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1、2.7微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程微分方程。简单例子：（1）放射性物质，在每一时刻t，衰变的速率dmdt（由于是减少，因此0dmdt，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。dmkmdt（2）质量为m的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离( )yy t应该满足牛顿第二定律Fma，即22d ymgmdt（3）质量为m的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t时刻下降距离( )yy t满足22dyd ymgkmdtdt（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹
2、力而来回整栋，原点位置为O，钢球在t时刻的坐标( )xx t满足微分方程22d xkxmdt如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是22dxd xkxhmdtdt总结： 最简单的一阶微分方程是( )dxf tdt其中t是自变量，上述方程的一般解应该是( )xf t dtC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页最简单的n阶方程( )nnd xf tdt它等价于说11nndxdt是( )f t的原函数，即11( )nndxf t dtCdt则再次积分，一直积分下去得到111(
3、)(1)!nnntxf t dtdtCCtCn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程( )( )dxa t xb tdt方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。如果( )0a t，则称为 一阶线性常微分方程。试着求解上述方程，方程两端都乘以( )a t dte，得到( )( )( )( )( )a t dta t dta t dtdxea t exb t edt即为下面的形式( )( )( )
4、( )a t dta t dta t dtd edxexb t edtdt即( )( )( )a t dta t dtd xeb t edt于是有( )( )( )a t dta t dtxeb t edtC那么有( )( )( )a t dta t dtxeb t edtC这就是一阶线性微分方程的一般解 。这个解法的关键部分是以( )a t dte乘以方程两端。简单的例子（1）质量为m的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t时刻下降距离( )yy t满足22dyd ymgkmdtdt由于速度dyvdt，因此方程化为dvkvgdtm方程两边同时乘以( )kkd
5、tta t dtmmeee，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页kkktttmmmdvkeevgedtm即有ktmktmd vegedt得到kkttmmmgveeCk即kkktttmmmmgmgveeCCekk跳伞的初始速度为0，即0,0tv，则00tmgvCk所以mgCk则跳伞速度为1ktmmgvek由于dyvdt，因此有1kkttmmmgmgmyvdtedtteCkkk跳伞的初始位移为0，即0,0ty，则00tmgmyCkk则mCk因此有1ktmmgmytekk精选学习资料 - - - - - - - - -
6、 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页自然界有一些量，它的减少正比于该量本身数值，这样的量x应该满足一下的微分方程dxkxdt即0dxkxdt解这微分方程得到ktxCe设0t时x的值为0x，则有0Cx，量x的变化规律为0ktxx e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页2.7.3 变量分离型微分方程先看一个简单的例子，考察一阶线性方程( )dxa t xdt我们把这个方程改写为( )dxa t dtx如果( )xx t是方程的解，那么它能使上式成为恒等式，两边求不定积分得( )dxa t d
7、tCx因此得到ln |( )xa t dtC( )a t dtCxee令CCe，则得到( )a t dtxCe因此我们可以得到结论，方程( )dxa t xdt的一般解为( )a t dtxCe（一般的变量分离型方程）对于一般的变量分离型方程( ) ( )dxf t g xdt事实上，如果( )0g x，那么方程可以改写为( )( )dxf t dtg x再对两边求不定积分得到( )( )dxf t dtCg x另外，如果有0x能使得0()0g x，那么常值函数0xx也是原方程的解。（经过换元后得到变量分离型方程）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
8、- - -第 6 页，共 17 页（1）考察方程dxxfdtt换元，引入新的未知数xut我们得到xut()dxd utduutdtdtdt代入原方程得到( )duutf udt( )duf uudtt这又是一个变量分离型方程，我们有( )dudtf uut( )dudtCf uut则有ln | |( )dutCf uu（2）考察方程dxxtfdtxt变换方程xdxxtfgxdttt换元，令xut我们得到xutdxduutdtdt代入原方程，我们有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页duuutfdtu这是一个分离变量型
9、的方程，得到dudttufuu两边取积分得到dudtCtufuu则得到ln | |dutCufuu（3）考察方程dxxtfdtxt这个方程可以化成（2）中的形式，取0x和0t满足000000xtxt作如下变换00xxtt则有00()()dxdxddtdtd00000000()()()()()()00xtxtxtfffxtxtxtfff作换元，令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页u我们得到udduudd代入原方程，我们有duuufdududufuududCufuuln | |duCufuu求解方程后只要将值还原为还原
10、前的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页2.7.4 实变复值函数对于代数方程式，我们已经有过这样的经验：即使是实系数的代数方程，为了弄清楚它的根的状况， 最好到更广泛的复数范围内加以讨论。在处理微分方程的某些问题时，例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是“实”的微分方程，所求的也是实解（实值函数解），但中间过程却需要在更广泛的复值函数范围内进行讨论。本节为这一讨论做准备。（1）复数与平面向量，复数序列的极限我们把形状如wuiv的数称为复数，这里1i是虚单位，而,u v都是实数，分别称为实部
11、和虚部，记为Re,wu Im wv复数的加法和乘法定义如下：11221212()()()()uivuivuui vv11221212()()()()uivuivuui vv11221221121 212122112() ()()()uivuivu uiv uiv uv vu uvvi v uv u1111221212122112121221222222222222222222()()()()()()uivuivuivu uv vi v uv uu uv vv uv uiuivuivuivuvuvuv作除法时要求220uiv，即22220uv。复数wuiv可以解释为平面直角坐标系中坐标为( ,
12、)u v的点，这点的极坐标为( ,)r，x( )y iOr( , )u v其中22ruv，cosur，sinvr我们把(cossin)wri精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页称为复数的极坐标表示，r和分别称为复数的模和幅角，分别用符号|w和Argw表示。采用这种表示来计算复数的乘方特别方便：(cossin)nnwrnin证明：当1n时明显成立，假设当nk时成立，有(cossin)kkwrkik则当1nk时，有1111(cossin)(cossin)(cossin)(cossin )(coscossinsin )(
13、cossinsincos )cos(1)sin(1)kkkkkkwwwrkikrirkikirkkikkrkik所以对1nk也成立，故而有(cossin)nnwrnin复数wuiv还可以解释为长为|w方位角为Argw的一个平面向量， 多个复数之和就可以理解为多个平面向量之和。复数的模正好是向量的长度，它满足一下不等式：1212| |wwww意味着三角形的两边之和大于第三边。也可以用代数方式证明这个不等式。化为代数表达，也就是证明：22222212121122()()uuvvuvuv这个采用逆向证明法很容易证明，不等式还可以推广到m个复数的情形，则1212| |mmwwwwww定理 1： 复数序
14、列nnnwuiv收敛于CAiB的充分必要条件是序列nu和序列nv分别收敛于A和B。（实变复值函数）设DR，EC，我们把从D到E的映射( )wf t称为实变复值函数，设wuiv，( )( )( )f ttit， 、函数( )wf t相当于一对实函数( )ut，( )vt引入实变复值函数作为工具，是为了更方便地研究实函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页定理 1： 设实变复值函数( )( )( )f ttit在0( , )U t有定义，而CAiB，则0lim( )ttf tC的充分必要条件是0lim( )tttu，
15、0lim( )tttv定理 2： 设实变复值函数( )( )( )f ttit在0( , )U t有定义，则( )f t在0t点连续的充分必要条件是：( ) t和( ) t在0t点连续。定理 3： 设实变复值函数( )( )( )f ttit在0( , )U t有定义，则( )f t在0t点可导的充分必要条件是：( ) t和( ) t在0t点可导。且000( )( )( )fttit实函数的复合函数求导法则同样适用于实变复值函数的复合函数求导。定理 4： 为使实变复值函数( )( )( )F ttit是实变复值函数( )( )( )f ttit的原函数，必须而且只许( ) t和( ) t分别是
16、( ) t和( ) t的原函数。记为( )( )f t dtF tC( )( )( )( )( )f t dtt dtit dttitC其中C可以是复数。（欧拉 Euler 公式）在推导过程中，会用到下面几个常见的极限10lim 1e，0ln(1)lim1，0arctanlim1当0a时，lim 1lim1annaaaaenn；当0a时，0lim 1lim 101nnaen；因此有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页lim 1,naaeaRn定义： 对于caibC，我们规定lim 1nccen下面来求解ce。将复数
17、1cn写成极坐标的形式111cossincaibabwirinnnn其中221abrnn，arctan1bnan那么有1cossinnnncwrin由前面的知识可得cossincossinnnnwrirnin因此有1cossinnncrninnlim 1limcossinlimlim cossinlimcos limsin limncnnncerninrninnrnin下面分别求出各部分的极限：2222222211nnnabaabrnnnn2222lnln 12nnaabrnn因此有 （可用其同阶的无穷小替代）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
18、- -第 13 页，共 17 页22222222limlnlimln 1lim22nnaabnaabrannnn则有lnlimlnlimlimnnnrrareee而limlimarctanlim11bbnnnnnbaann因此得到lim 1limcos limsin limcossinncnacerninebibn即cossincaeebib，其中caib或者cossina ibaeebib（1）如果0a，那么有cossinibebib（2）令b分别为b和b，我们得到cos, sin22ibibibibeeeebb（3）推广到复数的指数运算1212cccceee证：12112212121212
19、12121122121212121212()()(cossin)(cossin)(coscossinsin)(sincoscossin)cos()sin()ccaibaibaaaaaaaai bbcceeeeebibebibebbbbibbbbebbibbee（4）令0a，2b，则得到2cossin22ieii令0a，b，则得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页cossin1iei令0a，2bk，则得到2cos2sin 21ikekik特别的1k，有21ie它将数学中最重要的五个数字1,2, , e i联系在一起
20、。利用欧拉公式，我们将复数的极坐标形式(cossin)wri写成iwre这里r为复数的模，为幅角，cossiniei是一个模为1 的复数，它表示与极轴夹角为的一个单位向量。| 1ie再看复数2(cossin)sincoscossin22iiieiiiie因为22iiiiieeee所以iie是与ie垂直的一个单位向量。如下图所示。Oieiie（应用欧拉公式讨论实变复值函数）考察实变复值函数()( )titf tee，这里tR，iC (,)R，根据欧拉公式有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页()( )(cossin)
21、tittittf teeeetit那么求导数得到2( )(cossin) (cossin)(cossin)(cossin)(sincos)cossin22tttttttitttittittittitifteetitetitetitetitetiteetiteeeee2()titti tti tteieiee因此得到，对于iC，下面的求导公式也成立。ttee因此得到关于原函数不定积分的相应公式。1tte dteC（1）例如，已知,a bR，试求下面的不定积分。cosatebtdt，sinatebtdt令aib，则所求的不定积分恰好为下式的实部和虚部()22222222(cossin)11(cos
22、sin)()(cossin)( cossin)( sincos)cossinattta ib tatatatataeatibt dte dteCeAiBaibaibebtibtAiBabaibbtibteAiBababtbbti abtbbteAiBababtbbteAieab22sincostabtbbtBab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页由于对于实变复值函数( )( )( )f ttit( )( )( )( )( )f t dtt dtit dttitC因此有22cossincos( )atatabtbbtebtdtteAab22sincossin( )atatabtbbtebtdtteBab其中A，B为任意实数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页
