《2022年同济版第四章向量组的线性相关性的教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年同济版第四章向量组的线性相关性的教案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师精编优秀教案第一节向量组及其线性组合一.教学重点 ：线性表示，向量组等价的充要条件二.教学目标 ：熟练掌握相关定义，定理。三.教学过程 ：1.定义 1： n 个有次序的数1n所组成的数组称为n 维向量说明几个问题：111)nnT列向量，行向量。1212(,),Tnnxx xxx xxRnn2)n 维向量的全体所组成的集合R称为 维向量空间。1211223)(,)1Tnnnnnxx xxa xa xa xbRn维向量的集合叫的维超平面。14)nmnnma111nm1若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量组aa例如 A=称为 个维列向量的全体。a定义 2：给定向量组1111,.mmmmikkR
2、kkAkA:称为 的一个线性组合。称为系数。11221mmmbkkk若称b能被线性表示。11( )(, )mmR ARbTh1.b能由A:线性表示证明：1mb能由A:线性表示11122mmmkkbkkk则存在使得即 AX=b有解R(A)=R(A,b)定义 3：若向量组A 与 B 能相互表示则称向量组A 与 B 等价。若 B 的每一个向量都可以由A 表示，则称向量组B 能由 A 线性表示。线性表示的系数矩阵11:mLABBA令若 能由 线性表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页名师精编优秀教案1112212(1,2)
3、jjjjmjmmjkbkkkjLkm LijK=(k) 称为线性表示的系数矩阵即 B=AK 由此可得11:LmBATh2.能由线性表示R(A)=R(A,B),7( )( ,)BAKThR AR A B78证明： 能由 线性表示则存在使B=AK 即AX=B 有解, 由P可得推论：,()( )( ,)A BR AR BR A B等价23232311111210,21432301,( , )bBA b111例1 设证明：向量 b能由线性表示，并求出表达式。分析： 只要证 A=与的秩相等即可。231111103212100121( )(),2143000023010000rBR AR B1证明：b能由
4、线性表示32322121,10cxcccc可取任意值。2323,( 32)(21)xccc11从而得表示式 b=2232231321311011,1110213120,bbb b1111例2，b证明：向量组，和b等价。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页名师精编优秀教案1321313213110110211111102000001312000000( )2,( . )202( )( )( ,)rR AR A BBR AR BR A B证明： (A,B)=可见容易看出矩阵中有不等于 的 子阶故R(B)2, 又R(B)R
5、(A,B)=2,R(B)=2因此1113.:)LmLThBA设向量组能由线性表示，则 R(1()mR说明几个问题12m例3 设n维的向量组 A:构成的 nm 的矩阵12)mA=(，12)nneeen阶单位矩阵 E=(的列向量叫做维单位坐标向量。1 2( ).nneeeAR An证明： 维单位坐标向量组能由向量组线性表示证明：由定理2向量组12neee能由向量组A 线性表示的R(A)=R(A,E) 而 R(A,E) R(E)=n.又矩阵 (A,E) 含 n 行，知 R(A,E) n,合起来有R(A,E)=n, 因此 R(A)=R(A,E) 就有 R(A)=n. 说明几个问题1.nXEn m本例用
6、方程的语言可叙述为A有解R(A)=n.n mQn m2. 本例用矩阵的语言可叙述为，对矩阵A，存在矩阵,()R Amm使AQ=E()n mR Ann m对矩阵 A，存在矩阵 P, 使PA=En3.mn当时， P,Q就是 A的逆矩阵，上述结论可看作是逆矩阵概念的推广。5.本课小结：本节课的定义定理较多，要求同学们熟练掌握并学会应用6.作业： 108， 3 12121.:LmB bbbA向量组能由向量组线性表示有矩阵 K,使B=AK有解。2.以上的各定理之间的对应是向量组与矩阵的对应。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页
7、名师精编优秀教案第二节向量组的线性相关性一.教学重点 ：线性相关的定义，性判断向量组的线性相关性。二.教学目标 ：用矩阵的语言说明线性相关性，理解线性表示与线性相关的联系和区别，能够判断向量组的线性相关性1212112122mnnmmmmmmBAbTH5 1) 若向量组 A:线性相关，则 B:也线性相关，反之，若无关，则也无关。）个 维的向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关，特别地n+1个n维的向量一定线性相关。3）设向量组 A:线性无关。而向量组 B:线性相关，则向量 b必能由向量组 A线性表示。且表示式是唯一的。证明：略1234231234123例4. 设向量组线性相关 ,
8、向量组线性无关证明： 1）能由线性表示。 2）不能由线性表示 .4232312312341231234234235Th证明： 1）线性无关线性无关线性相关由能由线性表示 .2) 假设能由线性表示 . 又能由线性表示则能由线性表示，线性相关。矛盾。5.课堂小节用矩阵的语言说明线性相关性，理解线性表示与线性相关的联系和区别，能够判断向量组的线性相关性第三节向量组的秩一.教学重点 ：极大无关组的定义和它的等价定义，向量组的秩，矩阵的秩。二.教学目标 ：会求矩阵的秩和列（行）向量组的一个极大无关组。00.1:2rrAAAA111. 定义：设在向量组A中，选取 r 个向量满足）线性无关。）向量组中任意
9、r+1 个向量线性相关，称为 的一个最大无关组。说明几个问题1）向量组A 的秩，就是最大无关组所含向量的个数即R(A)=r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页名师精编优秀教案2)最大无关组不是唯一的123122313102011()27000,R102例1241503)2AA定义中的第条等价于中的任意向量都可由线性表示从而得最大无关组的等价定义。0,:2rrrAAA10112. 等价定义：设在向量组A中选取 r 个向量满足1）A线性无关） 中的任意向量都可由线性表示称为 的极大无关组。3.向量组的秩，矩阵的秩nn11
10、若A中向量的个数是有限个则它们可以构成矩阵（）很容易得到。Th6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩（行也一样）。,nnn例1. 全体n维向量构成的向量组记为R 求R的一个极大无关组及 R的秩。52)11nneThnen1n1解：E:e线性无关的，由知R 中的任意个向量都线性相关，由定义 ，e即是R的一个极大无关组秩为 n2341241234220230570xxxxxxxxxx1s例2. 设齐次线性方程组x的全体解向量构成的向量组为s, 求R解：1342341212103434230101232311570000xxxAxxx3142,xc xc令得通解121211223434231001xxcc
11、ccxx即x=1 1221212,2sccc cRR知s= x x=而不成比例线性无关由等价定义说明几个问题1) ( )(2ssR ARn nR是自由未知量的个数）自由未知量的个数 =未知量的个数 -R(A)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页名师精编优秀教案3.向量组的秩和矩阵的秩8561422ThThThp ThTh93由可以把上一节的推广过来与p等价,),),BAA BBBA BcRABBARRRRRRA BA（AA（例10 B能由A线性表示，且 R证明 与 等价。证明：能由 线性表示而R，所以R从而等价。12
12、112144622436979A2-1-1例11 设矩阵 A=求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组表示。24242424312244124124124124140111030001300000()30021246223679ARRkkkkkkkkkkkkkkk1111111-2解： A方法：取三个非零行的非零首元所在列111011（）线性无关。00101241124212441243252421121462203679433kkkkkkkkkkkkkkk11同理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6
13、 页，共 12 页名师精编优秀教案第四节线性方程组的解结构一.教学重点 ：用向量组线性相关的理论来讨论线性方程组的解二.教学目标 ：熟练掌握求齐次，非齐次线性方程组的通解的一般方法和步骤三.1)0nAX个未知数的齐次线性方程组有非零解R(A)n.2)( )( . )nnAXbR AR Abrn有唯一解个未知数的非齐次线性方程组有解有无限多解2.用线性相关的理论讨论线性方程组的解1122111 12211211112211110(1)() (1)0(2)0,(1)(2)nnTnnnnnnnnnxa xa xXxxAXa xa xa xxxxx11ij）齐次的a设A=(a若为的解。为的解向量。22
14、2211,(2)(2)()0(2),(2)00xxAXAAAkRk111111性质 1. 若x=为的解，则也是的解。证明：性质 2. 若x=为的解，则x=k也是的解。证明： A(k)=kA1220(2)ttAXkkx1结论：把的全体解所成的集合记为S，可用 S的极大无关组表示S,由性质 1.2= k这就是的通解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页名师精编优秀教案定义 1. 基础解系齐次线性方程组解集的极大无关组结论：要求通解只需求基础解系（不是唯一的）02( )AR A0002）齐次方程组 AX=0 基础解系的求法
15、1 对 作初等变换化为阶梯形（最好最简形）确定从而确定基础解系中的解向量个数n-R(A)3 确定自由未知量（个数 n-R(A) ）4 每次给一个自由未知量赋值1, 其余为0。7Thnrs设m n矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组 AX=0 的解集 S的秩， R234123412340253207730xxxxxxxxxxx1x例12的基础解系，通解。1343142234231077111154253201()2,()422777734000023231077775401547777AR AnR Axxxxxxxxxx解：及对应有及即得基12112234237754771001xxcc
16、xx12础解系，222,),)001,2(,)( ),()()( ).lliilsssbbABAbbAbilBbSRbbRR BR R ARnR AR Bnm nn l111例13. 设AB=0, 证明： R(A)+R(B)n.证明：记 B=(b(b即从而的列向量全是AX=0 的解设AX=0 的解集 S，则从而b即00L nBAXBXm n例14. 证明矩阵 A与的行向量组等价与同解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页名师精编优秀教案000()()()()(,),TTTTTTAAXBXXBAR AR BRR AR
17、BR ABBAB证明：显然AX=0与同解即同解BX=0列向量组等价。从而 A,B行向量组等价。结论： AX=0 与BX=0 可互相推它们同解。)( )00)000() ()00()00)( )TTTAR AAXA XAXX A AXAXAXAXAXAXAR ATTTTT51TT例15. 证明： R(A证明：设 A为m n的若AX=0AA(A若A例6P与A同解R(A2.讨论非齐次线性方程组1122111122(4)nnmmmnnnxaxaxbaxaxaxb11a它可以写成AX=b(5)*,(5)61212向量方程 (5) 的解就是 (4) 的解向量，它具有性质 3. 设x=x=是的解，则 x=是
18、导出组的解（ ）性质 4. 设x= 是方程 (5) 的解， x= 是方程 (6) 的解，则 x=是方程（ 5）的解。结论：（ 5）的通解， x=，其中是导出组的解，是特解。000求非齐次线性方程组的步骤1 化增广阵求特解2 求导出组的通解3 取和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页名师精编优秀教案234123412342424340311232121111011011111310012( )( )2,21123100000212102011222xxxxxxxxxxxR AR Bxxxxxx11*x例16求解方程组解
19、：故方程有解。x令得1243412341221234201011,01021111101002020101xxxxxxxxxxxccxx1对应的齐次线性方程组取及及基础解系，于是得通解12120( ,)120c cR5.课堂小节： 6.作业：第五节向量空间一.教学重点 ：构成向量空间的条件，向量组的一个极大无关组与向量空间的一个基有什么区别，联系？二.教学目标 ：判断集合是否为向量空间，坐标变换。三.教学过程1.定义 1 设 v 为 n 维向量的集合，如果V 非空且对加法及数乘封闭，那么V 就是向量空间。0012,Vs tRVstV符号语言：有020说明几个问题1 零向量存在V,-V,-V负向
20、量唯一能够作成空间的例子精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页名师精编优秀教案)nnxxR22例1. 集合V= X=(0,xx例2. 集合V= X AX=0不能作成空间的例子22,),1TnnnxxxRxx111例3.V= X=(xxx3,1,)TnnxxxR12例4.V= X=(xx11112.mmmmLXR定义记为由向量组所生成的向量空间。111111211112,msmmmsssbLXRLXRLL例5. 设向量组与向量组 b等价，记证明：证明：（略）121212定义3. 设向量空间 V及V，若VV，称V是V的子
21、空间。11114.rrrrViiiV定义设V为向量空间，如果r 个向量，且满足）线性无关）V中任一向量都可由线性表示那么向量就是称为向量空间的一个基，r 称为向量空间V的维数并称 V为r 维向量空间。0020说明几个问题1维向量空间只含有一个零向量。由定义除了零空间外，V都是无限集，基用来生成无限集，而向量组可以是有限的，极大无关组可以生成有限的。0113(),:ssVLa那么的任一极大无关组是 V的一个基。b:V的维数等于向量组 A的秩.15.,rrrVVXXX11定义中取定一个基那么 中任一向量可唯一的表示为数组称为在基下的坐标。232323222114212,()0312242Bb bR
22、b b1111例6.A=验证：是的一个基，并求在这个基下的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页名师精编优秀教案323231223312233112232233221100212010( )3,122001,()2211,2120122RR Abxxxbyyyxyb bxyxyA BE111121-111-1证明：要证是的一个基，只需要证其线性无关A=从而线性无关令则记B=AKK=BABA2323243410032301013420012132241333bb11212在基下坐标为， ，在基下坐标为，1，32222226.,nnnnnnnb bbRb bbTb bb111111定义设是中的两个基，存在矩阵T使（） ，称 T为（）到的过渡矩阵。23232323bb bbb b31111例7. 在R中取定 2个基，求用表示的表示式，并求向量在两个基中坐标之间的关系式。解: 略5.课堂小节：6.作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
