《2022年初中平方根与立方根》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初中平方根与立方根（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习好资料欢迎下载平方根与立方根第一课时平方根教学目的：1、 使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；教学重点和难点：重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；难点：平方根的概念；关键：对符号“”意义的理解。学法指导：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣手脑并用启发诱导反馈矫正”的教学方法。教法指导：1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒
2、体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。教学过程：一、引入新课：我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。可以先预练120 的平方计算。二、新课学习：1、知识设疑：（1）计算： 42；( 4)2；(23)2；(0.8)2；(0.8)2（2）如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？因为开方与平方是互为逆运算， 所以适当进行平方运算的复习是必须的精选学习资料 - - - -
3、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习好资料欢迎下载这 些 数 都 是 正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数2、知识形成：知识点一：我们可以设这个数为x，则2x16，问题归结为求x。这个问题可以通过乘方运算来解决。因为 4216 所以 x4；又因为 ( 4)216，所以x 4。4 或 4的平方都等于16，可以表示为 ( 4)216。因为 4 或 4 的平方都等于16，我们把4 及 4 叫做 16 的平方根。概括 1： 一般地，如果一个数的平方等于a， 这个数就叫做a 的平方根 ( 或二次方根 ) 。就是说，如果x2a
4、, 那么 x 就叫做 a 的平方根。如： 23 与 23 都是 529 的平方根。因为 ( 23)2529，所以 23 是 529 的平方根。问： （1）16，49，100， 1 100 都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0 的平方根是什么? 概括 2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。知识点二：概括：求一个数a(a 0) 的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数， 0 的平方是 0。但一个正数的平方
5、根却有两个，这两个数互为相反数， 0 的平方根是0。负数没有平方根。因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。知识点三：（1）625 的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？7 和 7 是哪个数的平方根？正数 m的平方根怎样表示？（2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； ( 0.4)2；2)321(；16； (4)3（3）已知正方形的面积等于a, 那么它的边长等于多少？上面例子可以看到求 一 个 数 的 平 方根，可经转化为通过乘方运算来求。分析： 求平方根是开方运算，我们可以通过平方运算来解决。分析：因
6、为只有正数和零才有平方根， 所以 首先应观察所给出 的数是否为正数或 0。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习好资料欢迎下载3、例题讲解：例 1、求下列各数的平方根： (1)81 ；(2)1916 ；(3)0.09 。例 2、下列各数有平方根吗?如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1) 64；(2)0 ；(3)24例 4、求下列各式的值：(1)10000； (2)144； (3)12125；(4)0001.0； (5)8149三、巩固训练：4 1、3 四、知识小结：1、如果 x2a, 那么 x 就叫
7、做 a 的平方根，用a来表示。当 a0 时， a 有两个平方根，当 a0 时， a 有一个平方根，就是它本身；当 a0 时， a 没有平方根。2、求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。平方的结果是唯一的；在开平方运中， 被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的。五、课后作业：六、课后反思12.1 平方根与立方根第二课时算术平方根教学目的：1、使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；2、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；问：(1)24有平方根吗 ? (2)24与 4 相等吗?为什么 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
8、 - - - - -第 3 页，共 16 页学习好资料欢迎下载教学分析：重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法；难点：算术平方根的概念，对符号“”意义的理解，能用根号表示一个正数的平方根和算术平方根。教学过程：一、算术平方根的概念正数a有两个平方根(表示为a) ，我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为a。0 的平方根也叫做0 的算术平方根，因此0 的算术平方根是0，即00。“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。a的意义有两点：（1）被开方数a表示非负数，即a0；（2）a也表示非负数，即a0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即a0 时，a无
9、意义。如：93，8 是 64 的算术平方根，6无意义。9既表示对9 进行开平方运算，也表示9 的正的平方根。二、平方根与算术平方根的区别在于：定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同： 正数a的平方根表示为a, 正数a的算术平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习好资料欢迎下载方根表示为a；取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负0 的平方根与算术平方根都是0三、例题讲解：例 1、求下列各数的算术平方根：(1)100 ； (2)6449； (
10、3)0.81 例 2、求下列各数的平方根和算术平方根。144 324 116 0 0.25 0.0144 16121 400 6.25 例 3、100 的平方根是；0 的平方根是；121 的算术平方根是；0.25 的平方根是；6449的算术平方根是；2561的平方根是；1.69 的算术平方根是；（-3 ）2的平方根是；四、巩固训练：1、下列说法对吗？为什么？错的请你加以改正。（1） 9 的平方根是3；（2）49 的平方根是7；（3）0 的算术平方根是0；（4）1 的平方根是 1 ；（5） 1 是 1 的平方根；（6）7 的平方根是49；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
11、总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习好资料欢迎下载（7） （ 2）2的平方根是 2；五、知识小结：1、平方根、算术平方根概念、表示方法和读法。2、a) 正数的平方根有两个，他们互为相反数。b) 0的平方根有一个，为0。 c) 负数没有平方根。3、0 既是 0 的平方根，也是0 的算术平方根。平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念，全面掌握它，就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系六、课后作业：七、课后反思：12.1 平方根与立方根第三课时平方根和算术平方根教学目的：1、复习数的平方根和算术平方根的概念，会求非负数的平方根和算术平方根。；2、熟练掌握平方根和算术平
12、方根这两个概念的联系和区别；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习好资料欢迎下载教学分析：重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法；难点：算术平方根的概念，对符号“”意义的理解，能用根号表示一个正数的平方根和算术平方根。教学过程：1、知识回顾(1) 什么叫一个数a 的平方根 ?如何用符号表示数)0(aa的平方根? (2) 正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0 的平方根是什么? (3) 当0a时，式子a，a，a，的意义各是什么? (4) 平方根有哪些性质？分析： (1) 如果一个数x 的平方
13、等于a，即ax2，那么x 叫做 a的平方根，表示为xa。(2) 正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0 的平方根是 0。(3)a 0，a表示 a 的算术平方根，a表示 a 的负平方根，a表示 a 的平方根2、随堂练习一、选择题1下列说法正确的是（） A 、4 的平方根是2 B 、4 的算术平方根是-2 C、 8 的平方根是4 D、 9 的平方根是32下列计算中，正确的是（）A 39 B 43169 C 3)3(2 D 48精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习好资料欢迎下载381的平方根是（）A 9
14、B 9 C 3 D 3 4与135最接近的整数是（）A 11 B 12 C 13 D 14 二、填空题5 1。44 的平方根是；算术平方根是6259的平方根是；算术平方根是7一个数的平方根是31aa和，则a，这个数是。8已知：mn73，且nm,是两个连续整数， 则m，n。9计算：2)2(。10已知：062baa，则ab的平方根为。三、求下列各式中x的值：1252x 2092x 32592x4049162x 5412x 612132x四、小明设计一个如下程序：输入x0 1 4 9 25 )0(aa输出y1 2 3 4 12 （1）在上述）表格的空白处填上恰当的数值；（2）当输入的数字为435 时
15、，请你估算出与输出y最接近的一个整数。五、图 4 所示的是计算函数值的程序图，如输入的x的值为 -11 ， 因为 -11-10 ，则1221)11(122xy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习好资料欢迎下载 (1)若输入的x的值为6， 则y的 值 等于。(2) 若输入的x的值为123，则y的值等于。(3) 若输出的y的值为 5，则x的值等于。(4) 若输入的x的值为 13，请你估算出一个与y误差不超过0。5 的有理数的值。（简要写出计算过程和估算过程）注意： 由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可
16、将它们概括成： 非负数的算术平方根是非负数，即当a0 时，a0( 当a0 时，a无意义 ) 用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a (a应是非负数 ) 、边长为a的正方形就表示a的算术平方根。这里需要说明的是，算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a0 时，a表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根。例 2 以游戏的方法来进行课堂练习，一方面加强了学生对本堂课所学知识的理解和巩固，另一方面有挑战性的游戏，提高了学生的学习兴趣。巩固课堂知识，及时反馈课堂效果，更好地进行教学细节上的改进。精选学习资料 - - - - - - - -
17、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习好资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习好资料欢迎下载12.1 平方根与立方根教学目的：1、使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；2、理解开立方的概念；3、明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；教学分析：重点：立方根的概念及求法；难点：立方根与平方根的区别；关键：立方根的概念与性质及求法。教学过程：一、知识导向：立方根是与平方根等同的两个概念，在前面学习平方根与算术平方根概念的基础上， 进一
18、步来学习这个概念与知识，应该是相对轻松的。 所以在教材的处理上， 主要还是要侧重于两者的比较与关系，这样比较有利于学生的掌握。二、新课学习：1、知识设疑：（1）计算下列各题：31 .0、3)23(、30（2）怎样求下列括号内的数?各题中已知什么 ?求什么 ? 3)(18、3)(27 125、3)(0 2、知识形成概括 1：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做 a 的立方根 ( 也叫做三次方根 ) 。用式子表示，就是，如果ax3， 那么 x 叫做 a 的立方根。数 a 的立方根用符号“3a”表示，读作“三次根号a，其中 a各题是已知底数和乘方指数求三次幂的运算，也叫乘方运算开立方与立方也是互为逆
19、运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求。分析：求一个数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习好资料欢迎下载是被开方数， 3 是根指数。 ( 注意：根指数 3 不能省略 ) 。概括 2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。3、例题讲解：例 1、 求下列各数的立方根：8； 8；0。125；27125；0 例 2、 求下列各式的值：327、364、321017、31000三、巩固训练：1、求下列各数的立方根：（1） 512（2）125. 0（3）3)3(（4）8332、填空（1） 立方根等于本身的数是（2） 若
20、3x0。729，则x（3） 若216513y，则 y（4）64的立方根是，312的立方根是四、知识小结：1、 什么叫一个数的立方根 ?怎样用符号表示数 a 的立方根 ?a的取值范围是什么 ? 2、数的立方根与数的平方根有什么区别? 3、我们在学习立方根概念时，应对照平方根概念进行。五、课后作业：六、课后反思在立方根的学习中要让学生进行类比、讨论和总结， 切实认识到立方根与平方根之间的异同， 为立方根概念的引入打下坚实基础。让学生在类比中归结中记忆，有利于新知识的形成，也有利于旧知识的巩固。的立方根，我们可以通过立方运算来求正数有一个正的立方根；负数有一 个 负 的 立 方根；零的立方根仍旧是零
21、立方根的个数的性质可以概括为立 方 根 的 唯 一性，即一个数的立方根是唯一的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习好资料欢迎下载12.2 实数与数轴教学目的：1、使学生了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类， 会准确判断一个数是有理数还是无理数；2、使学生能了解实数绝对值的意义；3、使学生能了解数轴上的点具有一一对应关系；4、由实数的分类，渗透数学分类的思想；教学分析：重点：无理数及实数的概念；难点：有理数与无理数的区别，点与数的一一对应；关键：由实数与数轴的一一对应，渗透数形结合的思想。教学过程：一、知识导向
22、：在有理数基础上进一步将数系扩展到实数，从学习的角度看，它是以平方根为基础，从具体的例子（2）提炼出无理数的概念，并类比有理数的运算简单的实数的运算。实数引入的关键是无理数的引入， 无理数在数学史上一开始并不被人们接受， 对于无理数的理解是一个难点，因而教学时要花较多的时间，真正让学生体会到用计算器求得2的值只是一个近似值，并能在数轴上给予确定其相对位置。从而确立了实数与数轴上的点一一对应。二、新课拆析：1、知识设疑：其一、什么叫有理数？其二、有理数可以如何分类？2、知识形成概括：无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。（1）实数的定义：有理数与无理数统称为实数。（2）实数的相反数：（3）实数的
23、绝对值：（4）实数的运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习好资料欢迎下载3、知识拓展我们在学有理数时，接触过数轴，请学生回忆什么叫数轴。规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。每一个有理数在数轴都有一个对应的位置，反过来，数轴上所有的点都表示有理数吗？画出课本中的数轴，并画出2，可见数轴上的数，不仅有表示有理数的点， 还有表示无理数的点， 所以实数与数轴上的点是一一对应的。实数的大小比较。 数轴上右边的数总比左边的数大。不过有时我们还要将无理数取近似值， 用有限小数来代替无理数进行比较。试估算（ 1）10
24、在哪两个整数之间？（2）3。1103。2 正确吗？实数的计算。在有理数范围的运算律及运算性质以实数范围内仍然适用。结果要求精确到某一位时， 在计算过程中应比结果要求的多保留一位小数， 最后一步再次进行4 舍 5 入，得到一个符合要求的数。4、例题讲解：例 1、下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数? 0。313 131，2，81 ，23， 3 27， 3 。14， 7 ，0。4829， 1 。020020 002 ， 3 9 ， 3 0。5 例 2、求下列各式中的x：（1）若|x； （2）若|x-1| 2。例 3、判断题：（1）任何实数的偶次幂是正实数。 （）（2）在实数范围内，若
25、 | x|y| 则 xy。 （）（3）0 是最小的实数。（）（4）0 是绝对值最小的实数。（）按课本中列表，将各数间的联系介绍一下除了按定义还能按大小写出列表在此处应强调一一对应的意义提示：用数轴来表示实数，是一个相当重要的数学思想数形结合根据定义来分类联系有关绝对值的知识点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习好资料欢迎下载例 4、求下列各数的相反数及绝对值：(1)3 64；(2)3 例 5、试估计32与的大小关系。例 6、计算：|2 33 2 |2） （结果精确到 0。01）三、巩固训练：1、下列各数，哪些是
26、有理数?哪些是无理数 ?哪些是实数 ? 3， 3 8， 1 。732， 0 。 2 ，0。13，3 5，2。734 78，227。2、判断正误，并说明理由。(1) 在理数是实数； ( ) (2) 实数是无理数； ( ) (3) 无限小数都是无理数； ( ) (4) 带根号的数都是无理数；( ) (5)0 是实数； ( ) (6)0 是无理数； ( ) (7)0 是有理数； ( ) (8) 无理数都是开方开不尽的数。( ) 3。求下列各数的相反数和绝对值：(1)2 。5；(2) 7；(3) 5；(4)0 ；(5)3 2；(6) 3。4。求下列各式中的实数x；(1) x 23；(2) x 0；(3
27、) x 10；(4) x2。5。 已知：nm73， 且nm,是两个连续整数，m，n。四、知识小结：1、今天我们学习了实数，请同学们首先要清楚，实数是如何定义的，它与有理数是怎样的关系，二是对实数两种不同的分类要清楚；2、要对应有理数的相反数与绝对值定义及运算律和运算性质，来理解在实数中的运用。五、课后作业：能通过估值来比较大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习好资料欢迎下载六、教学反思：我国古代数学家关于的研究：圆的周长与直径的比值是一个常数，它是一个无理数， 我们可以用有理数来近似表示它。求无理数的近似值，
28、 我国古代数学家早已作出了巨大的贡献，在东汉初年的数学书周髀算经里已经载有“周三径一” ，称之为“古率”，就是说，直径是 1 的圆，它的周长是3。到了西汉末年，刘歆(约分元前 50 年到公元 23 年) 定圆周率为 3。1547，到了东汉时代， 张衡( 公元 78139 年) 求得两个比，一是 92 293。17241，另一个是10，约等于 3。1622。( 印度数学家罗笈多也曾定圆周率为10，但已迟于张衡 500 多年。) 到了三国时，魏人刘徽 ( 公元 263 年) 创立了求圆周率的准确值的原理，他用割圆术求得圆周率的前三位数字是3。14，称为徽率。到南北朝时代的祖冲之 (公元 429年500 年)，他已推算出3。1415926 3。1415927。也就是 3。1415926，他是世界上第一个确定圆周率准确到 7 位小数的人。祖冲之又提出了用两个分数表示的近似值。即 22 7 及 355 113，分别称为的约率和密度。在祖冲之发现密率一千多年后，欧洲的安托尼兹(16 世纪17 世纪)才重新发现了这个值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
