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1、名师总结优秀知识点指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算(一)根式的概念1、如果,1nxa aR xR n,且nN,那么x叫做a的n次方根当n是奇数时,a的n次方根用符号na表示;当n是偶数时,正数a的正的n次方根用符号na表示,负的n次方根用符号na表示; 0 的n次方根是0;负数a没有n次方根2、式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数当n为奇数时,a为任意实数;当n为偶数时,0a3 、 根 式 的 性 质 :()nnaa; 当n为 奇 数 时 ,nnaa; 当n为 偶 数 时 , (0)| (0) nnaaaaaa(二)分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是:(0, ,
2、mnmnaaam nN且1)n0 的正分数指数幂等于02、正数的负分数指数幂的意义是:11()() (0,mmmnnnaam nNaa且1)n 0 的负分数指数幂没有意义注意口诀: 底数取倒数,指数取相反数3、a0=1 (a0) ap 1/ap (a0;pN)4、指数幂的运算性质(0, ,)rsrsaaaar sR()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba babrR 5、0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义。二、指数函数的概念一般地,函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R注意:1指数函数的定义是一个形式定义;2注意指数
3、函数的底数的取值范围不能是负数、零和1三、指数函数的图象和性质函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,+ )过定点图象过定点(0,1 ) ,即当 x=0 时, y=1奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页名师总结优秀知识点函数值的变化情况y 1(x 0), y=1(x=0), 0y1(x 0) y1(x 0), y=1(x=0), 0 y1(x 0) a变化对图象影响在第一象
4、限内,a越大图象越高,越靠近y 轴;在第二象限内,a越大图象越低,越靠近x 轴在第一象限内,a越小图象越高,越靠近y 轴;在第二象限内,a越小图象越低,越靠近x 轴注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在 a , b 上,)1a0a(a)x(fx且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f (2)若0x,则1)x(f;)x(f取遍所有正数当且仅当Rx(3)对于指数函数)1a0a(a)x(fx且,总有a)1(f(4)当1a时,若21xx,则)x(f)x(f21四、底数的平移对于任何一个有意义的指数函数:在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。在 f(X)后
5、加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。即 “上加下减,左加右减”五、幂的大小比较常用方法(1)比 差(商)法:( 2) 函数单调性法;( 3)中间值法:要比较A 与 B 的大小,先找一个中间值C,再比较A 与 C、 B与C的大小,由不等式的传递性得到A与 B 之间的大小。注意:( 1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。例如: y1=34,y2=35( 2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律 来判断。例如: y1=( 1/2 )4,y2=34, ( 3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以
6、利用中间值 来比较对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1 的大小)进行分组 ,再比较各组数的大小即可。在 比 较 两 个 幂 的 大 小 时 , 如 果 能 充 分 利 用 “1” 来 搭 “ 桥 ” ( 即 比 较 它 们 与“1”的大小),就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a 和 1 与指数x 与 0 之间的不等号同向时,ax大于1,异向时 ax小于1.对数函数及其性质一、对数与对数的运算(一)对数1对数的概念: 一般地, 如果Nax)1,0(aa,那么数x叫做以a为底N的对数, 记作:Nxalog(a 底数,N 真数
7、,Nalog 对数式)说明: 注意底数的限制0a,且1a;xNNaaxlog;注意对数的书写格式Nalog两个重要对数:常用对数:以10 为底的对数Nlg;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页名师总结优秀知识点 自然对数:以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln指数式与对数式的互化幂值真数ba NlogaN b 底数指数对数(二)对数的运算性质如果0a,且1a,0M,0N,那么:Ma(log)NMalogNalog; 2NMalogMalogNalog; 3naMlognMalog)(RnMaMannlog1lo
8、gbbaalogbabalog loga1=0 log a a=1 a log a N=N log a a b=b 注意:换底公式abbccalogloglog(0a,且1a;0c,且1c;0b) 推论 ( 利用换底公式) bmnbanamloglog;abbalog1log二、对数函数1、对数函数的概念:函数0(logaxya,且)1a叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+) 注意:对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:xy2log2,5log5xy都不是对数函数,而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制:0(a,且)1a三、对数函数的图像和性质:函数名
9、称对数函数定义函数log(0ayx a且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0),即当1x时,0y奇偶性非奇非偶xyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页名师总结优秀知识点单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxa变 化 对图象影响在第一象限内,a越大图象越靠低;在第四
10、象限内,a越大图象越靠高在第一象限内,a越大,图象越靠近x 轴在第四象限内,a越大,图象越靠近y 轴在第一象限内,a越小,图象越靠近x 轴在第四象限内,a越小,图象越靠近y 轴四、对数的平移、大小比较与指数函数类似反函数一、反函数定义设函数( )yfx的定义域为A, 值域为C, 从式子( )yf x中解出x, 得式子( )xy 如果对于y在C中的任何一个值,通过式子( )xy,x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么 式 子( )xy表 示x是y的 函 数 , 函 数( )xy叫 做 函 数( )yf x的 反 函 数 , 记 作1( )xfy,习惯上改写成1( )yfx二、反函数的求法确定反函
11、数的定义域,即原函数的值域;从原函数式( )yf x中反解出1( )xfy;将1( )xfy改写成1( )yfx,并注明反函数的定义域三、反函数的性质原函数( )yf x与反函数1( )yfx的图象关于直线yx对称函数( )yfx的定义域、值域分别是其反函数1( )yfx的值域、定义域若( , )P a b在原函数( )yf x的图象上,则( , )P b a在反函数1( )yfx的图象上一般地,函数( )yf x要有反函数则它必须为单调函数幂函数及其性质一、幂函数的定义一般地,函数yx叫做幂函数,其中x为自变量,是常数二、幂函数的图象函数特征性质y=x yx2yx3yx12yx1定义域R R
12、 R 0 ,)|x x0值域R 0 ,)R 0 ,)|y y0x)0,增x()0,增单调性增x(, 0减增增x(), 0减所过定点( 1, 1)( 0, 0)( 1, 1)( 0, 0)( 1, 1)( 0, 0)( 1, 1)( 0, 0)( 1, 1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页名师总结优秀知识点三、幂函数的性质1、 图象分布: 幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是 偶函数 时,图象分布在第一、二象限( 图象关于y轴对称 ) ;幂函数是 奇函数 时,图象分布在第一、三象限( 图象关于原点
13、对称) ;幂函数是 非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限2、 过定点: 所有的幂函数在(0,)都有定义,并且图象都通过点(1,1)3、 单调性: 如果0,则幂函数的图象过原点,并且在0,)上为增函数如果0,则幂函数的图象在(0,)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴4、 奇偶性: 当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数当qp(其中,p q互质,p和qZ) ,若p为奇数q为奇数时,则qpyx是奇函数,若p为奇数q为偶数时,则qpyx是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则qpyx是非奇非偶函数5、图象特征: 幂函数,(0,)yxx,当1时,若01x,其图象在直线yx下方,若1x,其图象在直线yx上方,当1时,若01x,其图象在直线yx上方,若1x,其图象在直线yx下方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页名师总结优秀知识点练习题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页