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1、学习必备欢迎下载第二讲直线与平面平行、两个平面平行知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内. 2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行 . 4.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 5.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. 点击双基1.设有平面 、 和直线 m、n，则 m 的一个充分条
2、件是A.且 mB. =n 且 mn C.mn 且 nD.且 m答案： D 2.（20XX 年北京， 3）设 m、n 是两条不同的直线，、 、是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是若 m ，n ，则 mn若 ，m，则 m若 m ，n ，则 mn 若 ，则 A.B.C.D.解析：显然正确.中 m 与 n 可能相交或异面 .考虑长方体的顶点，与可以相交 . 答案： A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A.异面B.相交C.平行D.不能确定解析：设 =l，a，a，过直线 a 作与 、都相交的平面，记=b，=c，则 ab 且 ac，bc.
3、又 b，=l， bl.al. 答案： C abcl4.（文）设平面平面 ，A、C， B、D ，直线 AB 与 CD 交于点 S，且 AS=8，BS=9， CD=34，当 S在、之间时， SC=_，当 S不在 、 之间时， SC=_. 解析： ACBD， SAC SBD， SC=16， SC=272. 答案： 16 272 （理）设D 是线段 BC 上的点， BC平面 ，从平面 外一定点A（A 与 BC 分居平面两侧）作AB、AD、AC 分别交平面 于 E、F、G 三点， BC=a，AD=b，DF=c，则 EG=_. 解析：解法类同于上题. 答案：bacab5.在四面体ABCD 中， M、N 分
4、别是面 ACD、 BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载ABCDMN.解析：连结AM 并延长，交CD 于 E，连结 BN 并延长交CD 于 F，由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为CD 的中点 E，由MAEM=NBEN=21得 MNAB，因此， MN平面 ABC 且 MN平面 ABD. 答案：平面ABC、平面 ABD1.（20XX 年春季北京， 3）下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是
5、异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案： C 2.设 a、b 是两条互不垂直的异面直线，过a、b 分别作平面 、 ，对于下面四种情况：b，b， .其中可能的情况有A.1 种B.2 种C.3 种D.4 种解析：都有可能，不可能，否则有ba与已知矛盾 . 答案： C 3.、是两个不重合的平面， a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定的是A.、都平行于直线a、bB.内有三个不共线点到 的距离相等C.a、 b 是内两条直线，且a，bD.a、b 是两条异面直线且a，b，a，b解析： A 错，若 ab，则不能断定 ；B 错，若 A、B、C 三点不在 的同
6、一侧，则不能断定；C 错，若 ab，则不能断定 ；D 正确 . 答案： D 4.a、b、为三条不重合的直线，、 为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：aaacacccbababacbca;其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）答案：典例剖析【例 1】 如下图，两个全等的正方形ABCD 和 ABEF 所在平面相交于AB，MAC，NFB 且 AM=FN，求证：MN平面 BCE. QABCDMPFEN证法一：过M 作 MPBC，NQBE，P、Q 为垂足（如上图） ，连结 PQ. MPAB，NQAB， MP NQ. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
7、- - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载又 NQ=22BN=22CM=MP， MPQN 是平行四边形. MNPQ，PQ平面 BCE. 而 MN平面 BCE，MN平面 BCE. 证法二：过M 作 MGBC，交 AB 于点 G（如下图），连结 NG. GABCDMFENMGBC，BC平面 BCE，MG平面 BCE，MG平面 BCE. 又GABG=MACM=NFBN，GNAFBE，同样可证明GN平面 BCE. 又面 MGNG=G，平面 MNG平面 BCE.又 MN平面 MNG .MN平面 BCE. 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，
8、通过“线线”平行，证得 “线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行. 【例 2】 如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且 B1E=C1F.求证： EF平面 ABCD . ADBCBCD1111E F GMN证法一：分别过E、F 作 EMAB 于点 M， FNBC 于点 N，连结 MN. BB1平面 ABCD，BB1AB， BB1BC. EMBB1，FNBB1. EMFN. 又 B1E=C1F， EM=FN. 故四边形MNFE 是平行四边形. EFMN.又 MN 在平面 ABCD 中，EF平面 ABCD. 证法二：
9、过E 作 EGAB 交 BB1于点 G，连结 GF，则ABEB11=BBGB11. B1E=C1F，B1A=C1B，BCFC11=BBGB11. FGB1C1BC. 又 EGFG=G，AB BC=B，平面 EFG平面 ABCD.而 EF 在平面 EFG 中，EF平面 ABCD. 评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载【例 3】 已知正四棱锥PABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M、N 分别是 PA、BD
10、 上的点， 且 PMMA=BNND=5 8. BCDEOMNP（1）求证：直线MN平面 PBC；（2）求直线 MN 与平面 ABCD 所成的角 . （1）证明： PABCD 是正四棱锥，ABCD 是正方形 .连结 AN 并延长交BC 于点 E，连结 PE. ADBC， ENAN=BNND. 又 BNND=PMMA，ENAN=PM MA. MNPE. 又 PE 在平面 PBC 内， MN平面 PBC. （2）解：由（ 1）知 MNPE， MN 与平面 ABCD 所成的角就是PE 与平面 ABCD 所成的角 . 设点 P 在底面 ABCD 上的射影为O，连结 OE，则 PEO 为 PE 与平面 A
11、BCD 所成的角 . 由正棱锥的性质知PO=22OBPB=2213. 由（ 1）知， BEAD=BN ND=58，BE=865. 在 PEB 中， PBE=60， PB=13， BE=865，根据余弦定理，得PE=891. 在 Rt POE 中， PO=2213，PE=891，sin PEO=PEPO=724. 故 MN 与平面 ABCD 所成的角为arcsin724. 思考讨论证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN 与平面 ABCD 所成的角，计算困难，而平移转化为PE 与平面 ABCD 所成的角则计算容易.可见平移是求线线
12、角、线面角的重要方法. 闯关训练夯实基础1.两条直线a、b 满足 ab，b，则 a 与平面 的关系是A.aB.a 与相交C.a 与不相交D.a答案： C 2.a、b 是两条异面直线，A 是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是A.过 A 有且只有一个平面平行于a、b B.过 A 至少有一个平面平行于a、bC.过 A 有无数个平面平行于a、b D.过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在解析：过点A 可作直线a a，b b，则 a b=A. a、 b可确定一个平面，记为. 如果 a，b ，则 a，b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
13、 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载由于平面 可能过直线a、b 之一，因此，过A且平行于a、b 的平面可能不存在. 答案： D 3.（20XX 年全国， 16）已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、 b在 上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号）解析： A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行；AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直；DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. ABCDBCD1111答案：4.已知 Rt ABC 的
14、直角顶点C 在平面 内，斜边AB，AB=26，AC、BC 分别和平面 成 45和 30角，则 AB 到平面 的距离为 _. 解析：分别过A、B 向平面 引垂线 AA、 BB，垂足分别为A、 B. AABBC设 AA=BB=x，则 AC2=（45sinx）2=2x2，BC2=（30sinx）2=4x2. 又 AC2+BC2=AB2， 6x2=（ 26）2，x=2. 答案： 2 5.如下图，四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA底面 ABCD，侧面 PBC 内有 BEPC 于 E，且 BE=36a，试在 AB 上找一点F，使 EF平面 PAD. ABCDEPGF解：在面PCD 内作
15、 EG PD 于 G，连结 AG. PA平面 ABCD，CDAD，CDPD.CDEG. 又 ABCD， EGAB. 若有 EF平面 PAD，则 EFAG，四边形AFEG 为平行四边形，得EG=AF. CE=22)36(aa=33a ， PBC为 直 角 三 角 形 ， BC2=CE CPCP=3a ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载ABAF=CDEG=PCPE=aaa3333=32. 故得 AFFB=21 时， EF平面 PAD. 6.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M、N 分别为
16、 AB、PD 上的点，且MBAM=NPDN，求证：直线MN平面 PBC. ABCDMNPQR分析：要证直线MN平面 PBC，只需证明MN平面 PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面平面PBC. 证法一：过N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意得NRNRDC=NPDN=MBAM= MBMBAB=MBMBDCNR=MB.NRDCAB，四边形MNRB 是平行四边形 .MNRB.又 RB平面 PBC，直线 MN平面 PBC. 证法二：过N 作 NQAD 交 PA 于点 Q，连结 QM，MBAM=NPDN=QPAQ， QMPB.又 NQ ADBC，平面MQN平面 PBC.直线 MN
17、平面 PBC. 证法三：过N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意有ABBM=PDPN=DCNR，NR=MB，BR=BM+MN+ NR=MN.MNRB.又 RB平面 PBC，直线MN平面 PBC. 培养能力7.已知 l 是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD 所在平面的交线， （1）求证： D1B1 l；（2）若 AB=a，求 l 与 D1间的距离 . AADBCBCD1111l（1）证明：ADCBBCDG1111lD1B1BD，D1B1平面 ABCD. 又平面 ABCD平面 AD1B1=l，D1B1l. （2）解： D1D平面 ABCD ，在
18、平面 ABCD 内，由 D 作 DGl 于 G，连结 D1G，则 D1Gl，D1G 的长即等于点D1与 l 间的距离 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载 lD1B1 BD， DAG=45. DG=22a，D1G=212DDDG=2221aa=26a. 探究创新8.如下图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中， AA1=21AB，点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点，过点A1、B、M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1于点 N. AADDBBCC1111M NE（1）求证： EM平面 A
19、1B1C1D1；（2）求二面角BA1NB1的正切值；（3）设截面 A1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1V2） ，求 V1 V2的值 . （1）证明：设A1B1的中点为F，连结 EF、FC1. E 为 A1B 的中点， EF21B1B. AABBCCDDEFNMPH1111又 C1M21B1B， EFMC1. 四边形EMC1F 为平行四边形 . EMFC1.EM平面 A1B1C1D1，FC1平面 A1B1C1D1，EM平面 A1B1C1D1. （2）解：作 B1HA1N 于 H，连结 BH. BB1平面 A1B1C1D1， BHA1N. BHB1为二面角 BA1N
20、B1的平面角 . EM平面 A1B1C1D1，EM平面 A1BMN，平面 A1BMN平面 A1B1C1D1=A1N，EMA1N. 又 EMFC1， A1NFC1. 又 A1FNC1，四边形A1FC1N 是平行四边形.NC1=A1F. 设 AA1=a，则 A1B1=2a，D1N=a. 在 Rt A1D1N 中，A1N=21211NDDA=5a，sin A1ND1=NADA111=52. 在 Rt A1B1H 中， B1H=A1B1sinHA1B1=2a52=54a. 在 Rt BB1H 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共
21、13 页学习必备欢迎下载tanBHB1=HBBB11=aa54=45. （3）解：延长A1N 与 B1C1交于 P，则 P平面 A1BMN，且 P平面 BB1C1C. 又平面A1BMN平面 BB1C1C=BM，PBM，即直线A1N、B1C1、BM 交于一点P. 又平面MNC1平面 BA1B1，几何体MNC1BA1B1为棱台 .（没有以上这段证明，不扣分）S11BBA=212aa=a2，S1MNC=21a21a=41a2，棱台 MNC1BA1B1的高为 B1C1=2a，V1=312a （a2+2241aa+41a2）=67a3， V2=2a2aa67a3=617a3. 21VV=177. 思悟小
22、结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、 直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外. 2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）. 【例 1】 设平面 平面 ，AB、CD 是两条异面直线，M、N 分别是AB、CD 的中点，且A、C， B、D，求证： MN平面 . ABCDEMN剖析：因为AB 与 CD 是异面直线，故MN 与 AC、 BD 不平行 .在平面 、中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与平行的平面 .根
23、据 M、N 是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时 AB、BC 共面，即 BC 为沟通 AB、CD 的桥梁，再取BC 的中点 E，连结 ME、NE，用中位线知识可证得. 证明：连结BC、AD，取 BC 的中点 E，连结 ME、NE，则 ME 是 BAC 的中位线，故MEAC，ME， ME.同理可证， NEBD.又 ，设 CB 与 DC 确定的平面BCD 与平面 交于直线 CF，则 CFBD，NECF.而NE平面 ，CF，NE.又 MENE=E，平面 MNE，而 MN平面 MNE， MN平面 . 【例 2】 如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两
24、边互相垂直，边长均等于 a，并且 AA1CC1.求证：平面A1BC1平面 ACD1. AABCCD111证法一：作正方形BCC1B1和 CC1D1D，并连结 A1B1和 AD. AA1CC1BB1DD1，且 AA1AB，AA1 A1D1，ABB1A1和 AA1D1D 都是正方形，且ACC1A1是平行四边形 . 故它们的对应边平行且相等. ABC A1B1C1， A1B1 B1C1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载同理， ADCD. BB1AB， BB1BC， BB1平面 ABC. 同理， DD1
25、平面 ACD. BB1DD1， BB1平面 ACD. A、B、C、D 四点共面 . ABCD 为正方形 . 同理， A1B1C1D1也是正方形 . DDAACCBB1111故 ABCDA1B1C1D1是正方体 . 易知 A1C1AC，A1C1平面 ACD1. 同理， BC1平面 ACD1，平面 A1BC1平面 ACD1. 证法二：证ABCDA1B1C1D1是正方体，同上. 连结 B1D、B1D1，则 B1D1是 B1D 在底面 ABCD 上的射影，由三垂线定理知B1DA1C1，同理可证B1DBA1，B1D平面 A1BC1. 同理可证， B1D平面 ACD1，平面 A1BC1平面 ACD1. 思
26、考讨论证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线. 【例 3】 如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， M、N、P 分别是 C1C、B1C1、 C1D1的中点，求证：ADDBBCC1111NPM（1）APMN；（2）平面 MNP平面 A1BD. 证明：（1）连结 BC1、B1C，则 B1C BC1， BC1是 AP 在面 BB1C1C 上的射影 .APB1C. 又 B1CMN， APMN. （2）连结 B1D1， P、N 分别是 D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又 B1D1BD，PNBD.又 PN 不在平面A1BD 上，PN平面 A1BD. 同
27、理， MN平面 A1BD.又 PNMN=N，平面 PMN平面 A1BD. 评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、 P 都为中点，故添加B1C、BC1作为联系的桥梁. 夯实基础1.（20XX 年上海）在下列条件中，可判断平面与 平行的是A.、都垂直于平面B.内存在不共线的三点到的距离相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载C.l、m 是内两条直线，且l ，mD.l、m 是两条异面直线，且l ，m，l，m答案： D 2.设平面 ，A、C
28、，B、D，直线 AB 与 CD 交于 S， 若 AS=18，BS=9，CD=4，则 CS=_. 解析：如图（1） ，由 可知 BDAC，SASB=SCSD，即189=SCSC34， SC=68. SSAABBCC(1)(2)DD如图（ 2） ，由 知 ACBD，SBSA=SDSC=SCCDSC，即918=SCSC34. SC=368. 答案： 68 或3683.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：AAAABBBBCCCCDDDDEEFFGGHH11111111甲乙水的部分始终呈
29、棱柱状；水面四边形EFGH 的面积不改变；棱 A1D1始终与水面EFGH 平行；当容器倾斜如图乙时，EFBF 是定值 . 其中正确命题的序号是_. 解析：对于命题，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面 AEFB平面 DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且 BC 为棱柱的一条侧棱，命题正确.对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故不正确.是正确的（请给出证明） .是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是. 答案：1.两条直线a、b 满足 ab，b，则
30、 a 与平面 的关系是A.aB.a 与相交C.a 与不相交D.a答案： C 2.a、b 是两条异面直线，A 是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是A.过 A 有且只有一个平面平行于a、b B.过 A 至少有一个平面平行于a、bC.过 A 有无数个平面平行于a、b D.过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在解析：过点A 可作直线a a，b b，则 a b=A. a、 b可确定一个平面，记为. 如果 a，b ，则 a，b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载由于平面 可能过直线a、b 之一，因此
31、，过A且平行于a、b 的平面可能不存在. 答案： D 3.（20XX 年全国， 16）已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、 b在 上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号）解析： A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行；AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直；DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. ABCDBCD1111答案：4.已知 Rt ABC 的直角顶点C 在平面 内，斜边AB，AB=26，AC、BC 分别和平面 成 4
32、5和 30角，则 AB 到平面 的距离为 _. 解析：分别过A、B 向平面 引垂线 AA、 BB，垂足分别为A、 B. AABBC设 AA=BB=x，则 AC2=（45sinx）2=2x2，BC2=（30sinx）2=4x2. 又 AC2+BC2=AB2， 6x2=（ 26）2，x=2. 答案： 2 4.如下图，两条线段AB、CD 所在的直线是异面直线，CD平面 ，AB，M、 N 分别是 AC、BD 的中点，且AC 是 AB、CD 的公垂线段 . ABBCDEMN（1）求证： MN；（2）若 AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN 的长 . （1）证明：过B 作 BB ，垂足为B，连结
33、CB、 DB，设 E 为 BD 的中点，连结 NE、CE，则 NEBB且 NE=21BB，又 AC=BB，MCNE，即四边形MCEN 为平行四边形（矩形）. MNCE.又 CE，MN， MN. （2）解：由（ 1）知 MN=CE，AB=CB=a=CD，BD=22BBBD=22bc，CE=)(41222bca=2224141cba，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载即线段 MN 的长为2224141cba. 5.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， AB=a. AADDBBCC11111MN
34、OO（1）求证：平面AD1B1平面 C1DB；（2）求证： A1C平面 AD1B1；（3）求平面 AB1D1与平面 BC1D 之间的距离 . （1）证明： D1B1DB， D1B1平面 C1DB. 同理， AB1平面 C1DB. 又 D1B1AB1=B1，平面 AD1B1平面 C1DB. （2）证明： A1C1D1B1，而 A1C1为 A1C 在平面 A1B1C1D1上的射影， A1C1D1B1. 同理， A1CAB1，D1B1AB1=B1. A1C平面 AD1B1. （3）解：设 A1C平面 AB1D1=M，A1C平面 BC1D=N， O1、O 分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD
35、的中心 . 则 MAO1，NC1O，且 AO1C1O，MN 的长等于平面AD1B1与平面 C1DB 的距离，即MN=A1M=NC=31A1C=33a. 5.如下图，四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA底面 ABCD，侧面 PBC 内有 BEPC 于 E，且 BE=36a，试在 AB 上找一点F，使 EF平面 PAD. ABCDEPGF解：在面PCD 内作 EG PD 于 G，连结 AG. PA平面 ABCD，CDAD，CDPD.CDEG. 又 ABCD， EGAB. 若有 EF平面 PAD，则 EFAG，四边形AFEG 为平行四边形，得EG=AF. CE=22)36(aa=3
36、3a ， PBC为 直 角 三 角 形 ， BC2=CE CPCP=3a ，ABAF=CDEG=PCPE=aaa3333=32. 故得 AFFB=21 时， EF平面 PAD. 6.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M、N 分别为 AB、PD 上的点，且MBAM=NPDN，求证：直线MN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载平面 PBC. ABCDMNPQR分析：要证直线MN平面 PBC，只需证明MN平面 PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面平面PBC. 证法一：过N 作 NRDC
37、 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意得NRNRDC=NPDN=MBAM= MBMBAB=MBMBDCNR=MB. NRDCAB，四边形MNRB 是平行四边形 .MNRB.又 RB平面 PBC，直线 MN平面 PBC. 证法二：过N 作 NQAD 交 PA 于点 Q，连结 QM，MBAM=NPDN=QPAQ， QMPB.又 NQ ADBC，平面MQN平面 PBC.直线 MN平面 PBC. 证法三：过N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意有ABBM=PDPN=DCNR，NR=MB，BR=BM+MN+ NR=MN.MNRB.又 RB平面 PBC，直线MN平面 PBC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
