《2022年初三数学《三角形中作辅助线的常用方法举例》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初三数学《三角形中作辅助线的常用方法举例》（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1：已知如图1-1 ：D、E为 ABC内两点 , 求证 :ABAC BDDE CE. 证明：（法一） 将 DE两边延长分别交AB、AC 于 M 、N，在 AMN 中， AM AN MDDE NE;（1）在 BDM 中， MB MD BD ；（2）在 CEN中， CN NE CE ；（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得： AMAN MB MD CN NE MD DE NE BD CE
2、 AB AC BD DE EC （法二：）如图 1-2 ， 延长 BD交 AC 于 F，延长 CE交 BF于 G，在 ABF和 GFC和 GDE 中有： AB AF BDDG GF （三角形两边之和大于第三边）（ 1） GF FC GE CE （同上）（2） DG GE DE （同上）（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得： AB AF GF FCDG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形， 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，
3、再利用外角定理：例如：如图2-1 ：已知 D为 ABC内的任一点，求证：BDC BAC 。分析： 因为 BDC与 BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于在内角的位置；证法一 ：延长 BD交 AC于点 E，这时 BDC是 EDC的外角， BDC DEC ，同理 DEC BAC ， BDC BAC 证法二：连接AD ，并延长交BC于 F BDF是 ABD的外角 BDF BAD ，同理， CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即： BDC BAC 。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位
4、置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1 ：已知AD为 ABC的中线，且1 2, 3 4, 求证： BECFEF。分析：要证BE CF EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE ，
5、CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知 1 2，3 4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF移到同一个三角形中。证明： 在 DA上截取 DN DB ，连接 NE ，NF ，则 DN DC ，在 DBE和 DNE 中：)()(21)(公共边已知辅助线的作法EDEDDBDN DBE DNE （SAS ）BE NE （全等三角形对应边相等）同理可得： CFNF 在 EFN中 EN FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE CF EF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以
6、线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1 ：AD为 ABC的中线，且 1 2， 3 4，求证： BE CFEF 证明 ：延长 ED至 M ，使 DM=DE ，连接CM ，MF 。在 BDE和 CDM 中，)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MDEDCDMCDBD BDE CDM （SAS ）又 1 2， 3 4 （已知）1 2 3 4180（ 平角的定义 ） 3 2=90即：EDF 90 FDM EDF 90在 EDF和 MDF中)()()(公共边已证辅助线的作法DFDFFDMEDFMDEDEDF MDF （SAS ）EF MF （全等三角形对应边相
7、等）在 CMF中， CFCM MF （三角形两边之和大于第三边）BE CF EF注：上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。ABCDEFN13图123414图ABCDEFM1234名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1 ：AD为
8、ABC的中线，求证：AB AC 2AD 。分析：要证ABAC 2AD ，由图想到： ABBDAD,AC CD AD ，所以有ABAC BDCD AD AD 2AD ，左边比要证结论多BD CD ，故不能直接证出此题，而由 2AD想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明： 延长 AD至 E，使 DE=AD ，连接 BE ，则 AE 2AD AD为 ABC的中线（已知）BD CD （中线定义）在 ACD和 EBD中)()()(辅助线的作法对顶角相等已证EDADEDBADCCDBD ACD EBD （SAS ）BECA （全等三角形对应边相等）在 ABE中有： AB
9、 BE AE （三角形两边之和大于第三边）AB AC 2AD 。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC ，AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 5-2 ，求证 EF 2AD 。六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1 ：在 ABC中， AB AC ， 12，P为 AD上任一点。求证： AB AC PB PC 。分析：要证： AB AC PB PC ，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB AC ，故可在AB上截取 AN等于 AC ，得 ABAC BN ， 再连接 PN ，
10、则 PC PN ，又在 PNB中， PB PN BN ，即： AB AC PB PC 。证明： （截长法）在 AB上截取 AN AC连接 PN , 在 APN和 APC中)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPACAN APN APC （SAS ）PCPN （全等三角形对应边相等）在 BPN中，有 PBPN BN （三角形两边之差小于第三边）BPPC AB AC 证明： （补短法）延长 AC至 M ，使 AM AB ，连接 PM ，在 ABP和 AMP中)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMABABCDE15图ABCDEF25图ABCDNMP16图12名师归纳总结 精品学习资
11、料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 ABP AMP （SAS ）PB PM （全等三角形对应边相等）又在 PCM 中有： CM PM PC(三角形两边之差小于第三边) AB AC PB PC 。七、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1 ：已知 AC BD ， AD AC于 A ，BC BD于 B，求证： ADBC 分析：欲证 ADBC ，先证分别含有AD ，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD
12、， AOD 与 BOC ， ABD与 BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明 ：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E点，AD AC BC BD （已知） CAE DBE 90 （垂直的定义）在 DBE与 CAE中)()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE DBE CAE （ AAS ）ED EC EBEA （全等三角形对应边相等）ED EA EC EB 即： AD BC 。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图8-
13、1 ：AB CD ，AD BC 求证： AB=CD 。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明 ：连接 AC （或 BD ）AB CD ADBC （已知） 1 2， 3 4 （两直线平行，内错角相等）在ABC与 CDA中)(43)()(21已证公共边已证CAACABC CDA （ASA ）AB CD （全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在 RtABC中， AB AC ， BAC 90， 1 2，CEBD的延长于 E 。求证： BD 2CE 分析： 要证BD 2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE
14、与 ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA ，CE交于点 F。BE CF （已知） BEF BEC 90 （垂直的定义）在 BEF与 BEC中，19图DCBAEF12ABCD18图1234ABCDE17图O名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE BEF BEC （ASA ） CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等
15、） BAC=90 BE CF （已知） BAC CAF 901 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC 在 ABD与 ACF中)()()(已知已证已证ACABBFCBDACAFBAC ABD ACF （AAS ） BD CF （全等三角形对应边相等）BD 2CE 十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图10-1；AC 、BD相交于 O点，且 AB DC ，AC BD ，求证： A D。分析：要证 A D，可证它们所在的三角形ABO和 DCO 全等，而只有AB DC和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB DC ，AC BD ，若连接BC ，则
16、 ABC和 DCB全等，所以，证得A D。证明：连接BC ，在 ABC和 DCB中)()()(公共边已知已知CBBCDBACDCAB ABC DCB (SSS) A D ( 全等三角形对应边相等) 十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1：ABDC ， A D 求证：ABC DCB 。分析：由AB DC ， A D，想到如取AD的中点 N，连接 NB ，NC ，再由 SAS公理有ABN DCN ，故 BN CN ， ABN DCN 。下面只需证NBC NCB ，再取 BC的中点 M ，连接 MN ，则由 SSS公理有 NBM NCM ，所以 NBC NCB 。问题得证。证明：取 A
17、D ，BC的中点 N 、M ，连接 NB ，NM ，NC 。则 AN=DN ，BM=CM，在 ABN和 DCN中)()()(已知已知辅助线的作法DCABDADNAN ABN DCN （SAS ） ABN DCN NB NC （全等三角形对应边、角相等）在 NBM 与 NCM 中)()()(公共边辅助线的作法已证NMNMCMBMNCNB NMB NCM ，(SSS) NBC NCB （全等三角形对应角相等） NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB 。DCBA110图O111图DCBAMN名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳
18、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载巧求三角形中线段的比值例 1. 如图 1，在ABC中，BD ：DC 1：3，AE ：ED 2：3，求 AF：FC 。解：过点 D作 DG/AC ，交 BF于点 G 所以 DG ：FC BD ：BC 因为 BD ：DC 1：3 所以 BD ：BC 1：4 即 DG ：FC1：4，FC 4DG 因为 DG ：AF DE ：AE 又因为 AE ：ED 2：3 所以 DG ：AF 3：2 即所以 AF ：FC ：4DG 1：6 例 2. 如图 2，BC
19、 CD ，AF FC ，求 EF ：FD 解：过点 C作 CG/DE交 AB于点 G ，则有 EF：GC AF ：AC 因为 AF FC 所以 AF：AC 1：2 即 EF：GC 1：2 因为 CG ：DE BC ：BD 又因为 BC CD 所以 BC ：BD 1：2 CG：DE 1：2 即 DE 2GC 因为 FD ED EF所以 EF：FD 小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学
20、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3. 如图 3，BD ：DC 1：3，AE ：EB 2：3，求 AF ：FD。解：过点 B作 BG/AD，交 CE延长线于点 G 。所以 DF：BG CD ：CB 因为 BD ：DC 1：3 所以 CD ：CB 3：4 即 DF ：BG 3：4 因为 AF ：BG AE ：EB 又因为 AE ：EB 2：3 所以 AF ：BG 2：3 即所以 AF ：DF 例 4. 如图 4，BD ：DC 1：3，AF FD ，求 EF ：FC 。图 4 解：过点
21、 D作 DG/CE ，交 AB于点 G 所以 EF ：DG AF：AD 因为 AF FD 所以 AF ：AD 1：2 即 EF ：DG 1：2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载因为 DG ：CE BD ：BC 又因为 BD ：CD 1：3 所以 BD ：BC 1：4 即 DG ：CE 1：4 CE 4DG 因为 FC CE EF所以 EF ：FC 1：7 练习：1. 如图 5，BD DC ，AE ：ED 1：5，求 AF ：FB 。2. 如图 6，AD ：DB 1：3，AE ：EC 3：1，求 BF ：FC 。答案： 1. 1 ：10；2. 9 ：1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -
