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1、1 / 11 第 4 课时二次函数的实际应用面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“ 最 ” 字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1运用配方法求最值；2构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3建立函数模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值例 1：在矩形ABCD 中， AB=6cm ，BC=12cm ，点 P从点 A 出发，沿AB 边向点 B 以 1cms的速度移动，同时点Q
2、从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动，如果P、Q 两点同时出发，分别到达B、C 两点后就停止移动（1）运动第t 秒时， PBQ 的面积 y(cm2)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2 )，写出 S与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3） t 为何值时 s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621) 1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（SttStttttStttty例 2：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10M 的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32M
3、长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一M 的通道及在左右花圃各放一个1M宽的门（木质）花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解： 设花圃的宽为xM，面积为S平方 M 则长为：xx4342432(M) 则：)434(xxSx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 / 11 xx34424289)417(42x104340x2176x6417，S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当2176x内，S随x的增大而减小，当6x时，604289)4176(42maxS
4、(平方 M) 答：可设计成宽6M，长 10M 的矩形花圃，这样的花圃面积最大例 3：已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积解： 设矩形 PNDM 的边 DN=x ，NP=y，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（2x4 ）易知 CN=4-x ，EM=4-y 过点 B 作 BH PN 于点 H 则有 AFB BHP PHBHBFAF，即3412yx，521xy，xxxyS5212)42(x，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，当 x5 时，函数值y随x的增大而增大，对于42x来说，当x=4
5、 时，12454212最大S【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 / 11 例 4：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4M 的正方形ABCD ，点E、F 分别在边BC 和 CD 上， CFE 、 ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成 CFE、 ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方M 价格依次为30 元、 20 元、 10 元，
6、若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH (1)判断图 (2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解： (1) 四边形 EFGH 是正方形图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺 (逆)时针方向旋转90 后得到的，故 CE=CF =CG CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形 (2)设 CE=x, 则 BE=0.4x，每块地砖的费用为y 元那么： y=x 30+ 0.4 (0.4-x) 20+0.16-x- 0.4 (0.4-x) 10 )24.02.0(102xx3.
7、2) 1.0(102x)4 .00(x当 x=0.1 时， y 有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1答：当 CE=CF=0.1M 时，总费用最省作业布置：1(2008 浙江台州 )某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(单位： M) 与小球运动时间t(单位：秒 )的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度最大h 4.9M 2(2008 庆阳市 )兰州市 “ 安居工程 ” 新建成的一批楼房都是8 层高，房子的价格y(元/平方 M)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1，2，3， 4，5，6，7， 8)；已知点 (x，y)都在一个二次函数的图像上， (如图所示 )，则 6 楼房子的价格为
8、元/平方 M5m12mABCD提示：利用对称性，答案：2080精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 / 11 3如图所示，在一个直角MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为 ( D ) A424m B6 m C15 m D25m 解： AB=x m， AD=b，长方形的面积为y m2ADBC MAD MBN MBMABNAD，即5512xb，)5(512xb)5(512)5(5122xxxxxby, 当
9、5 .2x时，y有最大值4(2008 湖北恩施 )将一张边长为30 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体当取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A7 B6 C5 D 45如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是：35321212xxy，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A6 m B12 m C8 m D10m 解： 令0y，则：02082xx0)10)(2(xxx yOA B MO（图 5）（图 6）（图 7）6某幢建筑物，从10 m 高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直
10、，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙 1 m，离地面340m，则水流落地点 B 离墙的距离OB 是( B ) A2 m B 3 m C4 m D5 m 解： 顶点为)340, 1(，设340)1(2xay，将点)10,0(代入，310a令0340)1(3102xy，得：4)1(2x，所以 OB=3 7(2007 乌兰察布 )小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55yx的一部分，如图 7 所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ）A4.6m B4.5m C4m D3.5m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，
11、共 11 页5 / 11 8某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m2)(1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（ 1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(xxy)20(22xx200)10(22x152400x205.12x二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当205.12x内，y随x的增大而减小，当5.12x时，5.187200)105.12(22m
12、axy(平方 M) 答：当5.12xM 时花园的面积最大，最大面积是187.5 平方 M9如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为xM(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n 是大于1 的整数 )道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少M？比较 (1)(2) 的结果，你能得到什么结论？x解： (1)长为 xM，则宽为350xM，设面积为S平方 M)50(313502xxxxS3625)25(312x当25x时，3625maxS(平方 M) 即：鸡场的长度为25M 时，面积最大(2) 中间有
13、n道篱笆，则宽为250nxM，设面积为S平方 M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 / 11 则：)50(212502xxnnxxS2625)25(212nxn当25x时，2625maxnS(平方 M) 由 (1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25M即：使面积最大的x值与中间有多少道隔墙无关10如图，矩形ABCD 的边 AB=6 cm，BC=8cm ，在 BC 上取一点P，在 CD 边上取一点Q，使 APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm，试以 x 为自变量，写出y 与 x 的
14、函数关系式ABCD PQ 解： APQ=90 , APB+ QPC=90 . APB+ BAP=90 , QPC=BAP， B=C=90 . ABP PCQ. ,86,yxxCQBPPCABxxy3461211 (2006 年南京市 )如图，在矩形ABCD 中， AB=2AD ，线段EF=10在 EF 上取一点M，?分别以EM、 MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN 矩形ABCD 令MN=x ，当 x 为何值时，矩形EMNH 的面积 S有最大值？最大值是多少？解： 矩形 MFGN 矩形 ABCD MF=2MN =2x EM=10-2x S=x（10-2x）=-2x2+1
15、0x=-2(x-2.5)2+12.5 1020x，50x当 x=2.5 时， S有最大值12.5 12(2008 四川内江 )如图，小明的父亲在相距2M 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5M，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1M 的小明距较近的那棵树0.5M 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 / 11 答案：如图所示建立直角坐标系则：设caxy2将点) 1 ,5.0(，)5.2, 1(代入，caca5 .2
16、)5.0(12，解得5.02ca5 .022xy顶点)5 .0 ,0(，最低点距地面0.5M13(2008 黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60M 的矩形场地，矩形面积S(单位：平方M)随矩形一边长x(单位： M)的变化而变化（1）求 S与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当 x 是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？解： （1）根据题意，得xxxxS3022602自变量的取值范围是（ 2）01a，S有最大值当时，答：当为 15M 时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225 平方 M14(2008 年南宁市 )随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花
17、木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-所示 (注：利润与投资量的单位：万元) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 / 11 （1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解： （1）设=,由图 12-所示，函数=的图像过（ 1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该
18、抛物线的顶点是原点，所以设2y=，由图12-所示，函数2y=的图像过（ 2，2），所以，故利润2y关于投资量的函数关系式是2221xy；（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得=21yy+=021a当时，的最小值是14；他 至少 获得 14万元的利润因为，所以在对称轴2x的右侧，z随x的增大而增大所以，当8x时，z的最大值为3215(08 山东聊城 )如图，把一张长10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
19、归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 / 11 （1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2 个同样大小的正方形和2 个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖 的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由解： （1）设正方形的边长为cm，则即解得（不合题意，舍去），剪去的正方形的边长为1cm（ 2）有侧面
20、积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：即改写为当时，即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2（ 3）有侧面积最大的情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 / 11 设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2若按图 1 所示的方法剪折，则与的函数关系式为：xxxxy22102)28(2即当时，若按图 2 所示的方法剪折，则与的函数关系式为：xxxxy2282)210(2即当时，比较以上两种剪折方法可以看出，按图2 所示的方法剪折得到的盒
21、子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm216(08 兰州 )一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16 所示 )，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 17 所示 )，求抛物线的解读式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带 )，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高 3m 的三辆汽车 (汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由解： （1）根据题目条件，的坐标分别是设抛物线的解读式为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 / 11 将的坐标代入，得解得所以抛物线的表达式是（ 2）可设，于是从而支柱的长度是M（ 3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是过点作垂直交抛物线于，则根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
