《2022年六年级奥数讲义卷分数的分拆》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年六年级奥数讲义卷分数的分拆(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载六 年 级 奥 数 讲 义 卷分 数 的 分 拆一、理解:分数的分拆就是设法将分数写成两个或几个分数的和或差的形式。二、分数的分拆常用等式:,(n、d 都是自然数)三、补充例题:计算:思路导航:观察发现,每个分数的分子都是3,而分母是两个自然数的乘积,且分子恰好等于分母的两个自然数的差,于是每个分数都可以拆成两个分数的差。四、练习:计算下面各题(1)(3)1n( n1)1n1n 1dn( n d)1n1n d31 437 10310 13313 16316 1934 71812414818011201216112120130142156172精选学习资料 - - - - - -
2、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页学习必备欢迎下载(4)(5)(6)(7)1 3 5 11 思考:单位分数分拆把 1/28 表示为两个不同的单位分数之和,共有多少种不同的表示方法? (次序不同算同一种)zxc把 1/28 表示为两个不同的单位分数之和,共有多少种不同的表示方法? (次序不同算同一种)28 的约数有 1、2、4、7、14、28 (取 1、2)1/28=(1+2)/28* (1+2)=1/84+1/42 (取 1、4)1/28=(1+4)/28* (1+4)=1/140+1/35 (取 1、7)1/28=(1+7)/28* (1+7)=1/
3、224+1/32 (取 1、14)1/28=(1+14)/28* (1+14)=1/420+1/30 11 414 717 10125 28211 13213 15215 17217 1911931 434 737 10310 13313 16316 1911 2 312 3 413 4 5198 99 10032 535 835 11317 2011 2 3 412 3 4 513 4 5 6117 18 19 20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习必备欢迎下载(取 1、28)1/28=(1+28)/28* (
4、1+28)=1/812+1/29 (取 2、4)1/28=(2+4)/28* (2+4)=1/84+1/42 (重复)(取 2、7)1/28=(2+7)/28* (2+7)=1/126+1/36 (取 2、14)1/28=(2+14)/28* (2+14)=1/224+1/32 (重复)(取 2、28)1/28=(2+28)/28* (2+28)=1/420+1/30 (重复)(取 4、7)1/28=(4+7)/28* (4+7)=1/77+1/44 (取 4、14)1/28=(4+14)/28* (4+14)=1/126+1/36 (重复)(取 4、28)1/28=(4+28)/28* (4
5、+28)=1/224+1/32 (重复)(取 7、14)1/28=(7+14)/28* (7+14)=1/84+1/42 (重复)(取 7、28)1/28=(7+28)/28* (7+28)=1/140+1/35 (重复)(取 14、28)1/28=(14+28)/28* (14+28)=1/84+1/42 (重复)所以有 1/28=1/84+1/42=1/140+1/35=1/224+1/32=1/420+1/30=1/812+1/29=1/126+1/36=1/77+1/44 ,共 7 种不同的方法。测试1/28=1/a+1/b ,ab=28(a+b) ,ab-28a-28b=0 ,(a-
6、28)(b-28)=282=(24)*(72),显然, a, b28 ;(24)*(72)有 5*3=15 个不同的因数,有7 个小于 28,有 7 个大于 28 不妨设 ab,则 a-28b-28 ;且当 a-28 取遍(24)*(72)的小于 28 的因数时, b-28 对应地取遍 (24)*(72)的大于28 的因数;因此满足要求的解共7个过路人对小学而言,例举会简明一些。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习必备欢迎下载我的方法:对分母进行质因数分解,如N=a b, a,b 均为质数,则可以分拆成:1/N=1
7、/(a b)=(1/a) 1/(b+1)+1/b(b+1)=(1/b)1/(a+1)+1/a(a+1)=1/a(a+b)+1/b(a+b) 如 N=a bc, a,b,c均为质数,则可以分拆成:1/N=1/(a bc)=(1/ab) 1/(c+1)+1/c(c+1)=(1/c)1/(ab+1)+1/ab(ab+1)=(1/bc) 1/(a+1)+1/a(a+1)=(1/a)1/(bc+1)+1/bc(bc+1)=(1/ac) 1/(b+1)+1/b(b+1)=(1/b)1/(ac+1)+1/ac(ac+1)=1/ac(a+b)+1/bc(a+b)=1/ab(a+c)+1/bc(a+c)=1/a
8、b(b+c)+1/ac(b+c) =1/(abc+1)+1/abc(abc+1)。(注: abc 表示 abc,其他同理。)质数合数分解质因数一、质数与合数的概念自然数可以按约数(即因数)的个数进行分类:质数:只能被 1 和自身整除的自然数叫质数, 即质数只有两个约数 (即因数): 1 和它本身。如 2、3、5 等合数:除了能被1 和自身整除外,还有能被其他整数整除的自然数叫合数,即,合数的约数(即因数)多于2 个,除了 1 和它本身外,还有别的约数(即因数)。如 4、6、8 等等1 1 不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自然数只有 1 精选学习资料 - - - - - - - - -
9、 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载注意: 1 不能质数也不是合数 2 是最小的质数,也是质数中唯一的偶数 4 是最小的合数100 以内的质数有 25 个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。二、质数与合数的应用例 13 个质数的和是 80,这 3 个质数的积最大是多少?解析:由于 3 个数的和是偶数,所以这3 个数中必有一个是偶数,在质数中只有 2 是偶数,所以 3 个数中一定有 2。另两个质数的和是78,要使乘积最大,这两个质数应该相差尽可能小,显
10、然,和是 78 的两个质数, 41 和 37 的差最小,即这两个数的积是最大。23741=3034这 3 个质数乘积最大是3034。例 2一个两位质数,将它的十位数字与个位数字对调后,仍是一个两位质数,我们称这样的两位质数为“无暇质数”,则所有“无暇质数”之和等于多少?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页学习必备欢迎下载解析:设“无暇质数”为ab,那么 ba 也是质数因此,a、b 无为奇数,容易检验,“无暇质数”分别是11、13、17、31、37、71、73、79、97 共 9 个所以,它们的和 =11+13+17+3
11、1+37+71+73+79+97=429 例 3正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数,并且相对两个面所写的两数之和都相等。若18 对面所写的质数是a,14对面所写的质数是b,35 对面所写的质数是 c,那么 a+b+c=?解析:由题意可知18+a=14+b=35+c ,要想等式成立, a、b、c 的奇偶性应分别为奇、奇、偶或偶、偶、奇。而a、b、c 均为质数,所以只有c=2成立,此时 b=23,a=19,所以 a+b+c=44 例 4 一个质数的 2 倍与另一个质数的 3倍之和是 100, 这两个质数的积是多少?解析:一个质数的2 倍是一个偶数,由于和是100,也是偶数,所以另一个质数的 3
12、倍应该是偶数,即另一个质数是偶数,即是2,我们可以把剩余的那个质数求出来,是 47,两个质数之积是247=94三、分解质因数的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页学习必备欢迎下载质因数:如果一个数的约数(即因数)是质数,这个约数(即因数)就叫做这个数的质因数。分解质因数:就是把一个数表示成质因数乘积的形式,如: 12=223例 1四个连续自然数的积是360,求这四个自然数解析:360=222335=3(22)5(23)=3456例 2把 9、15、28、30、34、55、77、85 这八个数平均分成两组,使每组里四
13、个数的乘积相等解析:把八个数平均分成两组,每组四个数,要使两组数的乘积相等,这两组数的乘积中所含有的质因数应该完全相同。因此,我们可以先把这八个数分解质因数,然后根据这些质因数进行分组。9=3315=3528=22730=23534=21755=51177=71185=517从上面 18个质因数中可以看出,每组四个数的乘积中,都必须含有两个2,两个 3,两个 5,一个 7,一个 11 和一个 17。因此,这两组数分别是( 9,28,55,85)和(15,30,34,77)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页学习必备欢迎
14、下载例 3小明是个中学生,他说:“这次考试,我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数,结果是2910,你能算出小明的名次、年龄和分数吗?解析: 2910=名次年龄分数,可以看出,名次、年龄和分数分别是2910的因数,将 2910分解质因数 =23597 =2(35)97=21597所以,他得第 2 名,年龄是 15岁,得分是 97 分例 4王老师带领一班学生去种树,学生恰好平均分成3 组,已知师生每人种的树一样多,共种了572 棵,那么,这班学生有多少人,每人种多少棵树?解析:572=师生人数每人种的棵数 =(学生人数 +1)每人种的棵数=221113=44( 1+12)或 =11(1+51)很
15、明显, 1+51为师生总人数更符题意。所以,学生为 51 人,每人种 11 棵树例 5某商店卖每支 5 角的铅笔,很少有人买。于是,该店进行降价销售,结果全部卖光,共卖得31.93 元. 问: 这种铅笔共多少支 ?每支降价多少元 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页学习必备欢迎下载解析: 把上面的单位统一化成分 , 总价=单价支数而 3193=31103,由题可知, 每支铅笔原价是 5 角, 可以看出 : 降价后 , 每支铅笔的单价是31 分, 即 0.31 元,共 103支铅笔 . 每支降价 0.5-0.31=0.19元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页