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1、学习必备欢迎下载数列专题 数列与不等式数列与不等式数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题，对于这种问题， 在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养【示例 1】?(2011浙江)已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项 a1为 a(aR)，且1a1，1a2，1a4成等比数列(1)求数列 an的通项公式； (2)对 nN*，试比较1a21a221a231a2n与1a1的大小解(1)设等差数列 an 的公
2、差为 d，由题意可知1a221a11a4， 即(a1d)2a1(a13d)，从而 a1dd2. 因为 d0，所以 da1a.故通项公式 anna. (2)记 Tn1a21a221a2n，因为 a2n2na，所以 Tn1a1212212n1a12112n1121a112n，从而，当 a0 时，Tn1a1；当 a0 时，Tn1a1. 本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力【训练】 已知数列 an 的各项均为正数， Sn为其前 n 项和，对于任意的 nN*满足关系式 2Sn3an3. (1)求数列 an的通项公式； (2)设数列 b
3、n 的通项公式是 bn1log3an log3an1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正数n，总有 Tn1. (1)解由已知得2Sn3an3，2Sn13an13(n2)故 2(SnSn1)2an3an3an1，即 an3an1(n2)故数列 an 为等比数列，且公比q3. 又当 n1 时，2a13a13，a13，an3n. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载(2)证明bn1n n11n1n1. Tnb1b2 bn 11212131n1n111n11. 数列综合以等差数列、等比数列为载体，考查函数
4、与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大【示例 2】?(2011 天津)已知数列 an与 bn满足 bn1anbnan1(2)n1，bn3 1n12，nN*，且 a12. (1)求 a2，a3的值；(2)设 cna2n1a2n1，nN*，证明 cn是等比数列；(3)设 Sn为 an的前 n 项和，证明S1a1S2a2S2n1a2n1S2na2nn13(nN*)(1)解由 bn3 1n12，nN*，可得 bn2，n为奇数，1，n为偶数 .又 bn1anbnan1(2)n1，当 n1 时，a12a21，由 a12，可得 a232；当
5、 n2 时，2a2a35，可得 a38. (2)证明对任意 nN*，a2n12a2n22n11，2a2na2n122n1.，得 a2n1a2n1322n1，即 cn322n1，于是cn1cn4. 所以 cn 是等比数列(3)证明a12，由(2)知，当 kN*且 k2 时，a2k1a1(a3a1)(a5a3)(a7a5) (a2k1a2k3)23(22325 22k3)232 14k11422k1，故对任意 kN*，a2k122k1.由得 22k12a2k22k11，所以 a2k1222k1，kN*，因此， S2k(a1a2)(a3a4) (a2k1a2k)k2. 于是， S2k1S2ka2kk
6、1222k1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载故S2k1a2k1S2ka2kk1222k122k1k21222k1k122k22kk22k1114kk4k4k1. 所以，对任意 nN*. S1a1S2a2 S2n1a2n1S2na2nS1a1S2a2S3a3S4a4 S2n1a2n1S2na2n1141121142242421 114nn4n4n1 n 14112142242421 14nn4n4n1n14112n13. 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力
7、、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大在数列na中，12a，1431nnaan，n*N（）证明数列nan是等比数列；（）求数列na的前n项和nS；（）证明不等式14nnSS，对任意n*N皆成立（）证明：由题设1431nnaan，得1(1)4()nnanan，n*N又111a，所以数列nan是首项为1，且公比为4的等比数列（）解：由（）可知14nnan，于是数列na的通项公式为14nnan所以数列na的前n项和41(1)32nnn nS（）证明：对任意的n*N，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学
8、习必备欢迎下载1141(1)(2)41(1)443232nnnnnnn nSS21(34)02nn所以不等式14nnSS，对任意n*N皆成立2. 设数列na的前n项和为nS，)1(2,11nnSaann。（1）求证：数列na为等差数列，并分别求出na、nS的表达式；（2）设数列11nnaa的前 n项和为nT，求证：4151nT；（3）是否存在自然数n,使得2009)1(322321nnSSSSn？若存在，求出n 的值；若不存在,请说明理由。又易知nT单调递增，故nT511T，得4151nT(3)由)1(2nnnaSnn得12nnSn22321)1()12(531)1(32nnnnSSSSn=1
9、2n 13 分由200912n，得 n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005.1211111320.933378823nnnnnnnnnnnnnnnaaanSnaSa SSaabbnaaTnT已知数列中，其前 项和为，且当时，求证：数列是等比数列；求数列的通项公式；令，记数列的前 项和为，三、数列与不等式综合证明对于任意的正问整数 ，都有例题3成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载112111111112121112SS(2)104001141 4.1223 41nnnnnnnnnnnnnnn
10、nnnnnnnnnnnaSa SSSSSSSSSSSnSSnSSSnaSSaSSa证明：当时，所以又由，可推知对一所以数列是等比数切正整数均有，由知等比数列的首项为 ，公比为 ，所以当时，列，又，所以解析：21.3 42nnn2122212111121122123493393434.343343414193338318373488241413nnnnnnnnnnnnnnnnnaabaaabaanbTbn证明：当时，此时又，所以，22121122 22 121113 411241 414141311()8414111717().4141841837880nnnnnnnnnnnnnnnnbTbbb
11、nbTTTnT当时，又因为对任意所以对于任意的正整数的正整数 都有，所以单调递增，都有，即，成立11*1121234*111*121213111()(2)2(2)11110(1)(1)(1)(23)31nnnnnnnnnnnnnbbbbaaabnnbbbbbbbabnnabnaaaNNN数列满足，若数列满足，且求 ，及；求证：且；求证：例4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载2341111*1221121112111113715211211122111()12(2)11111111121.nnnnnnn
12、nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbabnnbbbaabbbbbbbbbaaaabbbbbbN，由，所以证明：因为且，所:以，以析所解，*111(2)nnnnabnnabN且1212123122111231341121111212121112(1)(1)(1)111111123211122()3111131()132111(1)(1nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabbaabaaaaaabbbababbbbbbbbaa证明：由知，而，121111)(1)2()nnabbb111112123341112122121 212112(),21 21212111132111110(1)(11111112()()()212121212121111)(1).512()32313nkkkkkkkkknnnnaaak当，所以时，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
