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1、31全称量词与全称命题32存在量词与特称命题明目标、知重点1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假1全称量词与全称命题在命题的条件中,“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词含有全称量词的命题,叫作全称命题2存在量词与特称命题在命题中, “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作存在量词含有存在量词的命题,叫作特称命题探究点一全称量词与全称命题思考 1下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x3;(2)2x1 是整数;(3
2、)对所有的xR,x3;(4)对任意一个xZ,2x1 是整数答语句 (1)(2)含有变量 x,由于不知道变量x 代表什么数, 无法判断它们的真假,因而不是命题语句 (3)在(1)的基础上,用短语“对所有的”对变量x 进行限定;语句(4)在(2)的基础精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页上,用短语“对任意一个”对变量x 进行限定,从而使(3)(4) 成为可以判断真假的语句,因此语句 (3)(4)是命题小结短语 “所有 ”“ 每一个 ”“ 任何 ”“ 任意一条 ”“ 一切 ”都是在指定范围内, 表示整体或全部的含义,这样的
3、词叫作全称量词像这样含有全称量词的命题,叫作全称命题思考 2如何判定一个全称命题的真假?答要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M 中的每个元素x 验证 p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M 中的一个 x0, 使得 p(x0)不成立即可 (即举反例 )例 1判断下列全称命题的真假:(1)所有的素数是奇数;(2)任意 xR,x21 1;(3)对每一个无理数x, x2也是无理数解(1)2 是素数,但2 不是奇数所以,全称命题“ 所有的素数是奇数”是假命题(2)任意 xR,总有 x20,因而 x211.所以,全称命题“ 任意 xR,x211”是真命题(3)2是无理数,但(2)
4、22 是有理数所以,全称命题“ 对每一个无理数x,x2也是无理数 ”是假命题反思与感悟判断全称命题的真假,要看命题是否对给定集合中的所有元素成立跟踪训练1试判断下列全称命题的真假:(1)任意 xR,x220;(2)任意 xN,x41.(3)对任意角 ,都有 sin2 cos2 1.解(1)由于任意xR, 都有 x2 0, 因而有 x2 220, 即 x220, 所以命题 “任意 xR,x220”是真命题(2)由于 0N,当 x0 时, x41 不成立,所以命题“任意 x N, x4 1”是假命题(3)由于任意 R,sin2 cos2 1 成立所以命题“对任意角 ,都有 sin2 cos2 1”
5、是真命题探究点二存在量词与特称命题思考 1下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x1 3;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页(2)x 能被 2 和 3 整除;(3)存在一个x0 R,使 2x0 13;(4)至少有一个x0Z,使 x0能被 2 和 3 整除答(1)(2)不是命题, (3)(4) 是命题语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x 的取值进行限定,从而使 (3)(4)变成了可以判断真假的语句,
6、因此语句(3)(4)是命题小结“有些 ”“ 至少有一个 ”“ 有一个 ”“ 存在 ”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作存在量词像这样含有存在量词的命题,叫作特称命题思考 2怎样判断一个特称命题的真假?答要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M 中,至少能找到一个xx0,使 p(x0)成立即可,否则,这一特称命题是假命题例 2判断下列特称命题的真假:(1)有一个实数x0,使 x202x03 0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数解(1)由于任意xR, x22x3(x1)222, 因此使 x22x30 的实数 x 不存在所以,特称命题 “有一个实数x0,
7、使 x202x030”是假命题(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线所以,特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题(3)由于存在整数3 只有两个正因数1 和 3, 所以特称命题 “ 有些整数只有两个正因数”是真命题反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题,判断一个特称命题为真,只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可跟踪训练2判断下列命题的真假:(1)存在 x0Z,x301;(2)存在一个四边形不是平行四边形;(3)有一个实数 ,tan 无意义;(4)存在 x0R,cos x02.解(1)1Z,且 ( 1)3 11,“ 存在 x
8、0Z,x301, 不存在 x0R,使 cos x02,原命题是假命题探究点三全称命题、特称命题的应用思考不等式有解和不等式恒成立有何区别?答不等式有解是存在一个元素,使不等式成立, 相当于一个特称命题;不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立,相当于一个全称命题例 3(1)已知关于x 的不等式x2 (2a1)xa220 的解集非空,求实数a 的取值范围;(2)令 p(x):ax22x10,若对任意xR,p(x)是真命题,求实数a 的取值范围解(1)关于 x 的不等式x2(2a1)x a220 的解集非空, (2a1)24(a22) 0,即 4a70,解得 a74,实数 a 的取值范
9、围为74, .(2)对任意 xR,p(x)是真命题对任意 xR,ax22x 10 恒成立,当 a0 时,不等式为2x10 不恒成立,当 a0 时,若不等式恒成立,则a0, 44a1.反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用,注意二者的区别跟踪训练3(1)对于任意实数x,不等式sin xcos xm 恒成立,求实数m 的取值范围;(2)存在实数x,不等式sin xcos xm 有解,求实数m 的取值范围解(1)令 ysin xcos x,xR,ysin xcos x2sin x42,又 任意 xR,sin xcos xm 恒成立,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
10、归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页只要 mm 有解,只要 m0 D任意 xR,2x0答案C解析对于 A,当 x1 时, lg x 0,正确;对于B,当 x4时, tan x 1,正确;对于C,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页当 x0 时, x30,错误;对于D,任意 x R,2x0,正确4用量词符号“任意”“存在”表述下列命题:(1)凸 n 边形的外角和等于2.(2)有一个有理数x0满足 x20 3.(3)对任意角 ,都有 sin2 cos2 1.解(1)任意 xx|x 是凸 n 边形
11、,x 的外角和是2.(2)存在 x0Q,x203.(3)任意 R,sin2 cos2 1.呈重点、现规律1判断命题是全称命题还是特称命题,主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词,有些全称命题虽然不含全称量词,可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题3要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题一、基础过关1下列命题:中国公民都有受教育的权利;每一个中学生都要接受爱国主义教育;有人既能写小说,也能搞发明创造;任何一
12、个数除0,都等于0.其中全称命题的个数是()A1 B2 C 3 D4答案C解析命题 都是全称命题2下列特称命题是假命题的是()A存在 x Q,使 2xx30B存在 xR,使 x2x 10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页C有的素数是偶数D有的有理数没有倒数答案B解析对于任意的xR,x2x1(x12)2340 恒成立3给出四个命题:末位数是偶数的整数能被2 整除;有的菱形是正方形;存在实数x,x0;对于任意实数x,2x1 是奇数下列说法正确的是()A四个命题都是真命题B是全称命题C是特称命题D四个命题中有两个假命题答
13、案C解析 为全称命题; 为特称命题; 为真命题; 为假命题4下列全称命题中真命题的个数为()负数没有对数;对任意的实数a,b,都有 a2b22ab;二次函数f(x)x2ax1 与 x 轴恒有交点;任意 xR,yR,都有 x2|y|0.A1 B2 C 3 D4答案C解析 为真命题5下列全称命题为真命题的是()A所有的素数是奇数B任意 xR,x233C任意 xR,2x1 0D所有的平行向量都相等答案B6下列命题中,真命题是_存在 x0 0,2, sin x0cos x02;任意 x(3, ), x22x1;存在 mR,使函数f(x)x2mx(xR)是偶函数;任意 x2,tan xsin x.答案精
14、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页解析对于 ,任意 x 0,2,sin xcos x2sin x42,此命题为假命题;对于 ,当 x(3, )时, x22x1(x1)2 20,此命题为真命题;对于 ,当 m0 时,f(x)x2为偶函数,此命题为真命题;对于 ,当 x2,时, tan x03, xa 恒成立,则实数a 的取值范围是 _答案(, 3解析对任意 x3,xa 恒成立,即大于3 的数恒大于a,a3.9给出下列四个命题:ab? a b0;矩形都不是梯形;存在 x,yR,x2y21;任意互相垂直的两条直线的斜率之积
15、等于1.其中全称命题是_答案解析 省略了量词 “所有的 ” ,含有量词 “任意 ”10四个命题:任意xR,x23x20 恒成立;存在xQ,x22;存在xR,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页x210;任意xR,4x22x 13x2.其中真命题的个数为_答案0解析x23x20, (3)24 20,当 x2 或 x0 才成立, 为假命题当且仅当x 2时, x22,不存在 xQ,使得 x2 2, 为假命题,对任意 xR,x210, 为假命题,4x2(2x13x2)x22x 1(x1)20,即当 x 1 时, 4x22x
16、13x2成立, 为假命题 均为假命题11判断下列命题的真假:(1)对任意 xR,|x|0;(2)对任意 aR,函数 ylogax 是单调函数;(3)对任意 xR,x21;(4)存在 a 向量 ,使 ab 0.解(1)由于 0R,当 x0 时, |x|0 不成立,因此命题“ 对任意 xR,|x|0”是假命题(2)由于 1R,当 a1 时, ylogax 无意义,因此命题“对任意 aR,函数 ylogax 是单调函数 ”是假命题(3)由于对任意xR,都有 x20,因而有x21.因此命题 “对任意 xR,x21”是真命题(4)由于 0 向量 ,当 a0 时,能使ab0,因此命题 “存在 a向量 ,使
17、 ab0” 是真命题12已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m,使不等式m f(x)0 对于任意xR 恒成立?并说明理由;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页(2)若存在实数x,使不等式mf(x)0 成立,求实数m 的取值范围解(1)不等式 m f(x)0 可化为 mf(x),即 mx22x5 (x1)24.要使 m (x1)24 对于任意xR 恒成立,只需m4 即可故存在实数m 使不等式mf(x)0 对于任意 xR 恒成立,此时m4. (2)不等式 mf(x)0 可化为 mf(x)若存在实数x 使不等式m
18、f(x)成立,只需 mf(x)min.又 f(x)(x 1)24,所以 f(x)min4,所以 m4.故所求实数m 的取值范围是 (4, )三、探究与拓展13若任意xR,函数 f(x)mx2xma 的图像和x 轴恒有公共点,求实数a 的取值范围解当 m0 时, f(x)xa 与 x 轴恒相交,所以aR;当 m0 时,二次函数f(x)mx2xma 的图像和x 轴恒有公共点的充要条件是 14m(ma)0 恒成立,即4m24am10 恒成立又 4m24am1 0 是一个关于m 的二次不等式,恒成立的充要条件是 (4a)2160,解得 1a1.综上所述,当m0 时, aR;当 m0 时, a1,1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页