《2022年双抛物线型中考压轴题解法赏析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年双抛物线型中考压轴题解法赏析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、佳题赏析双抛物线型中考压轴题解法近几年各地中考试题中出现了一类以双抛物线为背景立意的综合性压轴题，它集知识、方法、能力于一体，重在考查考生综合应用数学知识解决问题的能力，具有较强的探索性。这类试题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、 能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。本文选取三道比较典型的中考压轴题予以解析。一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题例 1、（ 2006 烟台市）如图，已知抛物线L1: y=x2-4 的图像与x 有交于 A、C两点，（1）若抛物线l2与 l1关于 x 轴对称，求l2的解析式；（2）若点 B是抛物线 l1
2、上的一动点（ B不与 A、C重合） ，以 AC为对角线， A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在 l2上；（3）探索：当点B 分别位于l1在 x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。解：设 l2的解析式为y=a(x-h)2+k l2与 x 轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是 (0 ， -4),l1与 l2关于 x 轴对称，l2过 A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（ 0，4）y=ax2+4 0=4a+4 得 a=-1 l2的解析式为y=
3、-x2+4 (2) 设 B(x1 ,y1) 点 B在 l1上B(x1 ,x12-4) 四边形 ABCD 是平行四边形，A、C关于 O对称B、D关于 O对称D(-x1 ,-x12+4). 将 D(-x1 ,-x12+4) 的坐标代入l2：y=-x2+4 左边 =右边点 D在 l2上. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页(3) 设平行四边形ABCD 的面积为S,则 S=2*SABC =AC*|y1|=4|y1| a.当点 B在 x 轴上方时， y10 S=4y1 , 它是关于y1的正比例函数且S随 y1的增大而增大，S
4、既无最大值也无最小值 b.当点 B在 x 轴下方时， -4 y1 0 S=-4y1 , 它是关于y1的正比例函数且S随 y1的增大而减小，当 y1 =-4 时， S由最大值16，但他没有最小值此时 B(0,-4)在 y 轴上，它的对称点D也在 y 轴上 . AC BD 平行四边形ABCD是菱形此时 S最大=16 评析 :本题条件简明，有较强的探索性。第（3）问溶四边形、函数知识于一体，体现了数形结合与分类讨论的思想。二、以纵轴为对称轴的双抛物线型压轴题例 2、 （2006 十堰市）已知抛物线1C：22yxmxn（m，n为常数，且0m，0n）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线2C与抛物线1C关于
5、y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB注：抛物线20yaxbxc a的顶点坐标为2424bacbaa，（1）请在横线上直接写出抛物线2C的解析式： _；（2）当1m时，判定ABC的形状，并说明理由；（3）抛物线1C上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由26 （1）22yxmxn（2）当1m时，ABC为等腰直角三角形理由如下：如图：点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，ACBC过点A作抛物线1C的对称轴交x轴于D，过点C作CEAD于E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 1
6、2 页当1m时，顶点A的坐标为11An，1CE又点C的坐标为0n，11AEnnAECE从而45ECA，45ACy由对称性知45BCyACy，90ACBABC为等腰直角三角形（3）假设抛物线1C上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PCABBC由（ 2）知，ACBC，ABBCAC从而ABC为等边三角形30ACyBCy四边形ABCP为菱形，且点P在1C上，点P与点C关于AD对称PC与AD的交点也为点E，因此903060ACE点AC，的坐标分别为20A mmnCn，22AEmnnmCEm，在RtACE中，2tan603AEmCEm3m，3m故抛物线1C上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时3m
7、y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页评析 :本题立意新， 集计算、推理于一体， 体现了对称的思想、方程的思想与数形结合的思想。三、以原点对称点的双抛物线型压轴题例 3、（ 2006 山西省）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(4，0)、B(2，0)、E(0，8)。（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线 C2与 x 轴分别交于C、D 两点 (点 C 在点 D 的左侧 )，顶点为 N，四边形MDNA 的面积为S。若点 A、点 D 同时以每秒1 个单位的速度沿水平
8、方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点 N 同时以每秒2 个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点 D 重合为止。求出四边形MDNA 的面积 S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当 t 为何值时，四边形MDNA 的面积 S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由。解： （1）点 A（ 4，0） ，点 B（ 2，0） ，点 E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0） ，C（2，0） ，F（0， 8）设抛物线 C2的解析式是)0(2acbxaxy则80240416ccba
9、cba解得861cba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页所以所求抛物线的解析式是862xxy（2）由（ 1）可计算得点M（ 3， 1） ，N（3，1）过点 N 作 NH AD ，垂足为H。当运动到时刻t 地， AD=2OD=8 2t，NH=1+2t 根据中心对称的性质OA=OD ，OM=ON ，所以四边形MDNA 是平行四边形所以ADNSS2所以，四边形MDNA 的面积8144)21)(28(2ttttS因为运动至点A 与点 D 重合为止，据题意可知40t。所以，所求关系式是81442ttS，t 的取值范围是40t
10、（3）481474 tS， （40t）所以47t时， S 有最大值481提示：也可用顶点坐标公式来求。（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形。由（ 1）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD 、MN ，所以当AD=MN时四边形 MDNA 是矩形。所以 OD=ON 。所以2222NHOHONOD所以0242tt。解之得262621tt，（舍）。所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时26t评析 :本题把双抛物线中运动变化的几何图形放到直角坐标中，来解决相关问题，充分体现了函数的思想、方程的思想以及数形结合的思想，颇具探索性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名
11、师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页在以上三道中考压轴题中，数形结合、 分类讨论、 方程函数的数学思想得到了充分体现，成为支撑综合性试题的核心。每道试题又都具有很强的探索性，这种探索过程是固本，是求新，是中考数学压轴题的生命力的体现。解好这类综合题必须具备三种能力：一是语言转换能力：每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、 图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力，还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。二是概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。三是数形转换能力：解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其
12、几何意义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路。练习：1.（2008年南昌）如图， 抛物线 y1=-ax2-ax+1经过点 P 1 9,2 8,且与抛物线 y2=ax2-ax-1相交于AB，两点（1）求a值；（ 2） 设211yaxax与x轴 分 别 交 于MN，两 点 （ 点M在 点N的 左 边 ） ，221yaxax与x轴分别交于EF，两点 （点E在点F的左边）， 观察MNEF， ， ，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（ 3） 设AB，两 点 的 横 坐 标 分 别 记 为ABxx， 若 在x轴 上 有 一 动 点(0)Q x， 且ABxxx，过Q作一条垂直于x轴的直线，
13、与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？解： （1）点1 92 8P，在抛物线211yaxax上，1191428aa，解得12a（2）由（ 1）知12a，抛物线2111122yxx，2211122yxxy x P A O B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页当2111022xx时，解得12x，21x点M在点N的左边，2Mx，1Nx当2111022xx时，解得31x，42x点E在点F的左边，1Ex，2Fx0MFxx，0NExx，点M与点F对称，点N与点E对称（3）102a
14、抛物线1y开口向下，抛物线2y开口向上根据题意，得12CDyy22211111122222xxxxxABxxx，当0x时，CD有最大值22.（2008 年烟台）如图， 抛物线21:23Lyxx交x轴于 A、B 两点， 交y轴于 M 点.抛物线1L向右平移2 个单位后得到抛物线2L，2L交x轴于 C、D 两点 . （1）求抛物线2L对应的函数表达式；（2）抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点N，使以 A，C，M， N 为顶点的四边形是平行四边形 .若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 是抛物线1L上的一个动点 （P 不与点 A、B 重合），那么点 P 关于原点的对
15、称点Q 是否在抛物线2L上，请说明理由. y x P A O B M E N F y x P A O B D Q C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页佳题赏析双抛物线型中考压轴题解法一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题例 1、（ 2006 烟台市）如图，已知抛物线L1: y=x2-4 的图像与x 有交于 A、C两点，（1）若抛物线l2与 l1关于 x 轴对称，求l2的解析式；（2）若点 B是抛物线 l
16、1上的一动点（ B不与 A、C重合） ，以 AC为对角线， A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在 l2上；（3）探索：当点B 分别位于l1在 x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。二、以纵轴为对称轴的双抛物线型压轴题例 2、 （2006 十堰市）已知抛物线1C：22yxmxn（m，n为常数，且0m，0n）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线2C与抛物线1C关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB注：抛物线20yaxbxc a的顶点坐标为2424ba
17、cbaa，（1）请在横线上直接写出抛物线2C的解析式： _；（2）当1m时，判定ABC的形状，并说明理由；（3）抛物线1C上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页三、以原点对称点的双抛物线型压轴题例 3、（ 2006 山西省）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(4，0)、B(2，0)、E(0，8)。（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线 C2与 x 轴分别交于C、D 两点 (点
18、 C 在点 D 的左侧 )，顶点为 N，四边形MDNA 的面积为S。若点 A、点 D 同时以每秒1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点 N 同时以每秒2 个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点 D 重合为止。求出四边形MDNA 的面积 S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当 t 为何值时，四边形MDNA 的面积 S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
19、10 页，共 12 页练习：1.（2008年南昌）如图， 抛物线 y1=-ax2-ax+1经过点 P 1 9,2 8,且与抛物线 y2=ax2-ax-1相交于AB，两点（1）求a值；（ 2） 设211yaxax与x轴 分 别 交 于MN，两 点 （ 点M在 点N的 左 边 ） ，221yaxax与x轴分别交于EF，两点 （点E在点F的左边）， 观察MNEF， ， ，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（ 3） 设AB，两 点 的 横 坐 标 分 别 记 为ABxx， 若 在x轴 上 有 一 动 点(0)Q x， 且ABxxx，过Q作一条垂直于x轴的直线， 与两条抛物线分别交于C，D
20、两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？2.（2008 年烟台）如图， 抛物线21:23Lyxx交x轴于 A、B 两点， 交y轴于 M 点.抛物线1L向右平移2 个单位后得到抛物线2L，2L交x轴于 C、D 两点 . （1）求抛物线2L对应的函数表达式；（2）抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点N，使以 A，C，M， N 为顶点的四边形是平行四边形 .若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 是抛物线1L上的一个动点 （P 不与点 A、B 重合），那么点 P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L上，请说明理由. y x P A O B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
