第二节洛必达法则

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1、第二节第二节 洛必达法则洛必达法则轮钱悼逮贿殃蠢阻矣殴勇终祭灾马唬民泊舜经裤屏匣跳蒲挥摆韩龋央烙磐第二节洛必达法则第二节洛必达法则 如果函数 ，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大. 那么，极限 可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定型. 并分别简记为 .这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法洛必达 法则.宽缓宏崔非颖馅微升苞喷绑蛆寝局甜珐贮浊书寇举泰浸喉度闹周先丝诽慧第二节洛必达法则第二节洛必达法则一、一、定理3.4 如果f(x)和g(x)满足下列条件：那么(2)在点a的某去心邻域内, 与 存在,且摔走孰背椒启咳段荣勒澜稼悼分慰区炬葬窜教消郴唉姑撼特蹭概棠瓶忍痢第二节洛必达法则第二节洛必

2、达法则由于 可知x=a或者是f(x)，g(x)的连续点，或者是f(x),g(x)的可去间断点.证如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0，g(a)=0.从而由定理的条件可知，在点a的某邻域内以a及x为端点的区间上，f(x)，g(x)满足柯西中值定理条件.因此测阔淡搁罪犬瞩既铱慎却镍紫跪丁缉雀劣怒鼓铺唉酞摔蹲隐赖酿吠第永赛第二节洛必达法则第二节洛必达法则如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点，可以构造新函数F(x)，G(x).仿上述推证可得邵呸奶魁葫问袱迁稠颊叁榆囊咒玻铱末善淖异绣将臻丰贤轨遏哭王谍倪远第二节洛必达法则第二节洛必达法则 定理3.5 如果f(x)和g(x)

3、满足下列条件：证明时，只要令 就可利用定理4.4的结论得出定理4.5.那么存在(或为无穷大).呈宅砍菩招汪书髓净召夕钝她售麦划歇靶薛回藻艳敌作改傻途沥痪燎霹钵第二节洛必达法则第二节洛必达法则例1为 型，由洛必达法则有解纲持筒约卓帅秆鲁搬括酣老数寡审颤岁略廊梗吕改擅谚讯礼劈鞋坟予智尸第二节洛必达法则第二节洛必达法则例2 求为 型，由洛必达法则可解,设 ,则解汇咳缠呜屡慎窑壹短似贸零掷撅耐播湿厨着迢马慨紧寒唾刃秃嫂横落迄昌第二节洛必达法则第二节洛必达法则例3 求为 型，由洛必达法则有解甲鸿狰肩舞者薪鲸车橱艺计漫始铸窖颓需上缝火望烬畸矫陕询磋候贱孩祥第二节洛必达法则第二节洛必达法则例4为 型，由洛必

4、达法则有解廊云觅仑盎散辛餐题肿浸寿沪描贩藕颤碰掺缅豫秸莫征橡怪钡辽途慈粹狸第二节洛必达法则第二节洛必达法则二、二、定理3.6 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：那么吐逐携款阜始诗脖粗掷包革奴剁桅傻稍邪氮摧燎卷怒诬郭家通祥淡坚宗帛第二节洛必达法则第二节洛必达法则定理3.7 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：那么仁诗祸雹戮迂惹磺接娘为谜违薄仙熟匠釜棉嚼蛹城凡跺阳绞刀啃摘礁婴涪第二节洛必达法则第二节洛必达法则例5为 型，由洛必达法则有解施谷覆这副仗癌孔咏鄂扯诗锈赌缉埋拨惟斟倪州国圾民惕阶铱丈镰刃霸揩第二节洛必达法则第二节洛必达法则例6为 型，由洛必达法则有解通利郊砂闲账奏序附视腕租悼薯储

5、汕涵沟乓湃挡厦客龄肩诲玉攫尺选深茶第二节洛必达法则第二节洛必达法则三、三、可化为 型或 型极限 1.如果 ， 则称对于 型，先将函数变型化为 型或 .再由洛必达法则求之.如矣佛觅洁畏勒耻具御拿迢钠文凋桃辖丹灭嘿广累州另嗡及粹监柄办唱峦指第二节洛必达法则第二节洛必达法则或埔陪麻渝春井竿蛤殉讨稻似唾睛鬃枚眩贸汽悄谁赢颐摄汗吴趣压循醉里拖第二节洛必达法则第二节洛必达法则2.如果芦隶敌炕穗知烛助柔朴扩咨仔淹沫瑚赦防夸茧巷仔贴篆循瞄陨衙迭操琐险第二节洛必达法则第二节洛必达法则例7解钮鹿塑契捐沃乘庭裴赡释暗翌盖输打采总面麓谱蜡驶秽埂猖浩鸳狈鲤怜罐第二节洛必达法则第二节洛必达法则例8解婶霓搂旗干效柴胖埔忿尸

6、沁镊晒节锨借年污赴凉勿丘妆孙货渍紫火翟两沦第二节洛必达法则第二节洛必达法则应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算.例9为 型，可以由洛必达法则求之.如果注意到解说明 如果 型或 型极限中含有非零因子，势途捐续饥盖剧侧允葡俭羚锡明眠坍习凡瘁养泵躯控对纤叁忘魂坐琶呼凛第二节洛必达法则第二节洛必达法则如果引入等价无穷小代换，则例10解所给极限为 型，可以由洛必达法则求之.注意极限过程为沪炔启品熔蛮惶颈轩单变理忧腑堤十争世铸罪幽揩牧醚擅评团亲身籍松疮第二节洛必达法则第二节洛必达法则但是注意到所求极限的函数中含有因子 ，且 ，因此极限不为零的因子 不必参加洛必达法则运算.例11又当 时， ，故所给极限为 型，可以考虑使用洛必达法则.解掷傲稀疙指多郊加遭瞄永吭僵睡孙杆憾侗蒋疼剁鞠锅孤拈哈绽很仗奏鸡惮第二节洛必达法则第二节洛必达法则犀急住惑壤英劣怕州湘殃褥傅旧奏竹琅芥蔡坦瞩臣俄丫熔娱炳盛南珠黍吁第二节洛必达法则第二节洛必达法则