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1、精品资料欢迎下载线性规划问题中目标函数常见类型梳理山东张吉林（山东省莱州五中邮编 261423）线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数）例 1.已知实数 x、y 满足约束条件0503xyxyx，则24zxy的最小值为（）A5 B -6 C10 D-10 分析：将目标函数变形可得124zyx，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12yxb在经过可行域时在y 轴上的截距的最
2、小值的4 倍。解析：由实数x、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在 y 轴上的截距最小，又(3, 3)C，故24zxy的最小值为min234( 3)6z，答案选B。点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。二 直线的斜率型例 2.已知实数 x、y 满足不等式组2240xyx,求函数31yzx的值域 . 解 析 ：所 给 的不 等 式组 表 示圆224xy的 右半 圆 ( 含 边界 ) ，-5 5 3 O x y C A B L 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
3、- - - - - -第 1 页，共 5 页精品资料欢迎下载31yzx可理解为过定点( 1, 3)P，斜率为z的直线族则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)xyx上任一点与点( 1, 3)P的直线斜率的最大、最小值 由图知， 过点P和点(0,2)A的直线斜率最大，max2( 3)50( 1)z过点P所作半圆的切线的斜率最小设切点为( , )B a b，则过 B 点的切线方程为4axby又 B 在半圆周上， P 在切线上，则有22434abab解 得2365665ab因 此m i n2633z。 综 上 可 知 函 数 的 值 域 为2 6,53三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例
4、3. 已知实数x、 y 满足10101xyxyy， 则22448wxyxy的最值为 _. 解析：目标函数2222448(2)(2)wxyxyxy，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：-2 2 O x y （-1， -3）-2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页精品资料欢迎下载可行域为图中ABC内部（包括边界） ，易求 B（-2，-1） ，结合图形知，点(2,2)到点 B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max( 22)( 12)25w；点 (2,2)到直
5、线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，min|22 1|3 222w。四 点到直线的距离型例 4.已知实数 x、y 满足2221,42xyuxyxy求的最小值。解析：目标函数222242(2)(1)5uxyxyxy，其含义是点 (-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方） ：点(-2,1) 到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1 的距离，由点到直线的距离公式可求得|2( 2)1 1|4 555d，故21695555d同步训练：已知实数x、 y 满足220240330xyxyxy,则目标函数22zxy的最大值是 _
6、。答案： 13；五 变换问题研究目标函数(-2,1) 1 12O x y 2x+y=1 -1 1 1 O x y （2， 2）x+y-1=0 -1 A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精品资料欢迎下载例 5.（山东潍坊08 届高三）已知axyxxy2，且yxz2的最大值是最小值的3 倍，则a 等于（）A31或 3 B31C52或 2 D52解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，Ayxz在2点和 B 点分别取得最小值和最大值. 由),(?aa?Axyax得，由yxyx
7、2得B(1，1). a?z?z3,3minmax. 由题意得.31?a故答案 B。六 综合导数、函数知识类例 6. （山东省日照市2008 届高三第一次调研） 已知函数),2)(的定义域为xf，部分对应值如下表，)()(xfxf为的导函数，函数)(xfy的图象如右图所示. 若两正数a，b满足331)2(abbaf，则的取值范围是（）x 2 0 4 )(xf1 1 1 A)34,76(B)37,53(C)56,32(D)3,31(分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间-2,0 为单调递减函数，在区间（0，）
8、为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得422ba，另外注意到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精品资料欢迎下载33ab的几何意义，转化为线性规划问题可求解。解析 ：由导函数的图象可知，原函数在区间-2,0 为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数，又1)4(, 1)0(,1)2(fff，故422ba，而ba,均为正数，可得可行域如图，33ab的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点 （0，4） ，此时为373034，最小为点（2，0） ，此时为533230，所以答案B. 如果实数,a b满足条件：20101abbaa，则22abab的最大值是 _. 补充： 1.如果实数,a b满足条件：20101abbaa，则22abab的最大值是2.已知 O 是坐标原点，(2,1),( , )AP x y满足430352510xyxyx， 求|c o sO PA O P的最大值。(-3,-3) 4 2 O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
