石大概率PPT演示课件

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1、课 前 复 习一、数学期望（连续型情形）（连续型情形）设设 X 为连续型随机变量，其分布密度为为连续型随机变量，其分布密度为 f( (x) )。如果如果 绝对收敛，则称其为绝对收敛，则称其为 X 的的数数 学期望学期望，记为，记为 EX。即。即（离散型情形）（离散型情形） 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为 如果如果 绝对收敛，绝对收敛，则称其为则称其为 X 的的数学期望数学期望或或均值均值，记为，记为EX。即即 1.练 习求几何分布的数学期望：求几何分布的数学期望：解解2. 例例4 4 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此

2、要抽验抽验 N 个人的血，可以用两种方法进行：个人的血，可以用两种方法进行：(1)(1)将每个人的血分别去验，这就需要将每个人的血分别去验，这就需要 N 次；次；(2)(2)按按 k 个个人一组进行分组，把从人一组进行分组，把从 k 个人抽来的血混在一起进行检个人抽来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明 k 个人的血都个人的血都呈阴性反应，这样这呈阴性反应，这样这 k 个人的血就只需化验一次，若呈个人的血就只需化验一次，若呈阳性，则再对阳性，则再对 k 个人的血液分别进行化验，这样，个人的血液分别进行化验，这样，k 个个人的血总共要化验人的

3、血总共要化验 k+1 +1 次，假设每个人化验呈阳性的概次，假设每个人化验呈阳性的概率为率为 p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当 p 较小时，选取适当的较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验的按第二种方法可以减少化验的次数。并说明次数。并说明 k 取什么值时最适宜。取什么值时最适宜。3.解解 各人的呈阴性反应的概率为各人的呈阴性反应的概率为 q=1-p，因而因而 k k个人的混合血呈阴性反应的概率为：个人的混合血呈阴性反应的概率为：qk. .k k个人的混合血呈阳性反应的概率为：个人的混合血呈阳性反应的概率为：1-1-qk. .以以k个

4、人为一组时，组内个人为一组时，组内每个人每个人化验的次数为化验的次数为X，则，则X 的分布律为：的分布律为：X的数学期望为的数学期望为N人平均需化验的次数为人平均需化验的次数为4.故只需选取适当的故只需选取适当的k使使则则N人平均需化验的次数人平均需化验的次数 N当当p固定时可选取固定时可选取k使使且取到最小值，且取到最小值，这时就得到最好的分组方法。这时就得到最好的分组方法。 如在如在 p=0.1(=0.1(此时此时q = 0.9),= 0.9),当当 k=4 =4 时，时，L L取到最小值。取到最小值。即即4 4人为一组最好。若人为一组最好。若N=1000=1000，按第二种方法只需化验按

5、第二种方法只需化验5.例例5.5.设随机变量设随机变量 X 的分布律如下，问的分布律如下，问EX是否存在？是否存在？ 解：因为解：因为所以所以 X 的数学期望不存在。的数学期望不存在。例例6.6.求均匀分布求均匀分布U( (a, ,b) ) 的数学期望。的数学期望。解：均匀分布的分布密度为解：均匀分布的分布密度为故故6.故故由此可知正态分布中的第一个参数由此可知正态分布中的第一个参数 正是它的数学期望。正是它的数学期望。例例6.6.求正态分布求正态分布 的数学期望。的数学期望。 解：解： 的分布密度为的分布密度为7.二二. .随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 (2)(2)X 是连续

6、型随机变量且概率密度为是连续型随机变量且概率密度为 f( (x) )。 如果如果 绝对收敛，则有绝对收敛，则有1.一维情形一维情形注：定理证明略，此结论表明，在求注：定理证明略，此结论表明，在求 E(Y) 时，不必先算时，不必先算 出出 Y 的分布，只需利用的分布，只需利用 X 的分布即可。的分布即可。定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X 函数，函数，Y=g(X) , （g是连续函数）是连续函数） (1)(1)X 是离散型随机变量且分布律为是离散型随机变量且分布律为 如果如果 绝对收敛，则有绝对收敛，则有8.定理定理 1)1)设设( (X，Y) )为二维离散型随机向量，其分布律为为二维离散型

7、随机向量，其分布律为Z 是是 X, ,Y 的函数的函数 ，则，则2)2)设设( (X, ,Y) )为二维连续型随机向量，其分布密度为为二维连续型随机向量，其分布密度为 ，Z是是 X，Y 的函数的函数 ，则，则1.二维情形二维情形9.解解：例例7.7.已知离散型随机变量已知离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为求求 。10.例例6.6.设设 Xb(n, p), 求求EY . 解解 由于由于故故于是，由随机变量的函数求期望的公式，得于是，由随机变量的函数求期望的公式，得11.例例9 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品 的产量，他们估计出售

8、一件产品可获利的产量，他们估计出售一件产品可获利 m元，而积压一元，而积压一 件产品导致件产品导致 n 元的损失，再者他们预测销售量元的损失，再者他们预测销售量Y（件）件） 服从指数分布，其概率密度为服从指数分布，其概率密度为问要获得利润的数学期望最大，应生产多少产品？问要获得利润的数学期望最大，应生产多少产品？解解 设要生产设要生产 x 件产品，则获利件产品，则获利 Q 是是 x 的函数。的函数。可见可见 Q 是是 r.v. Y 的函数的函数,其数学期望为其数学期望为12.13.例例1010设（设（X，Y）的分布密度为的分布密度为求求 。解：解：14.三数学期望的性质三数学期望的性质(1)(

9、1)设设 C 为常数，则为常数，则 。(3)(3)设设 X、Y为两个随机变量，则为两个随机变量，则(4)(4)当随机变量当随机变量 X 与与 Y 相互独立时，相互独立时， 。注注：对有限个相互独立随机变量之积的情况亦成立。：对有限个相互独立随机变量之积的情况亦成立。(2)(2)设设X 随机变量设随机变量设 C 为常数，则为常数，则15.例例11. 求二项分布的数学期望。求二项分布的数学期望。解：本题利用性质来求数学期望。解：本题利用性质来求数学期望。设设则则 服从两点分布，故服从两点分布，故 。设设，则，则故故本题中本题中随机变量分解的方法随机变量分解的方法是解题中常用的一种方法。是解题中常用

10、的一种方法。16.1 1）两点分布：）两点分布：常见分布的数学期望。常见分布的数学期望。3 3）泊松分布：）泊松分布：5 5）指数分布：）指数分布：4 4）均匀分布：）均匀分布：2 2）二项分布：）二项分布：6 6）正态分布：）正态分布：另柯西分布的期望不存在。另柯西分布的期望不存在。17.例例12 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出, 旅客有旅客有10个个车站可以下车车站可以下车, 如到达一个车站如到达一个车站,没有旅客下车没有旅客下车, 就不停车就不停车,以以 X 表示停车的次数表示停车的次数,求求 EX (设每位旅客是否下车相互独设每位旅客是否下车相互独

11、立立)。解：设解：设则则 同分布同分布, ,共同的分布为共同的分布为18.解：由于解：由于例例13 13 设随机变量设随机变量 X 、Y相互独立，且它们的分布密度分相互独立，且它们的分布密度分 别为别为求求 ， 。又由又由X 、Y 相互独立，相互独立，19.于是于是 例例14.14.设设 X, Y 相互独立，同服从正态分布相互独立，同服从正态分布 求求E| |X-Y| |。解：由独立性，知解：由独立性，知 X, Y 的联合密度为的联合密度为20.解法解法2 2 由正态分布的可加性知由正态分布的可加性知例例14.14.设设 X, Y 相互独立，同服从正态分布相互独立，同服从正态分布 求求E| |

12、X-Y| |。21.引例引例. .有甲、乙两名学生，考试成绩分布如下表有甲、乙两名学生，考试成绩分布如下表试问哪一位学生成绩较稳定？试问哪一位学生成绩较稳定？又若丙的成绩分布如下又若丙的成绩分布如下, 问谁的成绩最稳定问谁的成绩最稳定? 由上可见由上可见,要描述一个要描述一个r.v.,仅仅用均值还不够用均值还不够,往往需要考往往需要考虑虑r.v.取值的波动情况取值的波动情况. r.v.取值的波动情况不仅与取值的波动情况不仅与r.v.的取的取值有关值有关,也与取值的概率有关也与取值的概率有关.第二节第二节 方方 差差23.1.方差的定义方差的定义注注 方差描述了方差描述了r.v.r.v.取值偏离

13、其数学期望的变化情况。取值偏离其数学期望的变化情况。 若若 X 取值越集中，则取值越集中，则 DX 越小；反之，则越小；反之，则 DX 越大。越大。在引例中在引例中可见学生丙成绩最为稳定。可见学生丙成绩最为稳定。 设设 X 为随机变量，若为随机变量，若 存在，则称其为存在，则称其为 X 的的方差方差，记为，记为DX 。即。即称称 为为标准差标准差或或均方差均方差，记为，记为 。24.注注 随机变量随机变量 X 的方差的方差 DX 其实就是一个随机变量的函其实就是一个随机变量的函 数数 的数学期望，因此要求方差只的数学期望，因此要求方差只 需求需求 的数学期望即可。的数学期望即可。注注 任何一个

14、随机变量的方差都是非负的，即任何一个随机变量的方差都是非负的，即 。注注 若若 X 为离散型随机变量，则为离散型随机变量，则 若若 X 为连续型随机变量，则为连续型随机变量，则 定理（方差计算公式的常用形式）定理（方差计算公式的常用形式）证明：证明：25.3.3.几种常见分布的方差几种常见分布的方差 例例1 (11 (1) ) 两点分布两点分布; (2) ; (2) 泊松分布。泊松分布。解解：两点分布的分布律为：两点分布的分布律为解解2)2)泊松分布的分布律为泊松分布的分布律为26. 由此可知，对于服从泊松分布的随机变量，它的数学期由此可知，对于服从泊松分布的随机变量，它的数学期望与方差相等，

15、都等于参数望与方差相等，都等于参数 。因为泊松分布只含一个参。因为泊松分布只含一个参数，因而只要知道它的数学期望或方差，就能完全确定它数，因而只要知道它的数学期望或方差，就能完全确定它的分布了。的分布了。例例2.2.求均匀分布的方差。求均匀分布的方差。解解：均匀分布的分布密度为：均匀分布的分布密度为27.例例3.3.求指数分布求指数分布 的期望和方差。的期望和方差。解解 的密度为的密度为两边关于两边关于 求导求导两边关于两边关于 求导求导再由再由28.2.2.方差的性质方差的性质 设设 为常数，则为常数，则 。 设设 为常数为常数，X 为随机变量，则为随机变量，则 。证证（因为（因为 ） （3

16、 3）设）设X为随机变量，为随机变量，c 为常数，且为常数，且 则则注注: :此性质称为此性质称为方差的最小性方差的最小性. .29.（4 4）设）设X、Y 为两个为两个r.v.r.v.，则则 注注：对有限个相互独立随机变量之和：对有限个相互独立随机变量之和, ,有类似的结论。有类似的结论。（5）设）设 X 为随机变量，则为随机变量，则 ，C 为为 一常数。一常数。特别若特别若X、Y 为相互独立，则为相互独立，则 30.注注：称：称 为为 X 的的标准化随机变量标准化随机变量。解：解：例例4.4.设随机变量设随机变量 X 的数学期望为的数学期望为EX，方差为方差为DX,31.又因为又因为 相互

17、独立，所以相互独立，所以例例5. 求二项分布求二项分布 b(n, p) 方差。方差。解：解：则则 服从两点分布，故服从两点分布，故 ， 。设设，则，则前已求得前已求得设设32.故故 由此可知正态分布的第二个参数由此可知正态分布的第二个参数 恰好是它的方差。因恰好是它的方差。因 而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定。而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定。特别地，特别地，对于标准正态分布，其均值为对于标准正态分布，其均值为0 0，方差为，方差为1 1。例例6.6.求正态分布求正态分布 的方差。的方差。解解： 的密度为的密度为33.五五. .几种常用分布随机变量的期望和方差几种常用分布随机变量的期望和方差34.例例7 7 设随机变量设随机变量U U在区间在区间-2,2-2,2上服从均匀分布，随机上服从均匀分布，随机 变量变量解（解（1 1）先求）先求X X和和Y Y的联合概率分布的联合概率分布 35.例例7 7 设随机变量设随机变量U U在区间在区间-2,2-2,2上服从均匀分布，随机上服从均匀分布，随机 变量变量（2 2）X+Y和（和（X+Y) )2 2 的分布分别为的分布分别为 36.作作 业业教材教材P98 第第2题、第题、第3题、题、 第第6题、第题、第10题题37.