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1、学习必备欢迎下载第二讲直线与平面平行、两个平面平行知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种,即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内. 2.直线与平面平行的判定:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线与交线平行 . 4.两个平面平行的判定定理:如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 5.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面都与第三个平面相交,那么交线平行. 点击双基1.设有平面 、 和直线 m、n,则 m 的一个充分条
2、件是A.且 mB. =n 且 mn C.mn 且 nD.且 m答案: D 2.(20XX 年北京, 3)设 m、n 是两条不同的直线,、 、是三个不同的平面.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是若 m ,n ,则 mn若 ,m,则 m若 m ,n ,则 mn 若 ,则 A.B.C.D.解析:显然正确.中 m 与 n 可能相交或异面 .考虑长方体的顶点,与可以相交 . 答案: A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A.异面B.相交C.平行D.不能确定解析:设 =l,a,a,过直线 a 作与 、都相交的平面,记=b,=c,则 ab 且 ac,bc.
3、又 b,=l, bl.al. 答案: C abcl4.(文)设平面平面 ,A、C, B、D ,直线 AB 与 CD 交于点 S,且 AS=8,BS=9, CD=34,当 S在、之间时, SC=_,当 S不在 、 之间时, SC=_. 解析: ACBD, SAC SBD, SC=16, SC=272. 答案: 16 272 (理)设D 是线段 BC 上的点, BC平面 ,从平面 外一定点A(A 与 BC 分居平面两侧)作AB、AD、AC 分别交平面 于 E、F、G 三点, BC=a,AD=b,DF=c,则 EG=_. 解析:解法类同于上题. 答案:bacab5.在四面体ABCD 中, M、N 分
4、别是面 ACD、 BCD 的重心,则四面体的四个面中与MN 平行的是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页学习必备欢迎下载ABCDMN.解析:连结AM 并延长,交CD 于 E,连结 BN 并延长交CD 于 F,由重心性质可知,E、F 重合为一点,且该点为CD 的中点 E,由MAEM=NBEN=21得 MNAB,因此, MN平面 ABC 且 MN平面 ABD. 答案:平面ABC、平面 ABD1.(20XX 年春季北京, 3)下列命题中,正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是
5、异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案: C 2.设 a、b 是两条互不垂直的异面直线,过a、b 分别作平面 、 ,对于下面四种情况:b,b, .其中可能的情况有A.1 种B.2 种C.3 种D.4 种解析:都有可能,不可能,否则有ba与已知矛盾 . 答案: C 3.、是两个不重合的平面, a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定的是A.、都平行于直线a、bB.内有三个不共线点到 的距离相等C.a、 b 是内两条直线,且a,bD.a、b 是两条异面直线且a,b,a,b解析: A 错,若 ab,则不能断定 ;B 错,若 A、B、C 三点不在 的同
6、一侧,则不能断定;C 错,若 ab,则不能断定 ;D 正确 . 答案: D 4.a、b、为三条不重合的直线,、 为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题:aaacacccbababacbca;其中正确的命题是_.(将正确的序号都填上)答案:典例剖析【例 1】 如下图,两个全等的正方形ABCD 和 ABEF 所在平面相交于AB,MAC,NFB 且 AM=FN,求证:MN平面 BCE. QABCDMPFEN证法一:过M 作 MPBC,NQBE,P、Q 为垂足(如上图) ,连结 PQ. MPAB,NQAB, MP NQ. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
7、- - - - - -第 2 页,共 13 页学习必备欢迎下载又 NQ=22BN=22CM=MP, MPQN 是平行四边形. MNPQ,PQ平面 BCE. 而 MN平面 BCE,MN平面 BCE. 证法二:过M 作 MGBC,交 AB 于点 G(如下图),连结 NG. GABCDMFENMGBC,BC平面 BCE,MG平面 BCE,MG平面 BCE. 又GABG=MACM=NFBN,GNAFBE,同样可证明GN平面 BCE. 又面 MGNG=G,平面 MNG平面 BCE.又 MN平面 MNG .MN平面 BCE. 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:利用直线和平面平行的判定定理,
8、通过“线线”平行,证得 “线面”平行;利用两平面平行的性质定理,通过“面面”平行,证得“线面”平行. 【例 2】 如下图,正方体ABCDA1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且 B1E=C1F.求证: EF平面 ABCD . ADBCBCD1111E F GMN证法一:分别过E、F 作 EMAB 于点 M, FNBC 于点 N,连结 MN. BB1平面 ABCD,BB1AB, BB1BC. EMBB1,FNBB1. EMFN. 又 B1E=C1F, EM=FN. 故四边形MNFE 是平行四边形. EFMN.又 MN 在平面 ABCD 中,EF平面 ABCD. 证法二:
9、过E 作 EGAB 交 BB1于点 G,连结 GF,则ABEB11=BBGB11. B1E=C1F,B1A=C1B,BCFC11=BBGB11. FGB1C1BC. 又 EGFG=G,AB BC=B,平面 EFG平面 ABCD.而 EF 在平面 EFG 中,EF平面 ABCD. 评述:证明线面平行的常用方法是:证明直线平行于平面内的一条直线;证明直线所在的平面与已知平面平行. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页学习必备欢迎下载【例 3】 已知正四棱锥PABCD 的底面边长及侧棱长均为13,M、N 分别是 PA、BD
10、 上的点, 且 PMMA=BNND=5 8. BCDEOMNP(1)求证:直线MN平面 PBC;(2)求直线 MN 与平面 ABCD 所成的角 . (1)证明: PABCD 是正四棱锥,ABCD 是正方形 .连结 AN 并延长交BC 于点 E,连结 PE. ADBC, ENAN=BNND. 又 BNND=PMMA,ENAN=PM MA. MNPE. 又 PE 在平面 PBC 内, MN平面 PBC. (2)解:由( 1)知 MNPE, MN 与平面 ABCD 所成的角就是PE 与平面 ABCD 所成的角 . 设点 P 在底面 ABCD 上的射影为O,连结 OE,则 PEO 为 PE 与平面 A
11、BCD 所成的角 . 由正棱锥的性质知PO=22OBPB=2213. 由( 1)知, BEAD=BN ND=58,BE=865. 在 PEB 中, PBE=60, PB=13, BE=865,根据余弦定理,得PE=891. 在 Rt POE 中, PO=2213,PE=891,sin PEO=PEPO=724. 故 MN 与平面 ABCD 所成的角为arcsin724. 思考讨论证线面平行,一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法,作出线与面所成的角.本题若直接求MN 与平面 ABCD 所成的角,计算困难,而平移转化为PE 与平面 ABCD 所成的角则计算容易.可见平移是求线线
12、角、线面角的重要方法. 闯关训练夯实基础1.两条直线a、b 满足 ab,b,则 a 与平面 的关系是A.aB.a 与相交C.a 与不相交D.a答案: C 2.a、b 是两条异面直线,A 是不在 a、b 上的点,则下列结论成立的是A.过 A 有且只有一个平面平行于a、b B.过 A 至少有一个平面平行于a、bC.过 A 有无数个平面平行于a、b D.过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在解析:过点A 可作直线a a,b b,则 a b=A. a、 b可确定一个平面,记为. 如果 a,b ,则 a,b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
13、 4 页,共 13 页学习必备欢迎下载由于平面 可能过直线a、b 之一,因此,过A且平行于a、b 的平面可能不存在. 答案: D 3.(20XX 年全国, 16)已知 a、b 为不垂直的异面直线,是一个平面,则a、 b在 上的射影有可能是两条平行直线;两条互相垂直的直线;同一条直线;一条直线及其外一点. 在上面结论中,正确结论的编号是_.(写出所有正确结论的编号)解析: A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行;AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直;DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. ABCDBCD1111答案:4.已知 Rt ABC 的
14、直角顶点C 在平面 内,斜边AB,AB=26,AC、BC 分别和平面 成 45和 30角,则 AB 到平面 的距离为 _. 解析:分别过A、B 向平面 引垂线 AA、 BB,垂足分别为A、 B. AABBC设 AA=BB=x,则 AC2=(45sinx)2=2x2,BC2=(30sinx)2=4x2. 又 AC2+BC2=AB2, 6x2=( 26)2,x=2. 答案: 2 5.如下图,四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的正方形,侧棱PA底面 ABCD,侧面 PBC 内有 BEPC 于 E,且 BE=36a,试在 AB 上找一点F,使 EF平面 PAD. ABCDEPGF解:在面PCD 内作
15、 EG PD 于 G,连结 AG. PA平面 ABCD,CDAD,CDPD.CDEG. 又 ABCD, EGAB. 若有 EF平面 PAD,则 EFAG,四边形AFEG 为平行四边形,得EG=AF. CE=22)36(aa=33a , PBC为 直 角 三 角 形 , BC2=CE CPCP=3a ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页学习必备欢迎下载ABAF=CDEG=PCPE=aaa3333=32. 故得 AFFB=21 时, EF平面 PAD. 6.如下图,设P 为长方形ABCD 所在平面外一点,M、N 分别为
16、 AB、PD 上的点,且MBAM=NPDN,求证:直线MN平面 PBC. ABCDMNPQR分析:要证直线MN平面 PBC,只需证明MN平面 PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面平面PBC. 证法一:过N 作 NRDC 交 PC 于点 R,连结 RB,依题意得NRNRDC=NPDN=MBAM= MBMBAB=MBMBDCNR=MB.NRDCAB,四边形MNRB 是平行四边形 .MNRB.又 RB平面 PBC,直线 MN平面 PBC. 证法二:过N 作 NQAD 交 PA 于点 Q,连结 QM,MBAM=NPDN=QPAQ, QMPB.又 NQ ADBC,平面MQN平面 PBC.直线 MN
17、平面 PBC. 证法三:过N 作 NRDC 交 PC 于点 R,连结 RB,依题意有ABBM=PDPN=DCNR,NR=MB,BR=BM+MN+ NR=MN.MNRB.又 RB平面 PBC,直线MN平面 PBC. 培养能力7.已知 l 是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD 所在平面的交线, (1)求证: D1B1 l;(2)若 AB=a,求 l 与 D1间的距离 . AADBCBCD1111l(1)证明:ADCBBCDG1111lD1B1BD,D1B1平面 ABCD. 又平面 ABCD平面 AD1B1=l,D1B1l. (2)解: D1D平面 ABCD ,在
18、平面 ABCD 内,由 D 作 DGl 于 G,连结 D1G,则 D1Gl,D1G 的长即等于点D1与 l 间的距离 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页学习必备欢迎下载 lD1B1 BD, DAG=45. DG=22a,D1G=212DDDG=2221aa=26a. 探究创新8.如下图,在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中, AA1=21AB,点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点,过点A1、B、M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1于点 N. AADDBBCC1111M NE(1)求证: EM平面 A
19、1B1C1D1;(2)求二面角BA1NB1的正切值;(3)设截面 A1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2(V1V2) ,求 V1 V2的值 . (1)证明:设A1B1的中点为F,连结 EF、FC1. E 为 A1B 的中点, EF21B1B. AABBCCDDEFNMPH1111又 C1M21B1B, EFMC1. 四边形EMC1F 为平行四边形 . EMFC1.EM平面 A1B1C1D1,FC1平面 A1B1C1D1,EM平面 A1B1C1D1. (2)解:作 B1HA1N 于 H,连结 BH. BB1平面 A1B1C1D1, BHA1N. BHB1为二面角 BA1N
20、B1的平面角 . EM平面 A1B1C1D1,EM平面 A1BMN,平面 A1BMN平面 A1B1C1D1=A1N,EMA1N. 又 EMFC1, A1NFC1. 又 A1FNC1,四边形A1FC1N 是平行四边形.NC1=A1F. 设 AA1=a,则 A1B1=2a,D1N=a. 在 Rt A1D1N 中,A1N=21211NDDA=5a,sin A1ND1=NADA111=52. 在 Rt A1B1H 中, B1H=A1B1sinHA1B1=2a52=54a. 在 Rt BB1H 中,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共
21、13 页学习必备欢迎下载tanBHB1=HBBB11=aa54=45. (3)解:延长A1N 与 B1C1交于 P,则 P平面 A1BMN,且 P平面 BB1C1C. 又平面A1BMN平面 BB1C1C=BM,PBM,即直线A1N、B1C1、BM 交于一点P. 又平面MNC1平面 BA1B1,几何体MNC1BA1B1为棱台 .(没有以上这段证明,不扣分)S11BBA=212aa=a2,S1MNC=21a21a=41a2,棱台 MNC1BA1B1的高为 B1C1=2a,V1=312a (a2+2241aa+41a2)=67a3, V2=2a2aa67a3=617a3. 21VV=177. 思悟小
22、结1.直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、 直线与平面相交、直线与平面平行,后者又统称为直线在平面外. 2.辅助线(面)是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往需要作辅助线(面). 【例 1】 设平面 平面 ,AB、CD 是两条异面直线,M、N 分别是AB、CD 的中点,且A、C, B、D,求证: MN平面 . ABCDEMN剖析:因为AB 与 CD 是异面直线,故MN 与 AC、 BD 不平行 .在平面 、中不易找到与MN 平行的直线,所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻,于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行,即需找一个过MN 且与平行的平面 .根
23、据 M、N 是异面直线上的中点这一特征,连结BC,则此时 AB、BC 共面,即 BC 为沟通 AB、CD 的桥梁,再取BC 的中点 E,连结 ME、NE,用中位线知识可证得. 证明:连结BC、AD,取 BC 的中点 E,连结 ME、NE,则 ME 是 BAC 的中位线,故MEAC,ME, ME.同理可证, NEBD.又 ,设 CB 与 DC 确定的平面BCD 与平面 交于直线 CF,则 CFBD,NECF.而NE平面 ,CF,NE.又 MENE=E,平面 MNE,而 MN平面 MNE, MN平面 . 【例 2】 如下图,在空间六边形(即六个顶点没有任何五点共面)ABCC1D1A1中,每相邻的两
24、边互相垂直,边长均等于 a,并且 AA1CC1.求证:平面A1BC1平面 ACD1. AABCCD111证法一:作正方形BCC1B1和 CC1D1D,并连结 A1B1和 AD. AA1CC1BB1DD1,且 AA1AB,AA1 A1D1,ABB1A1和 AA1D1D 都是正方形,且ACC1A1是平行四边形 . 故它们的对应边平行且相等. ABC A1B1C1, A1B1 B1C1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页学习必备欢迎下载同理, ADCD. BB1AB, BB1BC, BB1平面 ABC. 同理, DD1
25、平面 ACD. BB1DD1, BB1平面 ACD. A、B、C、D 四点共面 . ABCD 为正方形 . 同理, A1B1C1D1也是正方形 . DDAACCBB1111故 ABCDA1B1C1D1是正方体 . 易知 A1C1AC,A1C1平面 ACD1. 同理, BC1平面 ACD1,平面 A1BC1平面 ACD1. 证法二:证ABCDA1B1C1D1是正方体,同上. 连结 B1D、B1D1,则 B1D1是 B1D 在底面 ABCD 上的射影,由三垂线定理知B1DA1C1,同理可证B1DBA1,B1D平面 A1BC1. 同理可证, B1D平面 ACD1,平面 A1BC1平面 ACD1. 思
26、考讨论证明面面平行的常用方法:利用面面平行的判定定理;证明两个平面垂直于同一条直线. 【例 3】 如下图,在正方体ABCD A1B1C1D1中, M、N、P 分别是 C1C、B1C1、 C1D1的中点,求证:ADDBBCC1111NPM(1)APMN;(2)平面 MNP平面 A1BD. 证明:(1)连结 BC1、B1C,则 B1C BC1, BC1是 AP 在面 BB1C1C 上的射影 .APB1C. 又 B1CMN, APMN. (2)连结 B1D1, P、N 分别是 D1C1、B1C1的中点,PNB1D1.又 B1D1BD,PNBD.又 PN 不在平面A1BD 上,PN平面 A1BD. 同
27、理, MN平面 A1BD.又 PNMN=N,平面 PMN平面 A1BD. 评述:将空间问题转化为平面问题,是解决立体几何问题的重要策略,关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、 P 都为中点,故添加B1C、BC1作为联系的桥梁. 夯实基础1.(20XX 年上海)在下列条件中,可判断平面与 平行的是A.、都垂直于平面B.内存在不共线的三点到的距离相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页学习必备欢迎下载C.l、m 是内两条直线,且l ,mD.l、m 是两条异面直线,且l ,m,l,m答案: D 2.设平面 ,A、C
28、,B、D,直线 AB 与 CD 交于 S, 若 AS=18,BS=9,CD=4,则 CS=_. 解析:如图(1) ,由 可知 BDAC,SASB=SCSD,即189=SCSC34, SC=68. SSAABBCC(1)(2)DD如图( 2) ,由 知 ACBD,SBSA=SDSC=SCCDSC,即918=SCSC34. SC=368. 答案: 68 或3683.如图甲,在透明塑料制成的长方体ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水,固定容器底面一边BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个命题:AAAABBBBCCCCDDDDEEFFGGHH11111111甲乙水的部分始终呈
29、棱柱状;水面四边形EFGH 的面积不改变;棱 A1D1始终与水面EFGH 平行;当容器倾斜如图乙时,EFBF 是定值 . 其中正确命题的序号是_. 解析:对于命题,由于BC 固定,所以在倾斜的过程中,始终有ADEHFGBC,且平面 AEFB平面 DHGC,故水的部分始终呈棱柱状(四棱柱或三棱柱、五棱柱),且 BC 为棱柱的一条侧棱,命题正确.对于命题,当水是四棱柱或五棱柱时,水面面积与上下底面面积相等;当水是三棱柱时,则水面面积可能变大,也可能变小,故不正确.是正确的(请给出证明) .是正确的,由水的体积的不变性可证得.综上所述,正确命题的序号是. 答案:1.两条直线a、b 满足 ab,b,则
30、 a 与平面 的关系是A.aB.a 与相交C.a 与不相交D.a答案: C 2.a、b 是两条异面直线,A 是不在 a、b 上的点,则下列结论成立的是A.过 A 有且只有一个平面平行于a、b B.过 A 至少有一个平面平行于a、bC.过 A 有无数个平面平行于a、b D.过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在解析:过点A 可作直线a a,b b,则 a b=A. a、 b可确定一个平面,记为. 如果 a,b ,则 a,b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页学习必备欢迎下载由于平面 可能过直线a、b 之一,因此
31、,过A且平行于a、b 的平面可能不存在. 答案: D 3.(20XX 年全国, 16)已知 a、b 为不垂直的异面直线,是一个平面,则a、 b在 上的射影有可能是两条平行直线;两条互相垂直的直线;同一条直线;一条直线及其外一点. 在上面结论中,正确结论的编号是_.(写出所有正确结论的编号)解析: A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行;AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直;DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. ABCDBCD1111答案:4.已知 Rt ABC 的直角顶点C 在平面 内,斜边AB,AB=26,AC、BC 分别和平面 成 4
32、5和 30角,则 AB 到平面 的距离为 _. 解析:分别过A、B 向平面 引垂线 AA、 BB,垂足分别为A、 B. AABBC设 AA=BB=x,则 AC2=(45sinx)2=2x2,BC2=(30sinx)2=4x2. 又 AC2+BC2=AB2, 6x2=( 26)2,x=2. 答案: 2 4.如下图,两条线段AB、CD 所在的直线是异面直线,CD平面 ,AB,M、 N 分别是 AC、BD 的中点,且AC 是 AB、CD 的公垂线段 . ABBCDEMN(1)求证: MN;(2)若 AB=CD=a,AC=b,BD=c,求线段MN 的长 . (1)证明:过B 作 BB ,垂足为B,连结
33、CB、 DB,设 E 为 BD 的中点,连结 NE、CE,则 NEBB且 NE=21BB,又 AC=BB,MCNE,即四边形MCEN 为平行四边形(矩形). MNCE.又 CE,MN, MN. (2)解:由( 1)知 MN=CE,AB=CB=a=CD,BD=22BBBD=22bc,CE=)(41222bca=2224141cba,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页学习必备欢迎下载即线段 MN 的长为2224141cba. 5.如下图,在正方体ABCDA1B1C1D1中, AB=a. AADDBBCC11111MN
34、OO(1)求证:平面AD1B1平面 C1DB;(2)求证: A1C平面 AD1B1;(3)求平面 AB1D1与平面 BC1D 之间的距离 . (1)证明: D1B1DB, D1B1平面 C1DB. 同理, AB1平面 C1DB. 又 D1B1AB1=B1,平面 AD1B1平面 C1DB. (2)证明: A1C1D1B1,而 A1C1为 A1C 在平面 A1B1C1D1上的射影, A1C1D1B1. 同理, A1CAB1,D1B1AB1=B1. A1C平面 AD1B1. (3)解:设 A1C平面 AB1D1=M,A1C平面 BC1D=N, O1、O 分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD
35、的中心 . 则 MAO1,NC1O,且 AO1C1O,MN 的长等于平面AD1B1与平面 C1DB 的距离,即MN=A1M=NC=31A1C=33a. 5.如下图,四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的正方形,侧棱PA底面 ABCD,侧面 PBC 内有 BEPC 于 E,且 BE=36a,试在 AB 上找一点F,使 EF平面 PAD. ABCDEPGF解:在面PCD 内作 EG PD 于 G,连结 AG. PA平面 ABCD,CDAD,CDPD.CDEG. 又 ABCD, EGAB. 若有 EF平面 PAD,则 EFAG,四边形AFEG 为平行四边形,得EG=AF. CE=22)36(aa=3
36、3a , PBC为 直 角 三 角 形 , BC2=CE CPCP=3a ,ABAF=CDEG=PCPE=aaa3333=32. 故得 AFFB=21 时, EF平面 PAD. 6.如下图,设P 为长方形ABCD 所在平面外一点,M、N 分别为 AB、PD 上的点,且MBAM=NPDN,求证:直线MN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页学习必备欢迎下载平面 PBC. ABCDMNPQR分析:要证直线MN平面 PBC,只需证明MN平面 PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面平面PBC. 证法一:过N 作 NRDC
37、 交 PC 于点 R,连结 RB,依题意得NRNRDC=NPDN=MBAM= MBMBAB=MBMBDCNR=MB. NRDCAB,四边形MNRB 是平行四边形 .MNRB.又 RB平面 PBC,直线 MN平面 PBC. 证法二:过N 作 NQAD 交 PA 于点 Q,连结 QM,MBAM=NPDN=QPAQ, QMPB.又 NQ ADBC,平面MQN平面 PBC.直线 MN平面 PBC. 证法三:过N 作 NRDC 交 PC 于点 R,连结 RB,依题意有ABBM=PDPN=DCNR,NR=MB,BR=BM+MN+ NR=MN.MNRB.又 RB平面 PBC,直线MN平面 PBC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页