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1、学习必备欢迎下载【本讲教育信息 】一. 教学内容:组合二. 教学重、难点:1. 组合、组合数2.(1)(2)3. 性质:(1)(2)【典型例题】例 1 求证:证明: 左右 原式成立例 2 求证:证明: 右边例 3 计算:( 1)(2)解:(1)(2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载例 4 高二( 1)班共有 35 名同学,其中男生20 名,女生 15 名,今从中取出3 名同学参加活动。(1)其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一女生不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有 2 名女
2、生在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2 名女生在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2 名女生在内,不同的取法有多少种?解:(1)从余下的34 名学生中,选取2 名有(种)答: 不同的取法有561 种。(2)从 34 名可选学生中,选取3 名,有种,或者(种)答: 不同的取法有5984 种。(3)从 20 名男生中选取1 名,从 15 名女生中选取2 名,有(种)答: 不同的取法有2100 种。(4)选取 2 名女生有种,选取 3 名女生有种,共有选取方式(种)答: 不同的取法有2555 种。(5)选取 3 名的总数有,因此选取方式共有(种)答: 不同的取法有6090 种。例 5 10 双
3、互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4 只,试求各有多少种情况出现如下结果:(1) 4只鞋子没有成双的;(2) 4只鞋子恰成两双;(3) 4只鞋子中有2 只成双,另2 只不成双。解:(1)从 10 双鞋子中选取4 双,有种不同选法,每双鞋子中各取一只,分别有2 种取法。根据乘法原理。选取种数为(种)答: 有 3360 种不同取法。(2)从 10 双鞋子中选取2 双有种取法。即有45 种不同取法。答: 有 45 种不同取法。(3)解法一: 先选取一双有种选法,再从9 双鞋中选取2 双有种选法,每双鞋只取一只各有2 种取法。根据乘法原理,不同取法为(种)解法二: 先选取一双鞋子有种选法,
4、再从 18 只鞋子中选取2 只鞋有种,而其中成双的可能性有9 种,根据乘法原理,不同取法为(种)答: 有 1140 种不同取法。例 6 某出版社的11 名工人中,有5 人只会排版,4 人只会印刷,还有2 人既会排版又会印刷。现从这11 人中选出4 人排版、 4 人印刷,有几种不同的选法?解: 设 排版 ,B= 印刷 ,如图。对中的四人进行分类。(1)4 人全部选出,此时完成这件事还需从其余7 人中选出2 人排版。这相当于从4人中选出4 人印刷,从7 人中选出4 人制版,故有种选法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学
5、习必备欢迎下载(2)4 人中选出3 人,此时还需从中选出一人去印刷,然后再从剩下的6 人中选出 4 人制版,故有种取法。(3)4 人中选出2 人,此时还需从中选出两人去印刷,然后再从中选出4 人制版,故有种取法。根据分类计数原理,共有35+120+30=185 种不同的选法。例 7 有 6 本不同的书。(1)分给甲、乙、丙三人,如果每人得2 本有多少种方法?(2)分给甲、乙、丙三人,如果甲得1 本,乙得2 本,丙得 3 本,有多少种分法?(3)分给甲、乙、丙三人,如果1人得 1 本, 1 人得 2 本, 1 人得 3 本,有多少种分法?(4)分成三堆,其中一堆1 本,一堆2 本,一堆3 本,有
6、多少种分法?(5)平均分成三堆,有多少种分法?(6)分成四堆,其中2 堆各 1 本, 2 堆各 2 本,有多少种分法?(7)分给 4 人,其中2 人各 1 本, 2 人各 2 本,有多少种分法?解:(1)甲先取 2 本有种方法,乙再从余下的4 本书中取2 本有种方法,丙取最后2 本书有种方法。因此总共有种方法。(2)同( 1)有种分法。(3)三人中没有指明谁是甲、乙、丙,而三人中谁是甲、乙、丙可有种方法,所以共有种分法。(4)同( 2)有种分法。(5)同( 2)有种分法,下面对其正确性进行研究:设六本书,则中有可能为可能为可能为, 即有一分堆方法:;同时中也有可能的中可能为可能为,显然这种分组
7、方法同上,故种方法中有重复,应剔除,注意到的所有排列只对应一种分堆方法,故分堆方法应为种方法。本题还可用下面的方法处理:设每堆 2 本的分法为。分给甲、乙、丙每人两本,则可分步进行,先平均分成3 堆,有种方法,再将3 堆不同的书送给3 位同学,有种方法,所以,所以。(6)同( 5),同种方法。(7)同( 5)( 6),有种方法。例 8 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几
8、个?(3)( 1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?(4)( 1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个?解:(1)分步完成:第一步在4 个偶数中取3 个,可有种情况;第二步在5 个奇数中取4 个,可有种情况;第三步对3 个偶数, 4 个奇数进行排列,可有种情况;所以符合题意的七位数有(个)(2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有(个)(3)上述七位数中,3 个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有(个)(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4 个奇数排好,再将3 个偶数分别插入5个空当,共有(个)例 9 用 0,1,2,3, 9 这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与
9、两个偶数数字的五位数有多少个?解法一: 考虑 0 的特殊要求,如果对0 不加限制,应有种,其中0 居首位的有种,故符合条件的五位数共有个。解法二: 按元素分类:奇数字有1,3,5,7,9;偶数字有0,2,4,6,8。把从五个偶数中任取两个的组合分成两类:不含 0 的;含 0 的。 不含 0 的:由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有个; 含 0 的:这时 0 只能排在除首位以外的四个数位上,有种排法, 再选三个奇数数字与一个偶数数字全排放在其他数位上,共有种排法。综合和, 由分类计数原理得符合条件的五位数共有11040个。【模拟试题】一. 选择:1. 若,则等于()A. 3 B. 7 C. 1
10、0 D. 3 或 7 2. 已知、,且,则、的关系是()A. B. C. 或D. 3. 假设在 200 件产品中有3 件是次品,现在从中任意抽取5 件,其中至少有2 件次品的抽法有()A. B. C. D. 4. 从 6 人中选4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市, 且这 6 人中甲、乙不去巴黎游览, 则不同的选择方案共有()A. 300 种B. 240 种C. 144 种D. 96 种5. 在由数字1, 2, 3, 4, 5 组成的所有没有重复数字的五位数中,大于 23145 且小于 43521的数共有()A. 56 个B. 57 个C
11、. 58 个D. 60 个6. 四个不同的球放入编号为1, 2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有()A. 288 B. 144 C. 96 D. 24 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载二. 解答题:1. 平面上有9 个点,其中有4 个点共线,除此外无3 点共线。(1)经过这9 个点可确定多少条直线?(2)以这 9 个点为顶点,可确定多少个三角形?(3)以这 9 个点为顶点,可以确定多少个四边形?2. 小李有 10 个朋友,其中两人是夫妻,他准备邀请其中4 人到家中吃饭,这对夫妻或者都邀请
12、,或者都不邀请,有几种请客方法?3. 求证:【试题答案】一. 1. D 2. C 3. A 4. B 5. C 6. B 二. 1. 解法一:(直接法)(1)可确定直线(条)(2)可确定三角形(个)(3)可确定四边形(个)解法二:(间接法)(1)可确定直线(条)(2)可确定三角形(个)(3)可确定四边形(个)2. 请客方法可分两类:(1)请其中的夫妻二人,则还需从余下的8 人中选请2 人,有种方法;(2)不请其中的夫妻二人,则应从其余的8 人中选请4 人,有种方法。由分类计数原理,得请客方法共有种。3. 证明:,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页