《2022年平面向量题型归纳》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年平面向量题型归纳（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面向量题型归纳一向量有关概念： 【任何时候写向量时都要带箭头】1向量的概念 ：既有大小又有方向的量，记作：ABuu u r或ar。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。例：已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量ABuuu r按向量ar（ 1,3）平移后得到的向量是2.向量的模 ：向量的大小（或长度），记作：|ABuu u r或|ar。3零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0，注意 零向量的方向是任意的；4单位向量 ：单位向量 ：长度为1 的向量。若er是单位向量，则| | 1er。(与ABuuu r共线的单位向量是|
2、ABABuuu ruuu r)；5相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！ （因为有0r)；三点ABC、 、共线AB ACu uu ruu u r、共线；如图，在平行四边形ABCD中， 下列结论中正确的是（）A.ABCDuuu ruuu rB.ABADBDuu u ru uu
3、 ruuu rC.ADABACuuu ruuu ruuu rD.ADBC0uuu ruuu r7相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a、ABBAuuu ruu u r。例：下列命题： （1）若abrr，则abrr。 （2）若,ab bcrr rr，则acrr。 （6）若/ , /ab bcrr rr，则/acrr。 （3）若ABDCu uu ruuur，则ABCD是平行四边形。 （4）若ABCD是平行四边形，则ABDCuuu ruuu r。其中正确的是_题型 1、基本概念1：给出下列命题：若|ar| |br|，则ar=br；向量可以比较大小；方向不相同的两个向量一定不
4、平行；若ar=br，br=cr，则ar=cr；若ar/br，br/cr，则ar/cr；00arr；00ar；其中正确的序号是。2、基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是ABCDuu u ruu u r。（5）若ABCDu uu ruu u r，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。BDCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 1
5、6 页（7）若ar与br共线，br与cr共线，则ar与cr共线。（8）若mambrr，则abrr。（9）若manarr，则mn。（10）若ar与br不共线，则ar与br都不是零向量。（11）若| |a babr rrr，则/ /abrr。（ 12）若| |ababrrrr，则abrr。二、向量加减运算8.三角形法则：ABBCACu uu ruuu ruu u r；ABBCCDDEAEuuu ruuu ruuu ruuu ruu u r；ABACCBuu u ruuu ruu u r（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a br r为临边的平行四边形的两条对角线分别为abrr，abrr。题型 2
6、.向量的加减运算1、化简()()ABMBBOBCOMu uu ruuu ruuu ruuu ruuuu r。2、已知| 5OAu uu r,| 3OBu uu r,则|ABuuu r的最大值和最小值分别为、。3、在平行四边形ABCD中，若ABADABADuuu ruuu ruu u ruuu r，则必有( ) A. 0ADuuu rrB. 00ABADuuu rruuu rr或C. ABCD是矩形D. ABCD是正方形题型 3.向量的数乘运算1、计算：（1）3()2()ababrrrr（ 2）2(253 )3( 232 )abcabcrrrrrr题型 4.作图法求向量的和1、已知向量, a b
7、r r，如下图，请做出向量132abrr和322abrr。arbr题型 5.根据图形由已知向量求未知向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页1、已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB ACuuu r uuu r，表示ADuuu r。2、在平行四边形ABCD中，已知,ACa BDbu uu ru uu rrr，求ABADu uu ruuu r和。题型 6.向量的坐标运算1、已知(1 , 4),( 3,8)abrr，则132abrr。练习：若物体受三个力1(1,2)Fr,2( 2,3)Fr,3( 1, 4)Fr,则
8、合力的坐标为。2、已知( 3, 5)PQu uu r，(3,7)P，则点Q的坐标是。3、.已知( 3,4)ar，(5,2)br，求abrr，abrr，32abrr。2、已知(1,2),(3,2)AB,向量(2,32)axxyr与ABuuu r相等，求,x y的值。5、已知O是坐标原点，(2,1),( 4,8)AB，且30ABBCuu u ruuu rr，求OCuuu r的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有
9、一对实数1、2，使 a=1e12e2。基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型 7.判断两个向量能否作为一组基底1、已知12,e eu r u u r是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212eeeeu ru u ru ru u r和B.1221326eeeeu ru u ru u ru r和4C.122133eeeeu ru u ru u ru r和D.221eeeu u ru u ru r和练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（）(A)2,1(),0,0(21ee(B) )7,5(),2,1(21ee(C) )10,6(),5,3(21ee(D) )43,
10、21(),3,2(21ee2、.已知(3,4)ar，能与ar构成基底的是（）A.3 4(,)5 5B.4 3(,)5 5C.34(,)55D.4( 1,)33、知向量e1、e2不共线，实数 (3x-4y)e1 (2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则 xy 的值等于4、设21,ee是两个不共线的向量，2121212,3,2eeCDeeCBekeAB，若A、B、D 三点共线，求k 的值 .5、平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3,1),B(-1,3),若点 C(x, y)满足OCuuur=OAuuu r+OBuuu r，其中 , R 且 + =1，则 x, y 所满足的关系式为（
11、）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 Dx+2y-5=0四平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAa OBbuuu rr uu u rr，AOB0称为向量a，b的夹角，当0 时，a，b同向，当时，a，b反向，当2时，a，b垂直。实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1, 2aarr当0 时，a的方向与a的方向相同， 当0；当 P 点在线段P1P2的延长线上时1；当 P 点在线段P2P1的延长线上时10；例 1、若点P分ABuuu r所成的比为34，则A分BPuuu r所成的比为 _3线段的定比
12、分点公式：设111(,)P x y、222(,)Pxy，( , )P x y分有向线段12PPuuu u r所成的比为， 则121211xxxyyy， 特别地，当1 时， 就得到线段P1P2的中点公式121222xxxyyy。题型 17、定比分点2、若 M（ -3，-2） ，N（6，-1） ，且1MPMN3，则点 P的坐标为 _3、已知( ,0),(3,2)A aBa，直线12yax与线段AB交于M，且2AMMBuuuu ruuu r，则 a 等于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页七、平移公式：如果点( , )P
13、 x y按向量,ah kr平移至(,)P x y，则xxhyyk；曲线( , )0f x y按向量,ah kr平移得曲线(,)0f xh yk.注意 ： （1） 函数按向量平移与平常 “ 左加右减 ” 有何联系？ （2）向量平移具有坐标不变性，题型 18、平移1、按向量ar把(2, 3)平移到(1, 2)，则按向量ar把点( 7,2)平移到点 _2、函数xy2sin的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是12cos xy，则a_八、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）| | |abababrrrrrr，特别地，当a brr、同向或有0r| |
14、 |ababrrrr| |ababrrrr；当a brr、反向或有0r| |ababrrrr| |ababrrrr；当a brr、不共线| | |abababrrrrrr(这些和实数比较类似).（ 3 ） 在ABC中 ， 若112233,A x yB xyC x y， 则 其 重 心 的 坐 标 为123123,33xxxyyyG。如1、若 ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4） 、 （-1，-1） ，则 ABC 的重心的坐标为_1()3PGPAPBPCuuu ruu u ruuu ruuu rG为ABC的重心，特别地0PAPBPCPuu u ru uu ru uu rr为AB
15、C的重心；PA PBPB PCPC PAPuu u r u uu ru uu r uuu ruu u ru u u r为ABC的垂心；向量()(0)|ACABABACuuu ru uu ru uu ruuu r所在直线过ABC的内心 (是BAC的角平分线所在直线)；|0AB PCBC PACA PBPu uu r uuu ru uu r uu u ruu u ruu u rrABC的内心；（3）若 P 分有向线段12PPuuu u r所成的比为，点M为平面内的任一点，则121MPMPMPuuu u ruuuu ru uu r，特别地P为12PP的中点122MPMPMPuuu u ruuuu r
16、uuu r；（4）向量PA PB PCuu u ruuu ruuu r、中三终点ABC、 、共线存在实数、使得PAPBPCu u u ruu u ru uu r且1.如2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1 , 3(A,)3, 1(B,若点C满足OCOBOA21,其中R21,且121,则点C的轨迹是 _题型 19、判断多边形的形状1.若3ABeuu u rr，5CDeuuu rr，且| |ADBCu uu ruu u r,则四边形的形状是。2.已知(1,0)A，(4,3)B，(2,4)C，(0,2)D，证明四边形ABCD是梯形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
17、纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页3.已知( 2,1)A，(6,3)B，(0,5)C，求证：ABC是直角三角形。4、在 ABC 中，若0CBABBABA，则 ABC的形状为（）A等腰三角形B等边三角形C等腰直角三角形D直角三角形5、在平面直角坐标系内，( 1,8),( 4,1),(1,3)OAOBOCu u u ruuu ruuu r,求证：ABC是等腰直角三角形。6、平面四边形ABCD中，aAB，bBC，cCD，dDA，且addccbba，判断四边形ABCD的形状题型 20：三角形四心1、已知ABC的三个顶点A、B、C 及ABC所在平面内的一点P，若0PAPBPCu
18、u u vuuu vuuu vv则点 P是ABC 的（）A重心B垂心C内心D外心2. 已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOB OBOC OCOAuu u r uuuruuur uuuruuur uu u r,则O是三角形ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（ D）垂心3、 已知点O是三角形所在平面上一点，若222OAOBOCu uu ruu u ru uu r， 则O是三角形ABC的 （）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心练习、已知O， N， P 在所在平面内，且，且，则点 O， N， P 依次是的（）（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心4、
19、在平面内有ABC 和点 O，若()()0ABOAOBACOCOAuu ruu ruuruuu ruu u ruu r，则点 O 是ABC 的A重心B垂心C内心D外心ABC,0OAOBOCNANBNCPAPBPBPCPCPA?ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页5、 已 知 点O是 平 面上 一个 定 点 ，A、B、C是 平 面 内不 共 线 三点 ， 动点P满 足()OPOAABACu uu ruu u ruuu ru uu r,R，则动点P一定通过ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心6、 已
20、知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOAuuu ruuu r+|ABACABACu uu ru uu ru uu ru uu r,R，则动点P一定通过ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心7、 已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOAuuu ruuu r+|cos|cosABACABBACCuuu ruuu ru uu ruuu r,R，则动点P一定通过ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心8 、 已 知O平 面 上 一 个 定 点 ，A、B、C是 平 面 内 不 共 线 三 点 ， 动 点P满 足2
21、OBOCOPuuu ruuu ru uu r+|cos|cosABACABBACCuuu ruuu ruuu ru uu r,R，则动点P一定通过ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心题型 21.平面向量与三角函数结合题1、已知向量(2sin,cos)42xxmu r，(cos,3)4xnr，设函数( )f xm nu rr求函数( )f x 的解析式（2）求( )f x 的最小正周期；（3）若0x，求( )fx 的最大值和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页练习：已知向),cos,sin3(x
22、mxa),cos,(cosxmxb且baxf?)(（1）求函数)(xf的解析式；（2）当3,6x时，)(xf的最小值是4，求此时函数)(xf的最大值，并求出相应的x的值练习 2、 .已知向量)cos,(sinAAm, )2, 1 (n，且0?nm求Atan的值（2）求函数)(sintan2cos)(RxxAxxf的值域2、 已知322，A、 B、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为(3,0)A、(0,3)B、(cos,sin)C。(I)若| |ACBCu uu ruuu r，求角的值；(II) 当1AC BCuuu r uuu r时，求22sinsin(2)1tan的值。精选学习资料 -
23、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页.cos,20,1010)sin()2(;cossin120)cos, 1(),2,(sin3的值求若的值和）求（），（相互垂直，其中、已知平面向量ba.)(sintan2cos)()2( ;tan) 1(0.),2, 1(),cos,(sin4的值域求函数的值求且、已知向量RxxAxxfAnmnAAm5、已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期；（）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.(cossin, sin)xxxa(cossin, 2 3 cos)
24、xxxb( )f xa b()xRx1(, 1)2( )f x( )yf x(,0)4( )f x30,5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点 ,A,B,C 三点满足 OCuuu r=1OA3uuu r+2OB3u uu r.(1)求证 :A,B,C 三点共线 ;(2)求|AC |CB |uuu ruu u r的值 ;(3)已知 A(1,cos x),B(1+ cos x,cos x),x 0,2,f(x)= OAuu u r OCuuu r-22m3|ABu uu r|的最小值为 -32,求实数 m 的值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
