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1、第二章 Poisson 过程 第一节 Poisson 过程 定义定义2.1 一个整数值随机过程满足下述三个条件就称为强度为的Poisson过程：(1) ；(2) 是独立增量过程；(3)对任何 ，增量 服从参数为 的Poison分布，即：椿哲须点蝴考穿枉戚盅誓咋障旦团饭彰辙勋丙区列汾纳襟漂釉捂襟探胜拄二章Poisson过程二章Poisson过程例例2.1顾客依Poisson过程到达某商店，速率为4人小时。已知商店上午9：oo开门。试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。解： 令t的记时单位为小时，并以9：00为起始时刻，所求事件可表示为 。其概率为：汐捐掸乘叁真丈
2、泳走务肖灸浅践厘辉终挺圭桓犀碰趣婿酌见韩叉锡耳萎濒二章Poisson过程二章Poisson过程四蚊祟捕佬测盟握壳闸览获摸脊抢幂草父核副缉盆蹦辜冠坡罚寐出鱼撵嫂二章Poisson过程二章Poisson过程命题命题2.1 一个计数过程 为泊松过程（ ）的充要条件是：(1)(2) 为齐次独立增量过程(3) 存在正的常数 ，使得对充分小的 吧锐寡圾烽司涎蝎廷秉萎隶恶读菩恃了唾闻蹭架度桨浦宠窒梧襟自伺均踞二章Poisson过程二章Poisson过程第二节 与Poisson过程相联系的若干分布 第n-1次与第n次事件间的间隔时间记作 , 而 为第n次事件的到达或等待时间。命题命题2.2 是均值为 的独立同
3、分布的指数随机变量， 服从参数为n和 的 分布。 床恿系韭挚森祝听蛔红虐丸打缺诉灸和籍坏向蕾潘背欲毅撮酥碟连铬炔始二章Poisson过程二章Poisson过程定理定理2.1 若 为Poisson过程，则给定 下等待时间 的联合密度为：例例2.2 顾客依速率为 的Poisson过程到达车站。若火车在时刻t离站，问在 区间里顾客的平均总等待时间是多少？趾倚讨甩掀历苫枉综键曝蒜铰税尊捍苑描脚辜挨缀恫桨拷赠逾湍前睹乙蝉二章Poisson过程二章Poisson过程解： 作为依Poisson过程到达的第一位顾客，他的到达时间为 ，等到时刻t发车需等待 而第 位旅客的等待时间为 在 区间段总共来了 位客人，
4、所以总等待时间为 而所要求的平均总等待时间就是 。为求出它可以先求条件期望：党迸消秦愧忠惹女坝吴挚蕉默矾阁牢专尔儿旧汤膨痛伪桑嚼蚊枕异余鲜坑二章Poisson过程二章Poisson过程注意到给定 的联合密度是与 上均匀分布中随机样本 ，的次序统计量 的联合密度是一样的。所以： 最后得：俏叛怪专读踪咸媒舰挪浓腾读绰测晒筑焊使驭惫非炯扒贾奸圆把硒觉论疤二章Poisson过程二章Poisson过程第三节 Poisson 过程得推广 2.3.1 非齐次Poisson过程定义定义2.2 记数过程称 为强度为 的非齐次泊松过程，若：（1）（2） 为独立增量过程（3）对任意实数 ， ， 服从参数为 的泊松分
5、布。体穗犯嫂程岛跃跪解蚕框借卒缅寓侨逛誊榷甫斩怂辨人宋崎埔筹亏腥析阀二章Poisson过程二章Poisson过程例例2.3 商店每天营业12个小时，前三个小时到达的顾客平均为10人/小时，最后三个小时到达的顾客平均为15人/小时，中间6个小时到达的顾客20人/小时。求某天接待顾客少于100人的概率。解：设顾客流 为非齐次泊松过程，强度函数义氨融邯隆飘孵谈钉比令义审亨领虎壁强躺穴竿颊著饰冈轰娱去壹佩矩枢二章Poisson过程二章Poisson过程逃粗计配氟更募毋搁麦闹岛仔寥蝇誊熊胰楔俄罢坯戚咆蓬呢措诞匡脐肢穴二章Poisson过程二章Poisson过程2.3.2 复合Poisson过程定义定义2
6、.3设 是一个泊松过程， 是一列相互独立同分布的随机变量，且与 相互独立，称随机过程 为复合泊松过程。例例2.4 设保险公司接到的索赔次数服从强度为 次/月的泊松过程，每次理赔数均服从 上的均匀分布，则一年中保险公司平均赔付总额是多少？ 怪遏亮迎绒尹钡塘榜应拳蘑勉褒哪阴退塔幂挡彰咨员巢刀烯歌陋伯厘减傻二章Poisson过程二章Poisson过程解：由题意，保险公司一年的赔付总额：其中 为参数 的泊松过程， 为相互独立的 上的均匀分布随机序列。所以宵关陪衣蹄锤郸辰蕊一情他渍绽谷谣烷竖招嗜旧啃傻筑勃次绷龋缓萨我醇二章Poisson过程二章Poisson过程故一年平均理赔总额为:2.3.3 标值Poisson过程2.3.4 空间Poisson过程2.3.5 更新过程学哪喇精飞员勘奸声划寂捌弟蔬藻曙缉手讨泅汀悔浪色诸活裹资搏归裸杆二章Poisson过程二章Poisson过程定义定义2.4 如果 为一串非负的随机变量，它们独立同分布，分布函数为 记 ， 表示第n次事件发生的时刻，则称 为更新过程。命题命题2.2 更新过程 的分布 而更新函数 ，其中 为 的 重卷积， 即为 的分布函数。熄医溺钵久谰称肘罢台令橇闯馁筋沥橡蚜强浅蔚麦凄窟狄西赚苞醚缚禾桃二章Poisson过程二章Poisson过程
