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1、第第7 7章章 一阶电路和一阶电路和二阶电路的二阶电路的时域分析时域分析动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件7.17.1一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应7.27.2一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应7.37.3一阶电路的全响应一阶电路的全响应一阶电路的全响应一阶电路的全响应7.47.4首首 页页本章重点本章重点第第7 7章章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路的时域分析的时域分析2.一阶电路的零输入响应、零一阶电路的零输入响应、零状
2、态响应和全响应的概念及状态响应和全响应的概念及求解；求解；l 重点重点1.动态电路方程的建立及初动态电路方程的建立及初 始条件的确定；始条件的确定；含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1 1. . 动态电路动态电路 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要当动态电路状态发生改变时（换路）需要当动态电路状态发生改变时（换路）需要当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这经历一个变化过
3、程才能达到新的稳定状态。这经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。个变化过程称为电路的过渡过程。个变化过程称为电路的过渡过程。个变化过程称为电路的过渡过程。特点例例电阻电路电阻电路+-usR1R2（t = 0）i0ti过渡期为零过渡期为零过渡期为零过渡期为零 k接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：达到新的稳定状态：i = 0 , uC= Usi = 0 , uC = 0k未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：电容电路电容电路k k+ + u uC C
4、U Us sR RC Ci i ( (t t = 0)= 0)+ +- - - - ( (t t ) )+ + u uC CU Us sR RC Ci i+ +- - - -前一个稳定状态前一个稳定状态前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态新的稳定状态新的稳定状态t1U US Su uc ct t0 0?i i有一过渡期有一过渡期 k接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电路达到新的稳定，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：状态，电感视为短路：uL= 0, i=Us /Ri = 0 , uL = 0k未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳
5、定状态：电感电路电感电路k k+ + u uL LU Us sR Ri i ( (t t = 0)= 0)+ +- - - -L L ( (t t ) )+ + u uL LU Us sR Ri i+ +- - - -前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1US/Rit0?uL有一过渡期有一过渡期 ( (t t ) )+ + u uL LU Us sR Ri i+ +- - - -k k未动作前未动作前未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：uL= 0, i=Us /Rk k断开瞬间断开瞬间断开瞬间断开瞬间
6、i = 0 , uL = 工程实际中在切断电容或电感电路时工程实际中在切断电容或电感电路时工程实际中在切断电容或电感电路时工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。会出现过电压和过电流现象。会出现过电压和过电流现象。会出现过电压和过电流现象。注意k k ( (t t ) )+ + u uL LU Us sR Ri i+ +- - - -过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L L、C C，电路在换路时，电路在换路时，电路在换路时，电路在换路时能量发生变化，而能量发生变化，而能量发生变化，而能量发生
7、变化，而能量的储存和释放都需要一定的能量的储存和释放都需要一定的能量的储存和释放都需要一定的能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。时间来完成。时间来完成。时间来完成。电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化换路换路支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化应用应用应用应用KVLKVL和电容的和电容的和电容的和电容的VCRVCR得：得：得：得：若以电流为变量：若以电流为变量：若以电流为变量：若以电流为变量：2 2. . 动态电路的方程动态电路的方程 ( (t t 0 0) )+ + u uC CU Us sR RC Ci i+ +- - - -例例RC电路电路应用应用应用应用KV
8、LKVL和电感的和电感的和电感的和电感的VCRVCR得得得得：若以电感电压为变量：若以电感电压为变量：若以电感电压为变量：若以电感电压为变量： ( (t t 0 0) )+ + u uL LU Us sR Ri i+ +- - - -RLRL电路电路电路电路有源有源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。电路方程为一阶线性常微
9、分方程，称一阶电路。电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。二阶电路二阶电路 ( (t t 0 0) )+ + u uL LU Us sR Ri i+ +- - - -C Cu uC CRLCRLC电路电路电路电路应用应用应用应用KVLKVL和元件的和元件的和元件的和元件的VCRVCR得得得得： 含有含有含有含有二个动态元件二个动态元件二个动态元件二个动态元件的线性电路，其电路方程为的线性电路，其电路方程为的线性电路，其电路方程为的线性电路，其电路方程为二二二二阶线性常微分方程阶线性常微分方程阶线性常微分方程阶线性常微分方程，称，称，称，称二阶电路二阶电路二阶电路二阶电路。一阶电路一阶电路一
10、阶电路中只有一阶电路中只有一阶电路中只有一阶电路中只有一个动态元件一个动态元件一个动态元件一个动态元件, , , ,描述描述描述描述电路的方程是电路的方程是电路的方程是电路的方程是一阶一阶一阶一阶线性微分方程。线性微分方程。线性微分方程。线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。态元件的个数。态元件的个数。态元件的个数。二阶电路二阶电路二阶
11、电路中有二阶电路中有二阶电路中有二阶电路中有二个动态元件二个动态元件二个动态元件二个动态元件, , , ,描述描述描述描述电路的方程是电路的方程是电路的方程是电路的方程是二阶二阶二阶二阶线性微分方程。线性微分方程。线性微分方程。线性微分方程。结论动态电路的分析方法动态电路的分析方法动态电路的分析方法动态电路的分析方法根据根据根据根据KVLKVL、KCLKCL和和和和VCRVCR建立微分方程；建立微分方程；建立微分方程；建立微分方程；复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法求解微分方程求解微分方程求解微分方程求解微分方程经典法经典法经典法经典法 状态变量法状态变量法状态变量法状态变量法数值法
12、数值法数值法数值法卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法状态变量法状态变量法付氏变换付氏变换付氏变换付氏变换本章本章本章本章采用采用采用采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态稳态动态动态换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后状态微分方程的特解微分方
13、程的特解微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激励恒定或周期性激励恒定或周期性激励恒定或周期性激励换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程微分方程的通解微分方程的通解微分方程的通解微分方程的通解任意激励任意激励任意激励任意激励 t t = 0 = 0与与与与t t = 0= 0的概念的概念的概念的概念认为换路在认为换路在认为换路在认为换路在t t=0=0时刻进行时刻进行时刻进行时刻进行0 0 换路前一瞬间换路前一瞬间换路前一瞬间换路前一瞬间 0 0 换路后一瞬间换路后一瞬间换路后一瞬间换路后一瞬间3.3.电路的初始条件电路的初始条件初始条件为初始条件为
14、初始条件为初始条件为 t t = 0 = 0时时时时u u ，i i 及其各阶导数及其各阶导数及其各阶导数及其各阶导数的值。的值。的值。的值。注意0f f( (t t) )0 00 0t图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压U Uo o, ,求求求求开关闭合后电容电压随时间的变化。开关闭合后电容电压随时间的变化。开关闭合后电容电压随时间的变化。开关闭合后电容电压随时间的变化。例例解解特征根方程：特征根方程：特征根方程：特征根方程：通解：通解：通解：通解：代入初始条件得：代入初始条件得：代入
15、初始条件得：代入初始条件得： 在动态电路分析中，初始条件是得在动态电路分析中，初始条件是得在动态电路分析中，初始条件是得在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。到确定解答的必需条件。到确定解答的必需条件。到确定解答的必需条件。明确R R+ +C Ci iu uC C( (t=t=0 0) )i iu uc cC C+ +- -电容的初始条件电容的初始条件电容的初始条件电容的初始条件q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0)q =C uC电荷电荷守恒守恒 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，
16、若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。结论电感的初始条件电感的初始条件电感的初始条件电感的初始条件i iL Lu uL L+ +- - - - L (0)= L (0)iL(0)= iL(0)磁链磁链守恒守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（
17、磁链）换路前后保持不变。结论 L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)换路定律换路定律换路定律换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定电容电流和电感电压为有限值是换路定电容电流和电感电压为有限值是换路定电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。律成立的条件。律成立的条件。律成立的条件。 换路瞬间，若电感电压保持换路瞬间，若电感电压保持换路瞬间，若电感电压保持换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）为有限值，则电感电流（磁链）为有限值，则电感电流（磁链）为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换
18、路前后保持不变。换路前后保持不变。换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持换路瞬间，若电容电流保持换路瞬间，若电容电流保持换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）为有限值，则电容电压（电荷）为有限值，则电容电压（电荷）为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路前后保持不变。换路前后保持不变。换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。注意电路初始值的确定电路初始值的确定电路初始值的确定电路初始值的确定(2)(2)(2)(2)由换路定律由换路定律由换路定律由换路定律 uC (0+) =
19、uC (0)=8V(1) (1) 由由由由0 0电路求电路求电路求电路求 u uC C(0(0) )uC(0)=8V(3) (3) 由由由由0 0+ +等效电路求等效电路求等效电路求等效电路求 i iC C(0(0+ +) )i iC C(0(0)=0 )=0 i iC C(0(0+ +) )例例1求求求求 i iC C(0(0+ +) )电电容容开开路路+ +- - - -10V10Vi ii iC C+ +u uC C- - - -S S10k10k40k40k+ +- - - -10V10V+ +u uC C- - - -10k10k40k40k+ +8V8V- - - -0 0+ +等
20、效电路等效电路等效电路等效电路+ +- - - -10V10Vi ii iC C10k10k电容用电容用电压电压源源替代替代注意i iL L(0(0+ +)= )= i iL L(0(0) =2A) =2A例例 2t t = 0= 0时闭合开关时闭合开关时闭合开关时闭合开关S S , , , ,求求求求 u uL L(0(0+ +) )先求先求先求先求应用换路定律应用换路定律应用换路定律应用换路定律: : : :电感电感电感电感用用用用电电电电流源流源流源流源替代替代替代替代解解电感电感短路短路i iL L+ +u uL L- - - -L L10V10VS S1 1 4 4 + +- - -
21、 -i iL L10V10V1 1 4 4 + +- - - -由由由由0 0+ +等效电路求等效电路求等效电路求等效电路求 u uL L(0(0+ +) )2A2A+ +u uL L- - - -10V10V1 1 4 4 + +- - - -注意求初始值的步骤求初始值的步骤: :1.1.1.1.由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求u uC C(0(0) ) ) )和和和和i iL L(0(0) )；2.2.2.2.由换路定律得由换路定律得由换路定律得由换路定律得 u uC C(0(0+ +) ) 和和和和 i iL L(0
22、(0+ +) )。3.3.3.3.画画画画0 0+ +等效电路。等效电路。等效电路。等效电路。4.4.4.4.由由由由0 0+ +电路求所需各变量的电路求所需各变量的电路求所需各变量的电路求所需各变量的0 0+ +值。值。值。值。b. b. b. b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. a. a. a. 换路后的电路换路后的电路换路后的电路换路后的电路（取（取（取（取0 0+ +时刻值，方向与原假定的电容电压、电时刻值，方向与原假定的电容电压、电时刻值，方向与原假定的电容电压、电
23、时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。感电流方向相同）。感电流方向相同）。感电流方向相同）。小结小结iL(0+) = iL(0) = iSuC(0+) = uC(0) = RiSuL(0+)= - - RiS求求求求 i iC C(0(0+ +) ) , , u uL L(0(0+ +) )例例3解解由由由由0 0 0 0电路得电路得电路得电路得：由由由由0 0 0 0+ + + +电路得电路得电路得电路得：S(S(t t=0)=0)+ + + + u uL Li iL LC C+ + + + u uC CL LR Ri iS Si iC CR Ri iS S0 0电路电路电路电
24、路u uL L+ + i iC CR Ri iS SRiRiS S+ + 例例4求求求求S S闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压解解由由由由0 0 0 0电路得电路得电路得电路得：由由由由0 0 0 0+ + + +电路得电路得电路得电路得：i iL L+ +u uL L- - - -L LS S2 2 + +- - - -48V48V3 3 2 2 C Ci iL L2 2 + +- - - -48V48V3 3 2 2 + +u uC C12A24V+- -48V3 2 +- -iiC+- -uL求求求求S S闭
25、合瞬间流过它的电流值闭合瞬间流过它的电流值闭合瞬间流过它的电流值闭合瞬间流过它的电流值解解确定确定确定确定0 0 0 0值值值值给出给出给出给出0 0等效电路等效电路等效电路等效电路例例5i iL L+ +20V20V- - - -1010 + +u uC C1010 1010 i iL L+ +20V20V- - - -L LS S1010 + +u uC C1010 1010 C C1A10V+uLiC+20V- -10 +10 10 7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动换路后外加激励为零，仅由动换路后外加激励为零，仅由动换路后外加激励为零，仅
26、由动态元件初始储能产生的电压和态元件初始储能产生的电压和态元件初始储能产生的电压和态元件初始储能产生的电压和电流。电流。电流。电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知已知已知 uC (0)=U0 uR= Ri零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应i iS(S(t t=0)=0)+ + u uR RC C+ + u uC CR R特征方程特征方程特征方程特征方程RCp+1=0代入初始值代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0i iS(S(t t=0)=0)+ + u uR RC C+ + u uC CR R特征根特征根特征根特征根则则或或t tU U0 0u uC
27、 C0 0I I0 0t ti i0 0令令令令 = =RCRC , , , , 称称称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续连续连续连续函数函数函数函数跃变跃变跃变跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RCRC有关有关有关有关; ; ; ;表明表明时间常
28、数时间常数时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = RC 大大大大过渡过程时间长过渡过程时间长过渡过程时间长过渡过程时间长 小小小小过渡过程时间短过渡过程时间短过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：电压初值一定：电压初值一定：R R 大大大大（ C C一定一定一定一定） i=u/R 放电电流小放电电流小放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长放电时间长放电时间长U U0 0t tu uc c0 0 小小小小 大大大大C C 大大大大（R R一定一定一定一定）
29、W=Cu2/2 储能大储能大储能大储能大物理含义物理含义 电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%36.8%所需的时间。所需的时间。所需的时间。所需的时间。工程上认为工程上认为工程上认为工程上认为, , , , 经过经过经过经过 3 3 5 5 , , 过渡过程结束。过渡过程结束。过渡过程结束。过渡过程结束。U U0 0 0.368 0.368U U0 0 0.1350.135U U0 0 0.050.05U U0 0 0.0070.007U U0 0 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 注意注意t t
30、0 0 2 2 3 3 5 5 能量关系能量关系能量关系能量关系电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收, , , , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. . . .设设 uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量：电容放出能量：电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：u uC CR R+ +C C例例1图示电路中的电容原充有图示电路中的电容原充有图示电路中的电容原充有图示电路中的电容原充有24V24V电压，求电压，求电压，求电压，求
31、k k闭合后，闭合后，闭合后，闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶这是一个求一阶这是一个求一阶RC RC 零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：+ +u uC C4 4 5F5Fi i1 1t 0等效电路等效电路等效电路等效电路i i3 3S S3 3 + +u uC C2 2 6 6 5F5Fi i2 2i i1 1+ +u uC C4 4 5F5Fi i1 1分流得：分流得：分流得：分流得：i
32、i3 3S S3 3 + +u uC C2 2 6 6 5F5Fi i2 2i i1 12.2. RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程特征方程特征方程 Lp+R=0代入初始值代入初始值代入初始值代入初始值A= iL(0+)= I0t 0i iL LS(S(t t=0)=0)U US SL L+ + uL LR RR R1 1+ +- - - -iL L+ + uLR R特征根特征根特征根特征根 t tI I0 0i iL L0 0连续连续函数函数跃变跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的
33、函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明表明- -RIRI0 0u uL Lt t0 0iL L+ + uLR R响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/L/R R有关有关有关有关; ; ; ;令令令令 称为一阶称为一阶称为一阶称为一阶RLRL电路时间常数电路时间常数电路时间常数电路时间常数 = L/R时间常数时间常数时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的
34、长短L L大大大大 W=LiW=LiL L2 2/2 /2 起始能量大起始能量大起始能量大起始能量大R R小小小小 P=RiP=Ri2 2 2 2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢，放电慢，放电慢，放电慢， 大大大大 大大大大过渡过程时间长过渡过程时间长过渡过程时间长过渡过程时间长 小小小小过渡过程时间短过渡过程时间短过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义物理含义物理含义电流初值电流初值电流初值电流初值i iL L(0)(0)一定：一定：一定：一定：能量关系能量关系能量关系能量关系电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释
35、放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, , , , 直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设 iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量：电感放出能量：电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：iL L+ + uLR RiL (0+) = iL(0) = 1 Au uV V (0(0+ +)=)= 10000V 10000V 造成造成造成造成V损坏。损坏。损坏。损坏。例例1t=0时时, ,打开开关打开开关S，求求uv。电压表量程：。电压表量程：50V解解iLS(S(t t=0)=0)+ +
36、 u uV VL L=4H=4HR R=10=10 V VR RV V10k10k 10V10ViLL LR R10V10V+ + + +- - - -例例2t t=0=0时时时时, , , ,开关开关开关开关S S由由由由1 122，求求求求电感电压和电流。电感电压和电流。电感电压和电流。电感电压和电流。解解i+ + uL L6 6 6 6HHt t 0 0i iL LS(S(t t=0)=0)+ + 24V24V6H6H3 3 4 4 4 4 6 6 + +u uL L2 2 1 12 2一阶电路的零输入响应是一阶电路的零输入响应是一阶电路的零输入响应是一阶电路的零输入响应是由储能元件的初
37、值引由储能元件的初值引由储能元件的初值引由储能元件的初值引起的响应起的响应起的响应起的响应, , , , 都是由初始值衰减为零的指数衰减都是由初始值衰减为零的指数衰减都是由初始值衰减为零的指数衰减都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。函数。函数。函数。iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RCRC电路电路电路电路RLRL电路电路电路电路小结一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。为零输入线性。为零输入线性。为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取
38、决于时间常数衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。小结小结 = R C = L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RCRC电路电路电路电路RLRL电路电路电路电路动态元件动态元件动态元件动态元件初始能量为零初始能量为零初始能量为零初始能量为零，由，由，由，由t t 00电电电电路中外加激励作用所产生的响应。路中外加激励作用所产生的响应。路中外加激励作用所产生的响应。路中外加激励作用所产生
39、的响应。方程：方程：方程：方程：7.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 解答形式为：解答形式为：解答形式为：解答形式为：1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解i iS(S(t t=0)=0)U US S+ + u uR RC C+ + u uC CR Ru uC C (0(0)=0)=0+ + 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为
40、电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定的通解的通解的通解的通解的特解的特解的特解的特解特解（强制分量）特解（强制分量）特解（强制分量）特解（强制分量）通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）全解全解全解全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由初始条件由初始条件由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数定积分常数定积分常数定积分常数 A A从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：-U-US
41、SuC C uC C“ “U US St ti i0 0t tu uC C0 0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：连续连续连续连续函数函数函数函数跃变跃变跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）表明表明+响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快
42、慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RCRC决定；决定；决定；决定； 大，大，大，大，充电慢，充电慢，充电慢，充电慢， 小充电就快。小充电就快。小充电就快。小充电就快。响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系；能量关系能量关系能量关系能量关系电源提供能量：电源提供能量：电源提供能量：电源提供能量：电阻消耗能量：电阻消耗能量：电阻消耗能量：电阻消耗能量： 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成
43、电场能量储存在电容中。转换成电场能量储存在电容中。转换成电场能量储存在电容中。转换成电场能量储存在电容中。表明表明R RC C+ +- - - -U US S电容储存能量：电容储存能量：电容储存能量：电容储存能量：例例t t=0=0时时时时, , , ,开关开关开关开关S S闭合，已知闭合，已知闭合，已知闭合，已知 u uC C(0(0)=0)=0，求求求求( ( ( (1)1)1)1)电容电容电容电容电压和电流电压和电流电压和电流电压和电流, (2), (2), (2), (2) u uC C80V80V时的充电时间时的充电时间时的充电时间时的充电时间t t 。解解(1)(1)(1)(1)这
44、是一个这是一个这是一个这是一个RCRC电路零电路零电路零电路零状态响应问题，有：状态响应问题，有：状态响应问题，有：状态响应问题，有：(2)(2)(2)(2)设经过设经过设经过设经过t t1 1秒秒秒秒，u uC C80V80V500500 1010 F F+ +- - - -100V100VS S+ +u uC Ci i2. 2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应已知已知已知已知i iL L(0(0)=0)=0，电路方程为：，电路方程为：，电路方程为：，电路方程为：t ti iL L0 0i iL LS(S(t t= =0)0)U US S+ + u uR RL L+ + u uL LR
45、 R+ +u uL LU US St t0 0i iL LS(S(t t= =0)0)U US S+ + u uR RL L+ + u uL LR R+ +例例1t t=0=0时时时时, , , ,开关开关开关开关S S打开，求打开，求打开，求打开，求t t 00后后后后i iL L、u uL L的变化规律。的变化规律。的变化规律。的变化规律。解解这是这是这是这是RLRL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：t t 0 0i iL LS S+ + u uL L2H2HR R8080 10A
46、10A200200 300300 i iL L+ + u uL L2H2H10A10AR Reqeq例例2t=0开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。解解这是这是这是这是RLRL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：i iL L+ + u uL L2H2HU Uo oR Reqeq+ +t t 0 01010 5 5 i iL LS S+ + u uL L2H2H2A2A1010 + + u u7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初
47、始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。以以以以RCRC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：1. 1. 全响应全响应全响应全响应全响应全响应i iS(S(t t=0)=0)U US S+ + u uR RC C+ + u uC CR R解答为：解答为： uC(t) = uC + uC = RC特解特解 uC = US通解通解uC
48、(0)=U0uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - - US由初始值定由初始值定由初始值定由初始值定A A强制分量强制分量强制分量强制分量( ( ( (稳态解稳态解稳态解稳态解) ) ) )自由分量自由分量自由分量自由分量( ( ( (暂态解暂态解暂态解暂态解) ) ) )2. 2. 全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式u uC C - - - -U US SU U0 0暂态解暂态解暂态解暂态解uC C U US S稳态解稳态解U U0 0u uc c全解全解t tu uc c0 0全响应全响应全响应全响应 = 强制分量强制分量强制分量强制分量( ( ( (稳态解稳态解稳态解稳态解)
49、 ) ) )+ +自由分量自由分量自由分量自由分量( ( ( (暂态解暂态解暂态解暂态解) ) ) )着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰物理概念清晰物理概念清晰物理概念清晰全响应全响应 = = 零状态响应零状态响应 + + 零输入响应零输入响应着眼于因果关系着眼于因果关系着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算便于叠加计算便于叠加计算零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应S(S(t t=0)=0)U US SC C+ + R Ru uC C (0(0)=)=U U0
50、0+S(S(t t=0)=0)U US SC C+ + R Ru uC C (0(0)=)=U U0 0S(S(t t=0)=0)U US SC C+ + R Ru uC C (0(0)= 0)= 0零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应tuc0 0U US S零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应全响应全响应全响应全响应零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应U U0 0例例1 t=0 时时时时 , , , ,开关开关开关开关S S打开，求打开，求打开，求打开，求t 0后的后的后的后的iL、uL。解解这是这是这是这是RLRL电路全响应问题，电路全响
51、应问题，电路全响应问题，电路全响应问题，有：有：有：有：i iL LS(S(t t=0)=0)+ + 24V24V0.6H0.6H4 4 + +u uL L8 8 零输入响应：零输入响应：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：零状态响应：零状态响应：全响应：全响应：全响应：全响应：或求出稳态分量：或求出稳态分量：或求出稳态分量：或求出稳态分量：代入初值有：代入初值有：代入初值有：代入初值有：62AA=4全响应：全响应：全响应：全响应：3. 3. 三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：一阶电路的数学模型是一阶
52、线性微分方程：一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令令令令 t = 0+其解答一般形式为：其解答一般形式为：其解答一般形式为：其解答一般形式为：特特解解 分析一阶电路问题转为求解电路的三分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。个要素的问题。用用用用0 0+ +等效电路求解等效电路求解等效电路求解等效电路求解用用用用t t 的稳态的稳态的稳态的稳态电路求电路求电路求电路求解解解解注意直流激励时：直流激励时：直流激励时：直流激励时：A例例1已知：已知：已知：已知：t=0 时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t)解解tu uc c2 2(V)
53、(V)0.6670.6670 01A1A2 2 1 1 3F3F+ +- - - -u uC C例例2t t=0=0时时时时 , , , ,开关闭合，求开关闭合，求开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的后的后的i iL L、i i1 1、i i2 2解解三要素为：三要素为：三要素为：三要素为：i iL L+ + 20V20V0.5H0.5H5 5 5 5 + + 10V10Vi i2 2i i1 1三要素公式三要素公式三要素公式三要素公式三要素为：三要素为：三要素为：三要素为：0 0等效电路等效电路等效电路等效电路+ + 20V20V2A2A5 5 5 5 + + 10V10Vi i2 2i i1 1已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能t = 0 时合时合时合时合S S1 1 , , t =0.2s时合时合时合时合S S2 2 ，求两次换路后的电感电流，求两次换路后的电感电流，求两次换路后的电感电流，求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2si i10V10V+ +S S1 1( (t t=0)=0)S S2 2( (t t=0.2s)=0.2s)3 3 2 2 - - - -(0 t 0.2s)( t 0.2s)i it t(s)(s)0.20.25 5(A)(A)1.261.262 20 0
