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1、3.2 等比数列的前等比数列的前n项和项和学学习习目目标标1理解理解“错错位相减法位相减法”求等比数列的前求等比数列的前n项项和公和公式，掌握等比数列求和公式，并能式，掌握等比数列求和公式，并能应应用公式解用公式解决有关决有关问题问题2灵活运用等比数列前灵活运用等比数列前n项项和的性和的性质质，进进一步一步理解等比数列的性理解等比数列的性质质 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练3.2等比等比数列数列的的前前n项和和课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基知新益能知新益能1等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式已知量已知量首首项、公比与、公比与项数数首首
2、项、末、末项与公比与公比选用选用公式公式Sn _Sn_2.等比数列前等比数列前n项和的性质项和的性质(1)连续连续m项的和项的和(如如Sm，S2mSm，S3mS2m，)仍组成等比数列仍组成等比数列(注意：这连续注意：这连续m项的和必须项的和必须非零才能成立非零才能成立)(2)an为公比不为为公比不为1的等比数列的等比数列SnAqnB(AB0)(3)SnmSmqmSn(q为公比为公比)问题探究探究1如何从函数的观点看等比数列前如何从函数的观点看等比数列前n项和与项和与n之之间的函数关系？间的函数关系？提示：在计算等比数列的前提示：在计算等比数列的前n项和时，总是忘记公项和时，总是忘记公比比q1的
3、情形其突破方法是明确等比数列的前的情形其突破方法是明确等比数列的前n项和公式的推导过程，再就是注意经验的积累项和公式的推导过程，再就是注意经验的积累在推导等比数列在推导等比数列an的前的前n项和公式过程中，项和公式过程中，Sna1a1qa1qn1，当等式两边同乘以当等式两边同乘以q后，得后，得qSna1qa1q2a1qn.当当q1时，时，qSna1qa1q2a1qn与与Sna1a1qa1qn1是同一个等式，是同一个等式，它们相减后得到它们相减后得到00，没有什么意义，没有什么意义，因此当因此当q1时，它们相减后得到的等式时，它们相减后得到的等式(1q)Sna1a1qn才具有意义才具有意义当当q
4、1时，等比数列时，等比数列an是常数列，则是常数列，则Snna1.因此等比数列的前因此等比数列的前n项和公式要分类讨论项和公式要分类讨论根据解题经验，在计算等比数列的前根据解题经验，在计算等比数列的前n项和时，项和时，首先考虑公比等于首先考虑公比等于1的情形，否则易出错的情形，否则易出错课堂互动讲练课堂互动讲练“知三求二知三求二”问题问题考点一考点一考点突破考点突破例例例例1 1【答案答案】C【误区警示误区警示】运用等比数列的前运用等比数列的前n项和公式项和公式时，必须注意公比时，必须注意公比q是否为是否为1，并且常用到等式，并且常用到等式两边约分或两式相除的办法进行化简或消元两边约分或两式相
5、除的办法进行化简或消元等比数列前等比数列前n项和性质的应用项和性质的应用考点二考点二考点二考点二在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质，与等比数列前的性质，与等比数列前n项和有关的性质有：项和有关的性质有：项项数相同，对应项的下标差相等，则这些项的和成数相同，对应项的下标差相等，则这些项的和成等比数列；等比数列；连续连续m项和项和(如如Sm，S2mSm，S3mS2m，)仍组成等比数列仍组成等比数列(注意此连续注意此连续m项的和项的和必须非零才成立必须非零才成立)；an为等比数列，且为等比数列，且q1SnAqnA(A0) 已知已知Sn是等比数列
6、是等比数列an的前的前n项和，且项和，且S105，S2015.(1)求求S30；(2)S10，S20S10，S30S20是否是等比数列？是否是等比数列？(3)求证：求证：Sn，S2nSn，S3nS2n是等比数列是等比数列【思路点拨思路点拨】灵活应用等比数列的前灵活应用等比数列的前n项和公式，项和公式，紧扣定义解答紧扣定义解答例例例例2 2(2)S105，S20S1010，S30S2020.且且(S20S10)2S10(S30S20)S10，S20S10，S30S20是等比数列是等比数列(3)证明：明：Sna1a1qa1q2a1qn1a1(1qqn1)，S3nS2na2n1a2n1qa2n1q2
7、a2n1qn1a2n1(1qqn1)，S2nSnan1an1qan1q2an1qn1an1(1qqn1)，而而a1，an1，a2n1是等比数列，是等比数列，Sn，S2nSn，S3nS2n是等比数列是等比数列【名名师点点评】在解在解题时，选择适当方法可以适当方法可以提高解提高解题速度，减少解速度，减少解题时间，本，本题结论很重很重要，是等比数列要，是等比数列较常用的性常用的性质之一之一互动探究若将本例条件变为：各项均为正数的互动探究若将本例条件变为：各项均为正数的等比数列等比数列an中，中，S1010，S3070，求，求S40.所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边同所谓错位相减法是指在求和式子
8、的左右两边同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数列求和问题此种方法一般应用于形为等比数列求和问题此种方法一般应用于形如数列如数列anbn的求和，其中数列的求和，其中数列an是等差数是等差数列，数列列，数列bn是等比数列是等比数列错位相减法求和错位相减法求和考点三考点三例例例例3 3 (2010年高考四川卷年高考四川卷)已知等差数列已知等差数列an的的前前3项和和为6，前，前8项和和为4.(1)求数列求数列an的通的通项公式；公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN)，求数列，求数列bn的前的前n项和和Sn.【思路点思路点拨】由由题意列方
9、程意列方程组可求出可求出an；将；将an代入代入bn可知数列可知数列bn的各的各项由两部分由两部分组成，一部成，一部分是等差数列，另一部分成等比数列，故考分是等差数列，另一部分成等比数列，故考虑用用错位相减法求和位相减法求和(2)由由(1)的解答可得，的解答可得，bnnqn1，于是，于是Sn1q02q13q2nqn1.若若q1，将上式两边同乘以，将上式两边同乘以q，有，有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.【名名师师点点评评】一一般般地地，若若数数列列an为为等等差差数数列列，bn为为等等比比数数列列且且公公比比为为q(q1)，求求anbn的的前前n项项和和时时，常常用用“乘乘公公比比，错
10、错位位减减”的的方方法法求求和和在在写写出出“Sn”与与“qSn”时时，应应特特别别注注意意将将两两式式“错错项项对对齐齐”，以以便便进进一一步步地地写写出出“SnqSn”的的表表达达式式，最最后后求求和和特特别别注注意意公公比比是是否否为为1，若若不不确确定定，必必须须对对q1和和q1加加以以讨讨论论这这种种求求和和的的方方法法在在高高考中经常考查，且要求较高考中经常考查，且要求较高方法感悟方法感悟1在等比数列前在等比数列前n项和公式的应用中，注意前项和公式的应用中，注意前n项和公式要分项和公式要分q1和和q1讨论，采用不同的公讨论，采用不同的公式形式，不可忽略式形式，不可忽略q1的情况的情况2等比数列的通项公式和前等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个项和公式共涉及五个量：量：a1，q，n，an，Sn，其中，其中a1和和q为基本量，且为基本量，且五个量五个量“知三可求二知三可求二”；在解决等比数列问题中，；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯题，养成良好的思维习惯3一般地，如果数列一般地，如果数列an是等差数列，是等差数列，bn是等是等比数列，且公比比数列，且公比q1，求数列，求数列anbn的前的前n项和时，项和时，可采用可采用“乘公比，错位相减法乘公比，错位相减法”求和求和
