641 C5082 D53361 【分析】第21 组共有 21 个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20 组的最后一个数大1，所以先求前20 组一共有多少个数解：因为第n组有n个数，所以前20 组一共有1 + 2 + 3 + + 20 = 210个数，于是第21 组的第一个数为211，这组一共有21 个数，S21 = 21 211 +21 202 1 = 4641，故选 B【 说明 】认真分析条件，转化为数列的基本问题8.已知数列 an的前 n 项和 Sn = 10nn2
17、 (nN*) ，又 bn = | an |，求 bn的前 n 项和 Tn解：由题可得：a1 = 9，当 n 1 时 an = SnSn 1 = 2n + 11，若使 an = 2n + 11 0，则 n 5.5，即数列的前5 项非负，以后各项均负，当 n 5时， Tn = Sn = 10nn2，当 n 6时，Tn = a1 + a2 + + a5 (a6 + a7 + + an)= 2(a1 + a2 + + a5) (a1 + a2 + + an) = 2S5Sn = 50 (10nn2)，2210(0510505nnnnTnnn)()故第 n 组的第一个数是(n2n 1) + 2 = n2
18、n + 19.设等差数列 an 的首项 a1及公差 d 都为整数，前n 项和为 Sn(1) 若 a11 = 0，S14 = 98，求数列 an的通项公式；(2) 若 a1 6，a11 0，S14 77，求所有可能的数列an的通项公式解： (1) 由 S14 = 98，得 2a1 + 13d = 14，又 a11 = a1 + 10d = 0，解得 d = 2，a1 = 20，所以数列 an 的通项公式是：an = 22 2n(2) 由141117706Saa，得111213111006adada，即111213112200212adada精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
19、纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 9 - 由 + 得 7d 11，即117d， + 得113d，111713d，又 dZ， d = 1，从而得 10 0，q 1 或 a1 0，0 q 1 时为递增数列； 当 a1 1 或 a1 0，0 q 1 时为递减数列； 当 q a4 + a5Ba1 + a8 0，q 0当 q 1 时有 q3 1，q4 1，a1(1 q3) (1 q4) 0；当 0 q 1 时有 q3 1，q4 0，对任意正数q 1 都有 a1 + a8 (a4 + a5) 0，即 a1 + a8 a4 + a5，故选 A12
20、.(2012 浙江理 13)设公比为 q (q 0)的等比数列 an的前 n 项和为 Sn若 S2 = 3a2 + 2，S4 = 3a4 + 2，则 q = _【答案】32【解析】将S2 = 3a2 + 2，S4 = 3a4 + 2 两个式子全部转化成用a1，q 表示的式子，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 12 - 即111233111113232aa qa qaa qa qa qaq，两式作差得：a1q2 + a1q3 = 3a1q(q2 1)，a1 0，q 0， q +
21、 q2 = 3(q2 1)，又 q 0，可得q = 3(q 1)，解之得：32q13. 在各项均为正数的等比数列an 中，若 a5a6 = 9，则 log3a1 + log3a2 + + log3a10 = ( B ) A 12 B10 C8 D2 + log35 【解析】 log3a1 + log3a2 + + log3a10 = log3(a1a2a10) = log3(a5a6)5 = log395 = 1014. 若等比数列 an 的公比 q S9a8 BS8a9 S9a8CS8a9 = S9a8D不确定【解析】由等比数列通项公式与前n 项和公式得S8 a9S9 a8 = qqa1)1
22、(81 a1q8qqa1)1(91 a1q7 =qaqqqa1)()(16716821=qqqa1)(7821= a12q7又 q 0，即 S8 a9 S9 a815.(2012 辽宁理 14)已知等比数列 an 为递增数列，且25a= a10，2(an + an + 2) = 5 an + 1，则数列 an 的通项公式为 an = _【答案】 2n【考点】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力，属于中档题【解析】25a= a10， (a1q4)2 = a1q9，a1 = q，故 an = q n， 2(an + an + 2) = 5an + 1， 2an(1 + q2) =
23、 5anq， 2(1 + q2) = 5q，解得 q = 2 或 q =12(舍去 )， an = 2n16.(2011 北京理 11) 在等比数列 an中，若112a，a4 = 4，则公比 q = ；| a1 | + | a2 | + + | an | = 【答案】 2；1122n-【解析】由 an是等比数列得a4 = a1q3，又112a，a4 = 4，所以 4 =12q3 q = 2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 13 - | an |是以12为首项，以2 为公比的
24、等比数列，| a1 | + | a2 | + + | an | 11(12 )122122nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 14 - 17.(2011 江西理 18) 已知两个等比数列an ， bn，满足 a1 = a (a 0)，b1a1 = 1，b2a2 = 2，b3a3 = 3(1) 若 a = 1，求数列 an 的通项公式；(2) 若数列 an 唯一，求a 的值解： (1) 当 a = 1 时，设 an的公比为q，则 b1 = 1 + a = 2，b2 = 2 +
25、 aq = 2 + q，b3 = 3 + aq2 = 3 + q2，又bn 为等比数列，则b1，b2，b3成等比数列，得(2 + q)2 = 2(3 + q2)，即 q2 4q + 2 = 0，解得 q1 = 2 +2，或 q2 = 2 2，所以： an = (2 +2)n 1，或 an = (2 2)n 1(2) 设 an的公比为 q，则由 (2 + aq)2 = (1 + a)(3 + aq2)，得 aq2 4aq + 3a 1 = 0，a 0， = (4a)2 4a(3a 1) = 4a(a + 1) 0 ，故方程有两个不同的实根，an 唯一，方程必有一根为0，将 q = 0 代入方程得
26、，13a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaojun- 15 - 等差、等比数列综合18.(2010 北京文 16) (本小题共 13 分) 已知 an 为等差数列，且a3 = 6，a6 = 0()求 an的通项公式； ()若等比数列 bn满足 b1 = 8， b2 = a1 + a2 + a3，求 bn的前 n 项和公式解： () 设等差数列 an 的公差为d因为 a3 = 6，a6 = 0，所以112650adad，解得 a1 = 10，d = 2，所以 an = 10 + 2(n 1
27、) = 2n 12或：由 a6 = a3 + 3d，及 a3 = 6，a6 = 0，得 d = 2，an = a6 + 2(n 6) = 2n 12或 an = a3 + 2(n 3) = 2n 12() 设等比数列 bn的公比为q，因为 b2 = a1 + a2 + a3 = 24，b1 = 8，所以 8q = 24，即 q = 3，所以 bn的前 n 项和公式为1(1)1nnbqSq= 4(1 3n)19. 等差数列 an中， a4 = 10 且 a3，a6，a10成等比数列，求数列an 前 20 项的和 S20解：设数列 an的公差为d，则a3 = a4d = 10 d，a6 = a4
28、+ 2d = 10 + 2 d，a10 = a4 + 6d = 10 + 6d由 a3，a6，a10成等比数列得a3a10 = a62，即(10 d)(10 + 6d) = (10 + 2d)2，整理得10d2 10d = 0，解得 d = 0 或 d = 1当 d = 0 时， S20 = 20a4 = 200当 d = 1 时， a1 = a4 3d = 10 3 1 = 7，于是20120 19202Sad= 20 7 + 190 = 330精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页探索者研发学习中心Cxiaoju
29、n- 16 - 20.(2012 广东理 19) (本小题满分14 分) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn = an + 1 2n + 1 + 1，nN*，且 a1，a2 + 5，a3成等差数列(1) 求 a1的值；(2) 求数列 an 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n，有1211132naaaL【解析】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般(1) 解： 2Sn = an + 1 2n + 1 + 1，2Sn + 1 = an + 2 2n + 2 + 1，相减得： an + 2 = 3an + 1 + 2
30、n + 1，2S1 = a2 3 a2 = 2a1 + 3， a3 = 3a2 + 4 = 6a1 + 13，a1，a2 + 5，a3成等差数列 a1 + a3 = 2(a2 + 5) a1 = 1(2) 解： a1 = 1，a2 = 5，得 an + 1 = 3an + 2n对nN*均成立，an + 1 = 3an + 2nan + 1 + 2n + 1 = 3(an + 2n)， an + 2n 是以 a1 + 21 = 3 为首项，以3 为公比的等比数列，an + 2n = 3n，即 an = 3n 2n(3) 证明：当n = 1 时，11312a，当 n 2 时，233()()222n 3n 2 2n112nna231211111111311222222nnnaaaLL，综上得：对一切正整数n，有1211132naaaL或： an = 3n 2n = 3 3n 1 2n = 3n 1 + 2(3n 1 2n 1) 3n 1，1113nna，21121111111131331(1)132233313nnnnaaaLL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
