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1、精品资料欢迎下载第一次课函数一、知识要点1. 函数的定义：设A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f： AB为从集合A 到集合B 的一个函数，记作yf(x) ， x A，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|x A 叫做函数的值域. 2. 两个函数相等：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则，当函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也随之确定. 因此， 函数的定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个
2、函数的定义域和对应法则都分别相同时，称这两个函数相等 . 3. 求函数的定义域要从以下几个方面考虑：(1)分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数的真数大于零；(4) 指数函数与对数函数的底数必须大于零且不等于1；(5) 函数 yx0的定义域是x|x R 且 x0. 4. 函数的表示法：函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 5. 映射的定义：设A、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任何一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f：AB为从集合A 到集合B 的一个映射. 精选学习资料 - -
3、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页精品资料欢迎下载二、典例精析题型一：求函数的解析式【例 1】(1)已知 f(x) 2x 3，求 f(x 1)的表达式；(2)已知f(x 1) x2x1，求 f(x)的表达式；(3)已知 f(x) 2f( x) 3x2 5x 3，求 f(x) 的表达式. 【解析】(1)把 f(x) 中的 x 换成 x 1，得 f(x 1) 2(x 1) 3 2x 1. (2)设 x 1t，则 xt 1，代入得f(t) (t 1)2(t 1)1t2 t 1，所以f(x) x2 x 1. (3)由 f(x) 2f( x)3
4、x2 5x 3， x 换成 x，得f( x) 2f(x) 3x25x 3，解得f(x) x2 5x1. 【点拨】已知f(x) ，g(x) ，求复合函数fg(x) 的解析式，直接把f(x) 中的 x 换成 g(x) 即可，已知fg(x) ，求f(x) 的解析式，常常是设g(x) t，或者在fg(x) 中凑出g(x) ，再把g(x)换成 x. 【变式训练1】已知f(xx1)221xxx，求 f(x). 【解析】设uxx1，则x1u1 (u 1). 由 f(u) 1x121x 1 (u 1)(u 1)2u2 u 1. 所以 f(x) x2 x 1 (x 1). 题型二：求函数的定义域【例 2】(1)
5、求函数y229)2lg(xxx的定义域； (2)已知 f(x) 的定义域为 2，4，求 f(x2 3x)的定义域. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页精品资料欢迎下载【解析】(1)要使函数有意义，则只要090,222xxx即3,302xxx，或解得 3 x0 或 2 x 3. 故所求的定义域为( 3， 0) (2， 3). (2)依题意，只需2x2 3x4，解得 1x1 或 2x4. 故 f(x2 3x) 的定义域为 1，1 2， 4. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式
6、组求解. 对于抽象函数fg(x) 的定义域要把g(x) 当作 f(x) 中的 x 来对待 . 【变式训练2】已知f(x) 的定义域为(1， 1)，求函数F(x) f(1 x) f(x1)的定义域. 【解析】由1111,11xx得 1 x 2，所以F(x) 的定义域为(1， 2). 题型三：由实际问题给出的函数【例 3】用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图 )，若矩形底部长为2x，求此框架围成的面积y 与 x 的函数关系式，并指出其定义域 . 【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB 2x，设宽为a，则有 2x 2a x l，即
7、 a2l2x x，半圆的半径为x，所以 y22x+(2l2xx) 2x (22)x2 lx. 由实际意义知2l2x x 0，因为 x 0，解得0x2l. 即函数y (22)x2lx 的定义域是x|0 x2l. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页精品资料欢迎下载【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义. 如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x R， 但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约. 题型四：分段函数【例 4
8、】 已知函数.01,03,)(2xxxxxf，求 (1) f(1) f( 1)的值； (2) 若 f(a) 1，求 a 的值；(3)若 f(x) 2，求 x 的取值范围. 【解析】(1)由题意，得f(1) 2， f( 1) 2，所以f(1) f( 1) 4. (2)当 a 0 时， f(a) a 3 1，解得a 2；当 a0 时， f(a) a2 1 1，解得a 0. 所以 a 2 或 a 0. (3)当 x 0 时， f(x) x 3 2，解得1 x 0；当 x0 时， f(x) x2 1 2，解得x 1. 所以 x 的取值范围是1 x 0 或 x 1. 【点拨】分段函数中，x 在不同的范围
9、内取值时，其对应的函数关系式不同. 因此，分段函数往往需要分段处理. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页精品资料欢迎下载第二次课函数的单调性一、知识要点1. 增函数 (减函数 )的定义：设函数f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1， x2，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，则说函数f(x) 在区间D上是增函数. 当 x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，则说函数f(x) 在区间D 上是减函数. 如果函数y f(x) 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数
10、y f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性，区间D 叫做 y f(x) 的单调区间. 2. 判定函数为单调函数的常用方法：(1)图象法： 函数 f(x) 在区间D 上的图象呈上升趋势时为增函数，呈下降趋势时为减函数；(2)利用函数单调性定义判断函数的单调性：在给定的区间上任取两个自变量的值x1、x2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页精品资料欢迎下载作差比较f(x1)与 f(x2)的大小，从而得出函数的单调性；(3)复合函数单调性的判断：设y f(u) ，u g(x)(x a， b) 都是单调函数，则yfg(
11、x) 的单调性由“ 同增异减” 来确定；二、典例精析题型一：函数单调性的判断或证明【例 1】讨论函数f(x) 21xax(a21)在 ( 2， ) 上的单调性. 【解析】 设 x1，x2为区间 ( 2， ) 上的任意两个数且x1 x2，则 f(x1) f(x2)2111xax2122xax)2)(2()12)(2121xxaxx，因为x1 ( 2， ) ，x2 ( 2， ) ，且 x1x2，所以x1 x2 0， x1 2 0， x2 2 0，所以当a21时， 12a 0， f(x1)f(x2)，函数f(x) 在 (2， ) 上为减函数；当a21时， 1 2a0， f(x1) f(x2)，函数f
12、(x) 在( 2， ) 上是增函数 . 【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x1， x2在给定区间内的任意性. 另外，本题可以利用导数来判断. 【变式训练1】讨论函数f(x) ax2+bx+c 的单调性. 题型二：函数单调区间的求法【例 2】试求出下列函数的单调区间. (1)y |x 1|； (2)y x2 2|x 1|； (3)y 2342xx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页精品资料欢迎下载【解析】(1)y |x1|.1,1, 1, 1xxxx所以此函数的单调递增区间是(1， ) ，单调递减区间是 (
13、 ，1). (2)y x2 2|x 1|.1,22, 1,2222xxxxxx所以函数的单调递增区间是(1， ) ，单调递减区间是( ，1). (3)由于 t x2 4x 3 的单调递增区间是( ，2)，单调递减区间是(2， ) ，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是( ， 2)，单调递减区间是(2， ). 【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出. 题型三：函数单调性的应用【例 3】已知函数f(x) 的定义域为 1，1，且对于任意的x1， x2 1，1，当 x1x2时，都有2121)()(xxxfxf 0. (1) 试判断函数f(x) 在区间 1，1上是增函数还
14、是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式f(5x 1) f(6x2). 【解析】(1)当 x1， x2 1， 1，且x1 x2时，2121)()(xxxfxf，得 f(x1)f(x2)，所以函数f(x) 在区间 1， 1上是增函数. (2) 因为 f(x) 在 1， 1上是增函数. 所以，由 f(5x 1) f(6x2)知，22615, 1 6 1, 1 15 1xxxx2131,66 66,52 0xxxx或所以 0x31，所求不等式的解集为x|0 x31. 【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
15、总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页精品资料欢迎下载的错误是忽略函数的定义域. 【例 4】若 f(x) x2 2ax 3 与 g(x) 1xa在区间 1，2上都是减函数，求a的取值范围 . 【解析】若f(x) x2 2ax 3 在区间 1， 2上是减函数，则a1 ；若 g(x) 1xa在区间1， 2上是减函数，则a 0. 所以， a 的取值范围为0 a 1. 【点拨】二次函数的单调区间主要依据其开口方向和对称轴的位置来确定. 第三次课函数的奇偶性一、知识要点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页精品
16、资料欢迎下载1. 函数的奇偶性：对于函数f(x) ，如果对于定义域内任意一个x，都有 f( x) f(x)，那么函数f(x) 叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x，都有f( x) f(x) ，那么函数f(x) 叫做偶函数. 2. 奇 (偶 )函数的图象特征：(1) 奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 . 3. 函数的周期性：(1)对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x T) f(x) 成立，那么函数f(x) 就叫做周期函数，常数 T 叫做这个函数的周期；(2)对于一个周期函数f(x
17、) ，如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. 二、典例精析题型一：函数奇偶性的判断【例 1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x) (x1)xx11； (2)f(x) 22)1lg(22xx；(3)f(x) ；，)0()0(22xxxxxx(4)f(x) 23x+32x. 【解析】(1)由xx110 ，得定义域为 1， 1)，关于原点不对称，故f(x) 为非奇非偶函数. (2)由0220122xx，得定义域为( 1， 0) (0， 1)，因为f(x) 2)2()1lg(22xx=22)1lg(xx，f( x)22)()(1lgxx22)1lg(xx
18、 f(x) ，所以f(x) 为偶函数. (3)当 x 0 时， x0， f( x) ( x)2x (x2 x) f(x) ；当 x0 时， x 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页精品资料欢迎下载f( x) ( x)2 x x2x f(x). 所以对任意x ( ， 0) (0， ) ， 都有 f( x) f(x) ，故 f(x) 为奇函数. (4)由030322xx，得 x3或 x3，所以函数f(x) 的定义域为3，3，又因为对任意的x 3，3 ， x 3，3，且 f( x) f(x) f(x) 0，所以f(x)
19、 既是奇函数又是偶函数. 【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(x)与 f(x) 的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形. 题型二：由奇偶性的条件，求函数的解析式【例 2】若函数f(x) 12nxxmx是定义在(1，1)上的奇函数，求f(x) 的解析式 . 【解析】因为函数f(x) 12nxxmx是定义在(1， 1)上的奇函数，所以f(0) 0，从而得m0；又 f(21) f(21) 0，得 n 0. 所以 f(x) 12xx(1 x1). 【变式训练1】已知定义域为R 的函数f(x) abxx122是奇函数. 求 a， b 的值 . 【解析】因为f(
20、x) 是奇函数，所以f(0) 0，即21ab 0，得 b 1，所以f(x) 1221xxa. 又由 f(1) f( 1)，知1211421aa，得 a 2. 故 a2，b 1. 题型三：函数奇偶性的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页精品资料欢迎下载【例 3】设函数f(x) 的定义域为R，对于任意实数x，y 都有 f(x y) f(x) f(y) ，当 x 0时， f(x) 0 且 f(2) 6. (1)求证：函数f(x) 为奇函数；(2)求证：函数f(x) 在 R 上是增函数； (3)在区间 4， 4上，求f
21、(x) 的最值 . 【解析】 (1) 证明：令x y 0，得 f(0) f(0) f(0) ，所以f(0) 0；令 y x 有 f(0) f(x) f( x)，所以f( x) f(x) ，所以函数f(x) 为奇函数 . (2)证明：设x1，x2 R，且 x1 x2，则 f(x2) f(x1) f(x2) f(x1) f(x2 x1)，又 x 0 时，f(x) 0，所以f(x2) f(x1) f(x2 x1)0，即 f(x2) f(x1)，所以函数f(x) 在 R 上是增函数. (3)因为函数f(x) 在 R 上是增函数，所以f(x) 在区间 4， 4上也是增函数，所以函数f(x)的最大值为f(
22、4) ，最小值为f( 4). 因为 f(2) 6，所以f(4) f(2) f(2) 12，又 f(x) 为奇函数，所以f( 4) f(4) 12，故函数f(x) 在区间 4，4上的最大值为12，最小值为 12. 【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值. 【变式训练2】函数f(x) 的定义域为D x|x 0 ，且满足对任意x1、 x2 D，有 f(x1 x2)f(x1) f(x2). (1)求f(1) 的值； (2) 判断f(x) 的奇偶性并证明；(3)如果f(4) 1，f(3x 1) f(2x 6) 3 ，且 f(x) 在 (0， ) 上是增函数，求x 的取
23、值范围. 【解析】(1)令 x1 x2 1，有 f(1 1) f(1) f(1) ，解得f(1) 0. (2)令 x1x2 1，得 f( 1)0，令 x1 1，x2 x，有 f( x) f( 1)f(x) ，所以f(x) f(x) ，所以f(x) 为偶函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页精品资料欢迎下载(3)f(44) f(4) f(4) 2， f(16 4) f(16) f(4) 3. 所以f(3x 1)f(2x 6) 3 ，即f(3x 1)(2x 6) f(64). 因 为f(x) 在 (0 ， ) 上
24、 是 增 函 数 ， 所 以64 )62(130)62)(13(xxxx）（，或64 )62(130)62)(13(xxxx）（，5 37313xxx，或或,331Rxx，所以3 x5 或37x31或31 x 3. 故 x 的取值范围为x|3 x5或37x 31或31 x 3. 第四次课二次函数一、知识要点1. 二次函数的解析式：(1) 一般式： f(x) ax2 bx c(a 0) ；(2)顶点式： f(x) a(x h)2 k(a 0) ； (3)零点式： f(x) a(x x1)(x x2)(a 0 ，x1， x2是方程f(x) 0 的两个根). 2. 二次函数的图象特征：a0 时，二次
25、函数f(x) ax2 bx c 的图象是开口向上的抛物线； a 0 时，二次函数f(x) ax2 bx c 的图象是开口向下的抛物线. 二次函数图象的对称轴是直线abx2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页精品资料欢迎下载3. 二次函数的定义域和值域：二次函数f(x) ax2 bx c (a 0)的定义域为R， 当 a 0 时，其值域为,442abac；当 a 0 时，其值域为abac44,2. 4. 二次函数的单调性：设二次函数f(x) ax2 bx c (a 0)，当 a 0 时，f(x) 在ab2,上是减
26、函数，在,2ab上是增函数；当a 0 时， f(x) 在ab2,上是增函数，在,2ab上是减函数. 二、典例精析题型一：求二次函数的解析式【例 1】已知二次函数y f(x) 的图象的对称轴方程为x 2，在 y 轴上的截距为1，在 x轴上截得的线段长为22，求 f(x) 的解析式. 【解析】设f(x) ax2 bx c (a 0)，由已知有224,1)0(,222aacbfab,84, 1,422aabcab解得 a21， b=2， c 1，所以f(x) 21x2 2x 1. 【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x 轴相交，则两点间的距
27、离为|x1 x2|aacb42. 【变式训练1】若二次函数的图象经过点(0， 1)，对称轴为x 2，最小值是1，则它的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页精品资料欢迎下载解析式为？. 【解析】此题可选用一般式解决，但计算复杂. 对称轴为x2，最小值是1，可知其顶点为 (2， 1)，从而，可选用顶点式求解. 设二次函数的解析式为y a(x 2)2 1，将 (0，1)代入得1 4a 1，所以a21，所以所求的函数解析式为y21(x 2)2 1. 题型二：求二次函数的值域或最值【例 2】某商品进货单价为40 元，若销售价
28、为50 元，可卖出50 个，如果销售单价每涨1 元，销售量就减少1 个，为了获得最大利润，则此商品的最佳销售价应为多少？【解析】设最佳售价为(50 x)元，最大利润为y 元，则y (50 x)(50 x) (50 x) 40 x2 40x 500 (x 20)2900，当 x20 时， y 取得最大值，所以最佳销售价应为70 元 . 题型三：二次函数在方程、不等式中的综合应用【例 3】设函数f(x) ax2bx c (a 0)， x1 x2， f(x1) f(x2)，对于方程f(x) 21 f(x1)f(x2)，证明： (1)方程在区间(x1，x2)内必有一解；(2) 设方程在区间(x1，x2
29、)内的根为m. 若x1， m21， x2成等差数列，则ab2 m2. 【证明】 (1)令 g(x) f(x) 21 f(x1) f(x2)， 则 g(x1)g(x2)21 f(x1) f(x2) 21 f(x2) f(x1) 41 f(x1) f(x2)2 0，所以方程g(x) 0 在区间 (x1，x2)内必有一解. (2)依题意2m 1 x1x2，即 2m x1 x2 1，又 f(m) 21 f(x1) f(x2)，即 2(am2 bm c) a21x bx1ca22x bx2 c，整理得a(2m221x22x) b(2m x1 x2) 0，精选学习资料 - - - - - - - - -
30、名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页精品资料欢迎下载a(2m221x22x) b 0，ab2m2222212mxx. 【点拨】二次方程ax2 bx c 0 的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点对应二次函数的函数值的正负；(3) 相应二次函数的对称轴xab2与区间的位置关系. 【变式训练2】已知函数f(x) ax2 bx (a 0)满足条件f(x5)f(x 3)，且方程f(x) x 有等根 . (1)求 f(x) 的解析式；(2)是否存在实数m、 n (m n)，使 f(x) 的定义域和值域分别是 m ，n和 3m ，3n ？
31、若存在，求出m、 n 的值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)函数 f(x) 满足 f( x 5) f(x 3)，则函数f(x) 的图象关于直线x 1 对称，故ab2 1， 即 b 2a. 又方程f(x) x 有等根， 即 ax2 (b1)x 0 有等根， 所以 b 1，a21，所以f(x) 21x2 x. (2)因为 f(x) 21x2 x21(x 1)221在区间 m ， n上的值域为3m ， 3n， 则 3n21，n61，故 m n61，所以 f(x) 在 m，n上是增函数，所以 f(m) 3m，且 f(n) 3n，所以 m、n 是方程f(x) 3x 的两个不等实根，所以21x2 x
32、3x ，即 x2 4x 0， 解得 x 0 或 4，又 mn，所以m 4， n 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页精品资料欢迎下载第五次课指数与指数函数一、知识要点1. n 次方根的定义：若xn a，则称x 为 a 的 n 次方根 . 当 n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根. 2. 方根的性质：当n 为奇数时，nnaa；当 n 为偶数时，nnaa.0,0,aaaa3. 分数指数幂的意义：若a 0，
33、m，n 都是正整数，n 1，则nmanma，nmanma1；0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义. 4. 有理数指数幂的运算性质：ar asar+s (a 0)； ar as ars (a 0)； (ar)s ars (a 0)；(ab)r arbr (a， b 0). 5. 指数函数的概念：函数y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数，其中x 是自变量. 6. 指数函数的图象与性质a1 0 a 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页精品资料欢迎下载图象定义域R R 值域(0， )(0，
34、)函数值分布当 x 0 时 y 1，当 x 0 时 y 1，当 x 0 时 0 y 1 当 x 0 时 0 y 1，当 x 0 时 y 1，当 x 0 时 y 1 单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数二、典例精析题型一：指数及其运算【例 1】计算：(1) 2142133231)()1.0()4(baab； (2)(0. 027)312)71( (972)210)12(【解析】(1)原式23232323232110044bbaa251. (2)原式1)925()71()1()100027(21223113549310 45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先将底数化成相同. 题型二：指
35、数函数性质的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页精品资料欢迎下载【例 2】已知函数f(x) 1212xx，其中x R，(1)试判断函数f(x) 的奇偶性；(2) 证明： f(x)是区间 ( ， ) 上的增函数. 【解析】(1)因为函数f(x) 的定义域为x R，且 f( x)xxxx21211212 f(x) ，所以 f(x) 为 ( ， ) 上的奇函数. (2)证明：设x1， x2 R，且 x1 x2，f(x1) f(x2)12)(12(22121212122121221111xxxxxxxx 0，所以 f(
36、x) 是区间 ( ， ) 上的增函数. 【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1 还是小于 1，如果不能确定底数的范围，应分类讨论. 【变式训练1】已知a 0，且 a1 ，函数f(x) axax，其中x R.。 (1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)试判断f(x) 在区间 (， ) 上的单调性. 【解析】 (1) 因为函数f(x) 的定义域为x R，且 f( x)ax ax f(x) ，所以 f(x) 为 ( ， ) 上的奇函数. (2)当 a 1 时，设 x1， x2 R，且 x1 x2，f(x1)f(x2) (11xxaa) (22xxaa) (21xxaa
37、) (21xxaa)，其中，当a1， x1 x2时，1xa2xa，21xxaa，从而有f(x1) f(x2) 0，所以当a 1 时， f(x) 是区间 ( ， ) 上的单调递增函数；同理，当0 a 1 时，f(x) 是区间 ( ， ) 上的单调递减函数. 题型三：指数函数的综合应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页精品资料欢迎下载【例 3】 (1)求函数f(x) (21)x (32)x， x 0， 1的最小值与最大值；(2)求函数f(x) 4x 2x1 3， x 1，1的最小值与最大值. 【解析】(1)因为021
38、 1， 032 1，所以函数f(x) (21)x (32)x， x 0， 1是单调递减函数 . 所以，函数f(x) (21)x (32)x， x 0， 1 的最小值为67，最大值为2. (2)令 t2x，则 f(x) 4x 2x13 t22t 3，其中x 1，1，即 t 21，2，所以，函数 f(x) 4x 2x1 3， x 1， 1的最小值为417，最大值为11. 【点拨】对于形如f(x) a2x b ax c 的函数求最值，要注意换元，令t ax，化成二次函数后再在某区间上求最值. 【例 4】 (1)求函数y (31)522xx的单调区间； (2)设 0 a 1， 解关于x 的不等式： a
39、1322xx a522xx. 【解析】(1)因为函数yx2 2x 5 在区间 (， 1上单调递减，在区间 1， ) 上单调递增，又底数031 1，所以函数y (31)522xx在区间 ( ， 1上为增函数，在区间 1， ) 上为减函数. (2)因为0a1，所以yax在区间 (， ) 上为减函数，由1322xxa522xxa，得2x2 3x 1 x2 2x5，解得2 x 3，所以原不等式的解集为x|2 x 3. 【点拨】求函数y af(x)的单调区间，只需先求出函数f(x) 的单调区间，然后根据复合函数的单调性得知函数yaf(x)的单调区间. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
40、师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页精品资料欢迎下载作业一（函数及表示）一、选择题（共6 小题；共30 分）1. 已知集合，则的子集共有A. 个B. 个C. 个D. 个2. 有下列说法： 与表示同一个集合；由， ，组成的集合可表示为或；方程的所有解的集合可表示为；集合是有限集其中正确的说法是A. 只有和B. 只有和C. 只有D. 以上四种说法都不对3. 集合，且与的公共元素是，则的值是 ( ) A. B. C. D. 或4. 设是集合到集合的映射，如果，那么可能是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，
41、共 28 页精品资料欢迎下载A. B. 或C. D. 或5. 已知是一次函数，且满足，则等于A. B. C. D. 6. 已 知且， 则不 能 等于 ( ) A. B. C. D. 二、填空题（共2 小题；共10 分）7. 已知函数的定义域是， 且， 那么函数的定义域是8. ， 若表 示 集 合中 元 素 的 个 数 ， 则，三、解答题（共3 小题；共39 分）9. 已知全集，为的两个子集， 且满足，求，10. 已知函数，求与的解析式11. 已知， 求和的值； 求和的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页精品资
42、料欢迎下载答案第一部分1. B 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 第二部分7. 8. ；第三部分9. 如图所示，由可知，中没有元素，；由可知，中没有元素，；中有元素，；由可知，中有元素，中没有元素， 剩下的元素，不在，三部分中，则，所以，10. 当时，；当时，所以当，即时，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页精品资料欢迎下载当，即时，所以11. （1） 由已知，所以，（ 2） 当时，故；当时，故；所以当或时，故；当时，故，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
43、- - - - -第 23 页，共 28 页精品资料欢迎下载作业二（函数的性质）一、选择题（共6 小题；共30 分）1. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 ( ) A. B. C. D. 2. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 ( ) A. B. C. D. 3. 若函数和都是奇函数， 且在区间上有最大值，则在上A. 有最小值B. 有最大值C. 有最小值D. 有最大值4. 若与在区间上都是减函数，则的值范围是 ( ) A. B. C. D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页精品资料欢迎下载
44、5. 已知函数是上的偶函数，是上的奇函数，且，若，则的值为 ( ) A. B. C. D. 6. 用表示两数中的最小值 若函数的图象关于直线对称，则的值为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题（共2 小题；共10 分）7. 已知，均为正数，且，则的最小值为8. 已 知是 定 义 在上 的 函 数 ， 且 对 于 任 意 的都 有，若，则的值为三、解答题（共3 小题；共39 分）9. （1）求函数的最大值； 求函数在区间上的最大值与最小值10. 已知函数的定义域为，且满足 求证：是周期函数； 若为奇函数，且当时，求在上使的所有的个数11. 是定义在上的奇函数，当时， 求在上的解析式； 证明
45、在上是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 28 页精品资料欢迎下载答案第一部分1. A 2. C 3. C 4. D 5. A 6. D 第二部分7. 8. 第三部分9. （1）的图象如图所示，当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最大值（2） 任取，则，因为，所以，所以所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 28 页精品资料欢迎下载所以在区间上是单调减函数所以，10. （1） 因为，所以，所以是以为周期的周期函数（ 2） 当时，若，则，因为是奇函数，所以，所以当时，即当时，故若，则，因为是以为周期的周期函数，所以，所以当时，即所以在上，令，解得因为是以为周期的周期函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 28 页精品资料欢迎下载所以使的所有令，则所以，所以在上共有个使11. （1） 令，则，因为当时，所以当时，又因为是定义在 R 上的奇函数，所以即，（ 2） 设任意的，且，则因为，所以所以，所以即，故函数在上是单调减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 28 页
