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1、目录 上页 下页 返回 结束 第十节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致连续性三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如, 目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有证证: 设上有界 .定理定理2. ( 零点定理 )至少有一点且使
2、( 证明略 )推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证证: 作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即推论推论: 在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .目录 上页 下页 返回 结束 例例. 证明方程一个根 .证证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 *三三. 一致连续一致连续性性已知函数在区间 I
3、上连续, 即:一般情形,就引出了一致连续的概念 .定义定义:对任意的都有在在 I 上一致连续上一致连续 .显然:目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,但不一致连续 .因为取点则 可以任意小但这说明在( 0 , 1 上不一致连续 .定理定理4.上一致连续.(证明略)思考思考: P74 题 *7提示提示:设存在, 作辅助函数显然目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示:
4、 建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:目录 上页 下页 返回 结束 则证明至少存在使提示提示: 令则易证2. 设作业作业P74 (习题110） 2 ; 3; 5一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .目录 上页 下页 返回 结束 和差化积公式 sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 积化和差公式 s
5、incos=sin(+)+sin(-)/2 cossin=sin(+)-sin(-)/2 coscos=cos(+)+cos(-)/2 sinsin=-cos(+)-cos(-)/2 其他的一些公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB sin2A=2sinAcosA cos2A=(cosA)2-(sinA)2=2(cosA)2-1=1-2(sinA)2 (cosA)2=(1+cos2A)/2 (sinA)2=(1-cos2A)/2
