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1、学习必备欢迎下载六 年 级 奥 数 讲 义 卷分 数 的 分 拆一、理解：分数的分拆就是设法将分数写成两个或几个分数的和或差的形式。二、分数的分拆常用等式：，（n、d 都是自然数）三、补充例题：计算：思路导航：观察发现，每个分数的分子都是3，而分母是两个自然数的乘积，且分子恰好等于分母的两个自然数的差，于是每个分数都可以拆成两个分数的差。四、练习：计算下面各题（1）（3）1n（ n1）1n1n 1dn（ n d）1n1n d31 437 10310 13313 16316 1934 71812414818011201216112120130142156172精选学习资料 - - - - - -
2、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载（4）（5）（6）（7）1 3 5 11 思考：单位分数分拆把 1/28 表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种）zxc把 1/28 表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种）28 的约数有 1、2、4、7、14、28 （取 1、2）1/28=（1+2）/28* （1+2）=1/84+1/42 （取 1、4）1/28=（1+4）/28* （1+4）=1/140+1/35 （取 1、7）1/28=（1+7）/28* （1+7）=1/
3、224+1/32 （取 1、14）1/28=（1+14）/28* （1+14）=1/420+1/30 11 414 717 10125 28211 13213 15215 17217 1911931 434 737 10310 13313 16316 1911 2 312 3 413 4 5198 99 10032 535 835 11317 2011 2 3 412 3 4 513 4 5 6117 18 19 20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载（取 1、28）1/28=（1+28）/28* （
4、1+28）=1/812+1/29 （取 2、4）1/28=（2+4）/28* （2+4）=1/84+1/42 （重复）（取 2、7）1/28=（2+7）/28* （2+7）=1/126+1/36 （取 2、14）1/28=（2+14）/28* （2+14）=1/224+1/32 （重复）（取 2、28）1/28=（2+28）/28* （2+28）=1/420+1/30 （重复）（取 4、7）1/28=（4+7）/28* （4+7）=1/77+1/44 （取 4、14）1/28=（4+14）/28* （4+14）=1/126+1/36 （重复）（取 4、28）1/28=（4+28）/28* （4
5、+28）=1/224+1/32 （重复）（取 7、14）1/28=（7+14）/28* （7+14）=1/84+1/42 （重复）（取 7、28）1/28=（7+28）/28* （7+28）=1/140+1/35 （重复）（取 14、28）1/28=（14+28）/28* （14+28）=1/84+1/42 （重复）所以有 1/28=1/84+1/42=1/140+1/35=1/224+1/32=1/420+1/30=1/812+1/29=1/126+1/36=1/77+1/44 ，共 7 种不同的方法。测试1/28=1/a+1/b ，ab=28(a+b) ，ab-28a-28b=0 ，(a-
6、28)(b-28)=282=(24)*(72)，显然， a, b28 ；(24)*(72)有 5*3=15 个不同的因数，有7 个小于 28，有 7 个大于 28 不妨设 ab，则 a-28b-28 ；且当 a-28 取遍(24)*(72)的小于 28 的因数时， b-28 对应地取遍 (24)*(72)的大于28 的因数；因此满足要求的解共7个过路人对小学而言，例举会简明一些。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载我的方法：对分母进行质因数分解，如N=a b， a,b 均为质数，则可以分拆成：1/N=1
7、/(a b)=(1/a) 1/(b+1)+1/b(b+1)=(1/b)1/(a+1)+1/a(a+1)=1/a(a+b)+1/b(a+b) 如 N=a bc， a,b,c均为质数，则可以分拆成：1/N=1/(a bc)=(1/ab) 1/(c+1)+1/c(c+1)=(1/c)1/(ab+1)+1/ab(ab+1)=(1/bc) 1/(a+1)+1/a(a+1)=(1/a)1/(bc+1)+1/bc(bc+1)=(1/ac) 1/(b+1)+1/b(b+1)=(1/b)1/(ac+1)+1/ac(ac+1)=1/ac(a+b)+1/bc(a+b)=1/ab(a+c)+1/bc(a+c)=1/a
8、b(b+c)+1/ac(b+c) =1/(abc+1)+1/abc(abc+1)。（注： abc 表示 abc，其他同理。）质数合数分解质因数一、质数与合数的概念自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类：质数：只能被 1 和自身整除的自然数叫质数， 即质数只有两个约数 （即因数）： 1 和它本身。如 2、3、5 等合数：除了能被1 和自身整除外，还有能被其他整数整除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2 个，除了 1 和它本身外，还有别的约数（即因数）。如 4、6、8 等等1 1 不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自然数只有 1 精选学习资料 - - - - - - - - -
9、 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载注意： 1 不能质数也不是合数 2 是最小的质数，也是质数中唯一的偶数 4 是最小的合数100 以内的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。二、质数与合数的应用例 13 个质数的和是 80，这 3 个质数的积最大是多少？解析：由于 3 个数的和是偶数，所以这3 个数中必有一个是偶数，在质数中只有 2 是偶数，所以 3 个数中一定有 2。另两个质数的和是78，要使乘积最大，这两个质数应该相差尽可能小，显
10、然，和是 78 的两个质数， 41 和 37 的差最小，即这两个数的积是最大。23741=3034这 3 个质数乘积最大是3034。例 2一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称这样的两位质数为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载解析：设“无暇质数”为ab，那么 ba 也是质数因此，a、b 无为奇数，容易检验，“无暇质数”分别是11、13、17、31、37、71、73、79、97 共 9 个所以，它们的和 =11+13+17+3
11、1+37+71+73+79+97=429 例 3正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等。若18 对面所写的质数是a，14对面所写的质数是b，35 对面所写的质数是 c，那么 a+b+c=？解析：由题意可知18+a=14+b=35+c ，要想等式成立， a、b、c 的奇偶性应分别为奇、奇、偶或偶、偶、奇。而a、b、c 均为质数，所以只有c=2成立，此时 b=23，a=19，所以 a+b+c=44 例 4 一个质数的 2 倍与另一个质数的 3倍之和是 100， 这两个质数的积是多少？解析：一个质数的2 倍是一个偶数，由于和是100，也是偶数，所以另一个质数的 3
12、倍应该是偶数，即另一个质数是偶数，即是2，我们可以把剩余的那个质数求出来，是 47，两个质数之积是247=94三、分解质因数的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载质因数：如果一个数的约数（即因数）是质数，这个约数（即因数）就叫做这个数的质因数。分解质因数：就是把一个数表示成质因数乘积的形式，如： 12=223例 1四个连续自然数的积是360，求这四个自然数解析：360=222335=3（22）5（23）=3456例 2把 9、15、28、30、34、55、77、85 这八个数平均分成两组，使每组里四
13、个数的乘积相等解析：把八个数平均分成两组，每组四个数，要使两组数的乘积相等，这两组数的乘积中所含有的质因数应该完全相同。因此，我们可以先把这八个数分解质因数，然后根据这些质因数进行分组。9=3315=3528=22730=23534=21755=51177=71185=517从上面 18个质因数中可以看出，每组四个数的乘积中，都必须含有两个2，两个 3，两个 5，一个 7，一个 11 和一个 17。因此，这两组数分别是（ 9，28，55，85）和（15，30，34，77）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎
14、下载例 3小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910，你能算出小明的名次、年龄和分数吗？解析： 2910=名次年龄分数，可以看出，名次、年龄和分数分别是2910的因数，将 2910分解质因数 =23597 =2（35)97=21597所以，他得第 2 名，年龄是 15岁，得分是 97 分例 4王老师带领一班学生去种树，学生恰好平均分成3 组，已知师生每人种的树一样多，共种了572 棵，那么，这班学生有多少人，每人种多少棵树？解析：572=师生人数每人种的棵数 =（学生人数 +1）每人种的棵数=221113=44（ 1+12）或 =11（1+51）很
15、明显， 1+51为师生总人数更符题意。所以，学生为 51 人，每人种 11 棵树例 5某商店卖每支 5 角的铅笔，很少有人买。于是，该店进行降价销售，结果全部卖光，共卖得31.93 元. 问: 这种铅笔共多少支 ?每支降价多少元 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载解析: 把上面的单位统一化成分 , 总价=单价支数而 3193=31103,由题可知, 每支铅笔原价是 5 角, 可以看出 : 降价后 , 每支铅笔的单价是31 分, 即 0.31 元,共 103支铅笔 . 每支降价 0.5-0.31=0.19元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
