2022年高一数学函数知识总结及例题

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1、第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设 y=f(u)的定义域为A，u=g(x) 的值域为 B，若 AB，则 y 关于 x 函数的 y=f g(x) 叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫中间量 .二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f x( )的定义域，求f g x( )的定义域思路：设函数fx( )的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又 f 对g x( )作用，作用范围不变，所以Dxg)(，解得xE，E为f g x( )的定义域。例 1. 设函数f u( )的定义域为（0，1） ，则函数fx(ln)的定义域为 _。解析：函数f u( )的定义域为（ 0， 1）即u(

2、)01，所以f的作用范围为（0，1）又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以01ln x解得xe()1，故函数fx(ln)的定义域为（1，e）例 2. 若函数f xx( )11，则函数ff x( )的定义域为 _。解析：先求f 的作用范围，由f xx( )11，知x1即 f 的作用范围为xR x|1，又 f 对 f(x)作用所以f xRf x( )( )且1，即ff x( )中 x 应满足xf x11( )即xx1111，解得xx12且故函数ffx( )的定义域为xR xx|12且（2） 、已知f g x( )的定义域，求fx( )的定义域思路：设f g x( )的定义域为D，即xD，由此

3、得g xE( )，所以 f 的作用范围为E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以xEE，为f x( )的定义域。例 3. 已知fx()32的定义域为x12，则函数f x( )的定义域为 _。解析：fx()32的定义域为12，即x12，由此得3215x，所以 f 的作用范围为15，又 f 对 x作用，作用范围不变，所以x15，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页即函数fx( )的定义域为15，例 4. 已知fxxx()lg22248，则函数fx( )的定义域为 _。解析：先求f 的作用范围，由f xxx()lg22

4、248，知xx2280解得x244，f 的作用范围为()4，又 f 对 x作用，作用范围不变，所以x()4，即fx( )的定义域为()4，（3） 、已知f g x( )的定义域，求f h x( )的定义域思路：设f g x( )的定义域为D，即xD，由此得g xE( )，f的作用范围为E，又 f 对h x( )作用，作用范围不变，所以h xE( )，解得xF，F为f h x( )的定义域。例 5. 若函数fx()2的定义域为11，则fx(log)2的定义域为 _。解析：fx()2的定义域为11，即x11，由此得2122x，f的作用范围为122，又 f 对log2x作用，所以log2122x，解

5、得x24，即fx(log)2的定义域为24，评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围， f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。（二）同步练习：1、 已知函数)x(f的定义域为 1,0，求函数)x(f2的定义域。答案： 1, 12、 已知函数)x23(f的定义域为 3, 3，求)x(f的定义域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页答案：9, 33、 已知函数)2x(fy的定义域为)

6、0, 1(，求|)1x2(|f的定义域。答案：)23, 1()0,21(4、设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（） A.4,00 ,4B. 4, 11,4C. 2, 11, 2D.4,22,4解：选 C.由202xx得，( )f x的定义域为| 22xx。故22,2222.xx，解得4, 11,4xU。故xfxf22的定义域为4, 11,4U5、已知函数)(xf的定义域为)23,21(x，求)0)()()(aaxfaxfxg的定义域。解析由已知，有.232,2321,2321,2321axaaxaaxax（1）当1a时，定义域为2321|xx；（2）当aa2323，即10a时，有22

7、1aa，定义域为232|axax；（3）当aa2323，即1a时，有221aa，定义域为2321|axax. 故当1a时，定义域为2321|axax；当10a时，定义域为.232|axax点评对于含有参数的函数，求其定义域， 必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页（1）引理证明已知函数)(xgfy. 若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(ufy在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数)(xgfy在区间ba,(）上

8、是增函数 . 证明：在区间ba,(）内任取两个数21, xx，使bxxa21因为)(xgu在区间ba,(）上是减函数，所以)()(21xgxg, 记)(11xgu, )(22xgu即),(,21,21dcuuuu且因为函数)(ufy在区间 (c,d)上是减函数，所以)()(21ufuf, 即)()(21xgfxgf，故函数)(xgfy在区间ba,(）上是增函数 . （2） 复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便， 我们把它们总结成一个图表：)(ufy增 减 )(xgu增 减 增 减 )(xgfy增 减 减 增 以上规律还可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增

9、异减”. （3）、复合函数)(xgfy的单调性判断步骤：确定函数的定义域；将复合函数分解成两个简单函数：)(ufy与)(xgu。分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数)(xgfy为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数)(xgfy为减函数。（4）例题演练例 1、 求函数)32(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域130322xxxx或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共

10、 12 页单调减区间是),3(设2121),3(,xxxx且则)32(log121211xxy)32(log222212xxy)32(121xx)32(222xx=)2)(1212xxxx312xx012xx0212xx)32(121xx)32(222xx又底数1210012yy即12yyy在), 3(上是减函数同理可证：y在)1,(上是增函数例 2、讨论函数) 123(log)(2xxxfa的单调性 . 解由01232xx得函数的定义域为.31, 1|xxx或则当1a时，若1x，1232xxu为增函数， )123(log)(2xxxfa为增函数 . 若31x，1232xxu为减函数 . )1

11、23(log)(2xxxfa为减函数。当10a时 ， 若1x， 则) 123(log)(2xxxfa为 减 函 数 ， 若31x， 则) 123(log)(2xxxfa为增函数 . 例 3、. 已知 y=alog(2-xa) 在 0， 1上是 x 的减函数，求a 的取值范围 . 解： a0 且 a1 当 a1 时，函数 t=2-xa0 是减函数由 y=alog (2-xa)在 0，1上 x 的减函数，知y=alogt 是增函数，a1 由 x0， 1时， 2-xa2-a 0, 得 a 2, 1a2 当 0a0 是增函数由 y=alog (2-xa)在 0，1上 x 的减函数，知y=alogt 是

12、减函数，0a1由 x0， 1时， 2-xa2-1 0, 0a1 综上述， 0a1 或 1 a2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页例4、已 知 函 数2)3()2(2axaaxxf（a为 负 整 数 ） 的 图 象 经 过 点Rmm),0,2(，设)()()(),()(xfxpgxFxffxg.问是否存在实数)0(pp使得)(xF在区间)2(,(f上是减函数，且在区间)0),2( f上是减函数？并证明你的结论。解析由已知0)2(mf，得02)3(2amaam，其中.0,aRm0即09232aa，解得.37213721

13、aa为负整数，.1a1)2(34)2(2xxxxf，即.1)(2xxf242221)1()()(xxxxffxg，.1) 12()()()(24xppxxfxpgxF假设存在实数)0( pp，使得)(xF满足条件，设21xx，.12)()()()(2221222121pxxpxxxFxF3)2(f，当) 3,(,21xx时，)(xF为减函数，0)()(21xFxF，.012)(, 022212221pxxpxx3, 321xx,182221xx, 11612)(2221ppxxp, .0116p当)0, 3(,21xx时,)(xF增函数 ,. 0)()(21xFxF02221xx,11612)

14、(2221ppxxp, 0116p. 由、可知161p，故存在.161p（5）同步练习：1函数y21log（x2 3x2）的单调递减区间是（）A （， 1）B （2，）C （，23）D （23，）解析： 先求函数定义域为（o，1）（ 2，），令t（x）x23x2，函数t（x）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y21log（x23x2）在（ 2，）上单调递减答案： B 2 找出下列函数的单调区间. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页（1）) 1(232aayxx；（2）.2

15、322xxy答案： (1)在23,(上是增函数，在),23上是减函数。（2）单调增区间是 1 , 1，减区间是3 , 1 。3、讨论)0,0(),1(logaaayxa且的单调性。答案：,1a时),0(为增函数，01a时，)0,(为增函数。4求函数y31log（x25x4）的定义域、值域和单调区间解：由（x）x25x40，解得x4 或x1，所以x（， 1）（ 4，），当x（， 1）（ 4，）， x25x4 R，所以函数的值域是R因为函数y31log（x25x4）是由y31log（x）与（x）x25x4 复合而成，函数y31log（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）x25x4 在（，25）

16、上为减函数， 在25，上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y31log（x2 5x4）的增区间是定义域内使y31log（x）为减函数、（x）x25x4 也为减函数的区间，即（， 1） ；y31log（x25x4）的减区间是定义域内使y31log（x）为减函数、（x）x25x 4 为增函数的区间，即（4，）变式练习一、选择题1函数f（x）)1(log21x的定义域是（）A （1，）B （ 2，）C （， 2）D21( ，解析： 要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共

17、 12 页所以0)1(log0121xx解得 1x2答案： D 2函数y21log（x2 3x2）的单调递减区间是（）A （， 1）B （ 2，）C （，23）D （23，）解析： 先求函数定义域为（o，1）（ 2，），令t（x）x23x2，函数t（x）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y21log（x23x2）在（ 2，）上单调递减答案： B 3若 2lg（x2y）lgxlgy，则xy的值为（）A4 B1 或41C 1 或 4 D41错解： 由 2lg（x2y）lgxlgy，得（x2y）2xy，解得x4y或xy，则有xy41或yx1答案： 选 B

18、正解： 上述解法忽略了真数大于0 这个条件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案： D 4若定义在区间（1，0）内的函数f（x）a2log（x 1）满足f（x） 0，则a的取值范围为（）A （0，21）B （ 0，21）C （21，）D （ 0，）解析： 因为x（ 1，0） ，所以x1（ 0， 1） 当f（x） 0 时，根据图象只有0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页2al，解得 0a21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）答案： A 5函数ylg（x121）的图象关于（）Ay轴对称Bx轴对称C原点对

19、称D直线yx对称解析：ylg（x121）xx11lg，所以为奇函数形如yxx11lg或yxx11lg的函数都为奇函数答案： C 二、填空题已知yalog（2ax）在 0，1上是x的减函数，则a的取值范围是_解析：a0 且a1（x） 2ax是减函数，要使yalog（2ax）是减函数，则a1，又 2ax0a32（0x1）a2，所以a（ 1，2） 答案：a（ 1，2）7函数f（x）的图象与g（x）（31）x的图象关于直线yx对称，则f（2xx2）的单调递减区间为_解析： 因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）31log x则f（2xx2）31log（2xx2） ，令（x） 2xx20，解得

20、0x2（x） 2xx2在（ 0，1）上单调递增，则f（x） 在（ 0，1）上单调递减；（x） 2xx2在（ 1，2）上单调递减，则f（x） 在 1，2）上单调递增所以f（2xx2）的单调递减区间为（0，1） 答案： （0，1）8已知定义域为R 的偶函数f（x）在 0，上是增函数，且f（21） 0，则不等式f（log4x）的解集是 _解析： 因为f（x）是偶函数，所以f（21）f（21） 0又f（x）在 0，上是增函数， 所以f（x）在（， 0）上是减函数 所以f（ log4x）0log4x21或 log4x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

21、-第 9 页，共 12 页21解得x2 或 0x21答案：x2 或 0x21三、解答题9求函数y31log（x25x4）的定义域、值域和单调区间解： 由（x）x25x40，解得x4 或x1，所以x（， 1）（ 4，） ，当x（， 1）（ 4，）， x25x4 R，所以函数的值域是R因为函数y31log（x25x 4）是由y31log（x）与（x）x25x 4 复合而成，函数y31log（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）x25x 4 在（，25）上为减函数， 在25，上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y31log（x2 5x4）的增区间是定义域内使y31log（x）为减函数

22、、（x）x25x4 也为减函数的区间，即（， 1） ；y31log（x25x4）的减区间是定义域内使y31log（x）为减函数、（x）x25x 4 为增函数的区间，即（4，）10设函数f（x）532xxx2323lg，（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f（x）的反函数f1（x） ，问函数yf1（x）的图象与x轴有交点吗 ?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由解： （1）由 3x50 且xx2323 0，解得x35且23x23取交集得23x23（2）令（x） 3x5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；xx2323 1x236随

23、着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页又ylgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，yxx2323lg是减函数，所以f（x）532xxx2323lg是减函数（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数f（x）的反函数f1（x）与工轴的交点为（x0，0） 根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（ 0，x0） ，将（ 0，x0）代入f（x） ，解得x052所以函数yf1（x）的图象与x

24、轴有交点，交点为（52，0） 。一指数函数与对数函数同底的指数函数xya与对数函数logayx互为反函数；（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 还是小于1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方法有：以0和1为桥梁；利用函数的单调性；作差（三）例题分析：例 1 （1）若21aba，则logbba，logba，logab从小到大依次为；（2） 若235xyz， 且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为；（3）设0x，且1xxab（0a，0b） ，则a与b的大小关系是（）（A）1ba（B）1ab（C）1ba

25、（D）1ab解： （1）由21aba得baa，故logbbalogba1logab（ 2）令235xyzt，则1t，lglg 2tx，lglg 3ty，lglg 5tz，2lg3lglg(lg9lg8)230lg 2lg3lg 2 lg3tttxy，23xy；同理可得：250xz，25xz，325yxz （3）取1x，知选（B） 例 2已知函数2( )1xxfxax(1)a，求证： （1）函数( )f x在( 1,)上为增函数； （ 2）方程( )0f x没有负数根证明： （1）设121xx，则1212121222()()11xxxxf xf xaaxx121212121212223()11(

26、1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx，121xx，110x，210x，120xx，12123()0(1)(1)xxxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页121xx，且1a，12xxaa，120xxaa，12()()0fxf x，即12()()f xfx，函数( )f x在( 1,)上为增函数；（2）假设0x是方程( )0f x的负数根，且01x，则000201xxax，即00000023(1)31111xxxaxxx，当010x时，0011x，0331x，03121x，而由1a知01xa，式不成立；当01

27、x时，010x，0301x，03111x，而00xa，式不成立综上所述，方程( )0f x没有负数根例 3已知函数( )log (1)xafxa（0a且1a） （ 高考A计划考点15，例 4） 求证： （1）函数( )f x的图象在y轴的一侧；（2）函数( )f x图象上任意两点连线的斜率都大于0证明： （1）由10xa得：1xa，当1a时，0x，即函数( )f x的定义域为(0,)，此时函数( )f x的图象在y轴的右侧；当01a时，0x，即函数( )f x的定义域为(,0)，此时函数( )f x的图象在y轴的左侧函数( )f x的图象在y轴的一侧；（2）设11(,)A xy、22(,)B xy是函数( )f x图象上任意两点，且12xx，则直线AB的斜率1212yykxx，1122121log (1)log (1)log1xxxaaaxayyaaa，当1a时，由（ 1）知120xx，121xxaa，12011xxaa，121011xxaa，120yy，又120xx，0k；当01a时，由（ 1）知120xx，121xxaa，12110xxaa，12111xxaa，120yy，又120xx，0k函数( )f x图象上任意两点连线的斜率都大于0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页