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1、学习必备欢迎下载第十一章全等三角形综合复习切记: “有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例 1. 如图,,A F E B四点共线,ACCE,BDDF,AEBF,ACBD。求证:ACFBDE。例2. 如图,在ABC中,BE是 ABC的平分线,ADBE,垂足为D。求证:21C。例 3. 如图,在ABC中,ABBC,90ABC。F为AB延长线上一点, 点E在BC上,BEBF,连接,AE EF 和CF。求证:AECF。例 4. 如图,AB/CD,AD/BC,求证:ABCD。例 5. 如图,,AP CP 分别是ABC外角MAC和NCA的平分线,它们交于点P。求证
2、:BP为MBN的平分线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页学习必备欢迎下载例 6. 如图,D是ABC的边BC上的点,且CDAB,ADBBAD,AE是ABD的中线。求证:2ACAE。例7. 如 图 , 在ABC中 ,ABAC,12,P为AD上 任 意 一 点 。 求 证 :ABACPBPC。同步练习一、选择题:1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件,能画出唯一ABC的是 ( ) A. 3AB,4BC,8CAB. 4AB
3、,3BC,30AC. 60C,45B,4ABD. 90C,6AB3. 如图,已知12,ACAD,增加下列条件:ABAE;BCED;CD;BE。其中能使ABCAED的条件有 ( ) A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页学习必备欢迎下载4. 如图,12,CD,,AC BD交于E点,下列不正确的是( ) A. DAECBEB. CEDEC. DEA不全等于CBED. EAB是等腰三角形5. 如图,已知ABCD,BCAD,23B,则D等于 ( ) A. 67B. 46C. 23
4、D. 无法确定二、填空题:6. 如 图 , 在ABC中 ,90C,ABC的 平 分 线BD交AC于 点D, 且:2 : 3C DA D,10ACcm,则点D到AB的距离等于 _cm;7. 如 图 , 已 知ABDC,ADBC,,E F是BD上 的 两 点 , 且BEDF, 若100AEB,30ADB,则BCF_;8. 将 一 张 正 方 形 纸 片 按 如 图 的 方 式 折 叠 ,,BC BD为 折 痕 , 则CBD的 大 小 为_;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页学习必备欢迎下载9. 如图,在等腰Rt ABC
5、中,90C,ACBC,AD平分BAC交BC于D,DEAB于E,若10AB,则BDE的周长等于 _;10. 如图,点,D E F B在同一条直线上,AB/CD,AE/CF,且AECF,若10BD,2BF,则EF_;三、解答题:11. 如图,ABC为等边三角形, 点,M N分别在,BC AC上,且BMCN,AM与BN交于Q点。求AQN的度数。12. 如图,90ACB,ACBC,D为AB上一点,AECD,BFCD,交CD延长线于F点。求证:BFCE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - -
6、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页学习必备欢迎下载答案例 1. 思路分析: 从结论ACFBDE入手,全等条件只有ACBD;由AEBF两边同时减去EF得到AFBE,又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件,可以是CFDE,也可以是AB。由条件ACCE,BDDF可得90ACEBDF, 再加上AEBF,ACBD,可以证明ACEBDF,从而得到AB。解答过程 :ACCE,BDDF90ACEBDF在Rt ACE与Rt BDF中AEBFACBDRt ACERt BDF(HL) ABAEBFAEEFBFEF,即AFBE在ACF与BDE中AFBEABAC
7、BDACFBDE(SAS) 解题后的思考:本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法:一方面从问题或结论入手, 看还需要什么条件;另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。小结:本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件,而且告诉我们如何去分析一个题目,得出解题思路。例 2. 思路分析: 直接证明21C比较困难,我们可以间接证明,即找到,证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。那么在哪里呢?角的对称性提示我们将AD延长交BC于F,则构造了 FBD ,可以通过证明三角形全等来证明2=DFB,可以由三角形外角定理得
8、DFB= 1+C。解答过程 :延长AD交BC于F在ABD与FBD中90ABDFBDBDBDADBFDBABDFBD(ASA 2DFB又1DFBC21C。解题后的思考: 由于角是轴对称图形, 所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页学习必备欢迎下载例 3. 思路分析: 可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置,而线段CF正好是CBF的边,故只要证明它们全等即可。解答过程 :90ABC,F为AB延长线
9、上一点90ABCCBF在ABE与CBF中ABBCABCCBFBEBFABECBF(SAS) AECF。解题后的思考:利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角。小结:利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例 4. 思路分析: 关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程 :连接ACAB/CD,AD/BC12,34在ABC与CDA中1243ACCAABCCDA(ASA) ABCD。解题后的思考:
10、连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。例 5. 思路分析: 要证明“BP为MBN的平分线”,可以利用点P到,BM BN的距离相等来证明,故应过点P向,BMBN作垂线;另一方面,为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC和NCA的平分线”,也需要作出点P到两外角两边的距离。解答过程 :过P作PDBM于D,PEAC于E,PFBN于F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页学习必备欢迎下载AP平分MAC,PDBM于D,PEAC于EPDPECP平分NCA,PEAC于E,PFBN于FPEPFPDPE,PEPFPDPFP
11、DPF,且PDBM于D,PFBN于FBP为MBN的平分线。解题后的思考:题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题。例 6. 思路分析: 要证明“2ACAE” ,不妨构造出一条等于2AE的线段,然后证其等于AC。因此,延长AE至F,使EFAE。解答过程 :延长AE至点F,使EFAE,连接DF在ABE与FDE中AEFEAEBFEDBEDEABEFDE(SAS) BEDFADFADBEDF,ADCBADB又ADBBADADFADCABDF,ABCDDFDC在ADF与ADC中ADADADFADCDFDCADFAD
12、C(SAS) AFAC又2AFAE2ACAE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页学习必备欢迎下载解题后的思考: 三角形中倍长中线, 可以构造全等三角形,继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。例 7. 思路分析: 欲证ABACPBPC,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差,故用两边之差小于第三边来证明,从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。解答过程 :法一:在AB上截取ANAC,连接PN在APN与APC中12ANACAPAPAPNAPC(SAS)
13、 PNPC在BPN中,PBPNBNPBPCABAC,即 AB ACPB PC。法二:延长AC至M,使AMAB,连接PM在ABP与AMP中12ABAMAPAPABPAMP(SAS) PBPM在PCM中,CMPMPCABACPBPC。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页学习必备欢迎下载解题后的思考:当已知或求证中涉及线段的和或差时,一般采用“截长补短”法。具体作法是: 在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为“截长”;或者将一条较短线段延长,使其等于另外的较短线段,
14、然后证明这两条线段之和等于较长线段,称为“补短”。小结: 本题组总结了本章中常用辅助线的作法,以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法,还要知道辅助线为什么要这样作,这样作有什么用处。同步练习的答案一、选择题:1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 二、填空题:6. 4 7. 708. 909. 10 10. 6 三、解答题:11. 解:ABC为等边三角形ABBC,60ABCC在ABM与BCN中ABBCABCCBMCNABMBCN(SAS) NBCBAM60AQNABQBAMABQNBC。12. 证明:AECD,BFCD90FAEC90ACECAE90ACB90ACEBCFCAEBCF在ACE与CBF中FAECCAEBCFACBCACECBF(AAS) BFCE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页