《2022年第四章任意角弧度制及任意角的三角函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第四章任意角弧度制及任意角的三角函数（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第 1 讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2013年高考会这样考】1考查三角函数的定义及应用2考查三角函数值符号的确定【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解基础梳理1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角终边与角 相同的角可写成 k 360 (kZ)(3)弧度制1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，| |lr，l 是以角 作为圆心角
2、时所对圆弧的长，r 为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr与所取的 r 的大小无关，仅与角的大小有关弧度与角度的换算： 360 2弧度； 180 弧度弧长公式： l| |r，扇形面积公式： S扇形12lr12| |r2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页学习必备欢迎下载2任意角的三角函数定义设 是一个任意角， 角 的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，那么角 的正弦、余弦、正切分别是：sin yr，cos xr，tan yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数3三角函
3、数线设角 的顶点在坐标原点， 始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M，则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影由三角函数的定义知，点 P 的坐标为 (cos_ ，sin_ )，即 P(cos_ ，sin_ )，其中 cos OM，sin MP，单位圆与 x 轴的正半轴交于点A，单位圆在 A 点的切线与 的终边或其反向延长线相交于点T，则 tan AT.我们把有向线段OM、MP、AT 叫做 的余弦线、正弦线、正切线三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM为余弦线有向线段 AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二
4、正弦、三正切、四余弦(2)终边落在x 轴上的角的集合 | k ，kZ ；终边落在y 轴上的角的集合|2k ，kZ； 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为 k2，kZ. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点， |OP|r 一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 37 页学习必备欢迎下载三个注意(1)注意易混概念的区别： 第一象限角、锐角、小于 90 的角是概念不同的三类角
5、，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(3)注意熟记 0 360 间特殊角的弧度表示，以方便解题双基自测1下列与94的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k 45 (kZ) Bk 360 94(kZ)Ck 360 315 (kZ) Dk 54(kZ) 2若 k 180 45 (kZ)，则 在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限D第三或第四象限3若 sin 0 且 tan 0，则 是()A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角4已知角 的终边过点 (1,2)，则 co
6、s 的值为 ()A55B.2 55C2 55D125已知角 的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则 y_. 考向一角的集合表示及象限角的判定【例 1】?(1)写出终边在直线y3x 上的角的集合；(2)若角 的终边与67角的终边相同，求在 0,2 )内终边与3角的终边相同的角；(3)已知角 是第二象限角，试确定2 、2所在的象限 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 37 页学习必备欢迎下载【训练 1】 角 与角 的终边互为反向延长线，则()A B 180 C k 36
7、0 (kZ) D k 360 180 (kZ) 考向二三角函数的定义【例 2】?已知角 的终边经过点 P(3，m)(m0)且 sin 24m，试判断角 所在的象限，并求cos 和 tan 的值【训练 2】 已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 cos 2 ()A45B35C.35D.45考向三弧度制的应用【例 3】?已知半径为 10的圆 O 中，弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 的大小；(2)求 所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S. 【训练 3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四
8、三角函数线及其应用【例 4】?在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围并由此写出角的集合：(1)sin 32；(2)cos 12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 37 页学习必备欢迎下载【训练 4】 求下列函数的定义域：(1)y2cos x1；(2)ylg(34sin2x)规范解答 7如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设 是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为 (x，y)，它到原点的距离是 r(rx2y20)，则 sin yr、cos xr、tan yx分别是 的正弦、余弦、正
9、切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y 的符号由 终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得 x，y，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论【示例】已知角 终边经过点 P(x，2)(x0)，且 cos 36x，求 sin 、tan 的值【试一试】已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin cos 45tan .第 2 讲同角三角函数的基本关系与诱导公式【2013年高考会这样考
10、】1考查同角三角函数的基本关系式2考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用【复习指导】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 37 页学习必备欢迎下载本讲复习时应紧扣三角函数的定义， 理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解， 掌握其规律基础梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2 cos2 1；(2)商数关系：sin cos tan . 2诱导公式公式一： sin( 2k)sin ，cos( 2k) cos_ ，其中 kZ. 公式二： sin( )si
11、n_ ，cos( )cos_ ，tan( )tan . 公式三： sin( )sin_ ，cos( )cos_ . 公式四： sin( )sin ，cos( ) cos_ . 公式五： sin2cos_ ，cos2sin . 公式六： sin2cos_ ，cos2sin_ . 诱导公式可概括为k2 的各三角函数值的化简公式 记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限三
12、种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan sin cos 化成正、余弦精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 37 页学习必备欢迎下载(2)和积转换法：利用 (sin cos )21 2sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“ 1” 的变换： 1sin2 cos2 cos2 (1tan2 )tan4. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判
13、断符号(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化双基自测1已知 sin( )12，则 cos 的值为 ()A12B.12C.32D322点 A(sin 2 011，cos 2 011 )在直角坐标平面上位于 ()A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限3已知 cos 45， (0，)，则 tan 的值等于 ()A.43B.34C43D344cos 174sin 174的值是 ()A.2 B2 C0 D.225已知 是第二象限角， tan 12，则 cos _. 考向一利用诱导公式化简、求值【例 1】?已知 f( )sin cos2 sin2tan ，求 f313. 精选学习资料
14、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 37 页学习必备欢迎下载【训练1】 已知角终边上一点P(4,3)，则cos2sin cos112sin92的值为_考向二同角三角函数关系的应用【例 2】已知 tan 2.求：(1)2sin 3cos 4sin 9cos ；(2)4sin2 3sin cos 5cos2 . 【训练 2】 已知sin 3cos 3cos sin 5.则 sin2 sin cos _. 考向三三角形中的诱导公式【例 3】?在ABC 中，sin Acos A2，3cos A2cos( B)，求 ABC的三个内角【训练 3】 若
15、将例 3 的已知条件“ sin Acos A2”改为“ sin(2 A)2sin( B)”其余条件不变，求ABC的三个内角阅卷报告 3忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误., 【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 37 页学习必备欢迎下载【示例】?若 sin ，cos 是关于 x 的方程 5x2xa0(a 是常数 )的两根， (0，)，求 cos 2的值【试一试
16、】已知 sin cos 713， (0，)，求 tan .第 3 讲三角函数的图象与性质【2013年高考会这样考】1考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用2考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用【复习指导】1掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象通过三角函数的图象研究其性质2注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用基础梳理1“五点法 ”描图(1)ysin x的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为(0,0)，2，1 ，( ，0)，32，1 ，(2 ，0)(2)ycos x 的图象在 0,2
17、上的五个关键点的坐标为(0,1)，2，0 ，( ，1)，32，0 ，(2 ，1)2三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RR x|xk 2，kZ 图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 37 页学习必备欢迎下载值域1,11,1R对称性对称轴： xk 2(kZ) 对称中心：(k ，0)(kZ) 对称轴： xk( kZ) 对称中心：k 2，0 kZ无对称轴对称中心：k2，0 (kZ) 周期22单调性单调增区间2k 2， 2k 2(kZ)；单调减区间2k 2，2k 32(kZ) 单调增区间 2k ，
18、2k( kZ)；单调减区间 2k ，2k (kZ) 单调增区间 k 2，k 2(kZ) 奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性：函数 yAsin(x )和 yAcos(x )的最小正周期为2| |， ytan(x )的最小正周期为| |. (2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x 或 yAtan x ，而偶函数一般可化为 yAcos x b 的形式三种方法求三角函数值域 (最值 )的方法：(1)利用 sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x )k 的形式逐步分析x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；精选学习资料 - - - - - - - - -
19、 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 37 页学习必备欢迎下载(3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题双基自测1函数 ycos x3，xR()A是奇函数 B是偶函数C既不是奇函数也不是偶函数D既是奇函数又是偶函数2函数 ytan4x 的定义域为 ()A. x xk 4，kZB. x x2k 4，kZC. x xk 4，kZD. x x2k 4，kZ3 设函数 f(x)sin(x )cos(x ) 0，| |2的最小正周期为 ， 且 f(x)f(x)，则()Af(x)在 0，2单调递减 Bf(x)在4，34单调递减C
20、f(x)在 0，2单调递增 Df(x)在4，34单调递增4ysin x4的图象的一个对称中心是()A( ，0) B.34，0 C.32，0D.2，05函数 f(x)cos 2x6的最小正周期为 _考向一三角函数的定义域与值域【例 1】?(1)求函数 ylg sin 2x9x2的定义域(2)求函数 ycos2xsin x |x|4的最大值与最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 37 页学习必备欢迎下载(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域 (最值)
21、常见到以下几种类型的题目：形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为yAsin(x )k 的形式，再求最值(值域)；形如 yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值)；形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数，可先设tsin x cos x，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值)【训练 1】 (1) 求1)32sin(2xy的最小正周期，对称轴，对称中心，函数的最大最小值，且当y 取得最大，小值时对应x的取值集合；函数的单调区间；当,12x时， y 的取值范围；精选学习资料 - - - - - -
22、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 37 页学习必备欢迎下载（2） 已知函数xxxxxf2sin21cos3)3cos(sin2)(2（ 1）求函数)(xf的最小正周期；（2）求函数)(xf的最大值与最小值；（ 3）写出函数)(xf的单调递增区间 （复合函数单调性的求法）（3）. 已知函数2( )sin3sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为（）求的值；（）求函数( )f x在区间203，上的取值范围（3） ：已知函数( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx（）求函数( )f x的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数( )f x在
23、区间,122上的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 37 页学习必备欢迎下载（4） ：已知函数223sin2 3sincos5cosfxxxxx（）求函数fx的周期和最大值；（）已知5f，求tan的值(5)已知函数 f(x)cos 2x32sin x4 sin x4，求函数 f(x)在区间 12，2上的最大值与最小值(6) 求函数 ysin xcos x的定义域考向二三角函数的奇偶性与周期性【例 2】函数 y2cos2x41 是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的
24、偶函数【训练 2】 已知函数 f(x)(sin xcos x)sin x，xR，则 f(x)的最小正周期是_考向三三角函数的单调性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 37 页学习必备欢迎下载【例 3】?已知 f(x)sin xsin2x ，x0， ，求 f(x)的单调递增区间求形如 yAsin(x )k 的单调区间时，只需把 x 看作一个整体代入 ysin x 的相应单调区间内即可，若为负则要先把 化为正数【训练 3】 函数 f(x)sin 2x3的单调减区间为 _考向四三角函数的对称性【例 4】?(1)函数 ycos 2
25、x3图象的对称轴方程可能是()Ax6Bx12Cx6Dx12(2)若 0 2，g(x)sin 2x4是偶函数，则 的值为 _【训练 4】(1)函数 y2sin(3x )| |2的一条对称轴为 x12， 则 _. (2)函数 ycos(3x )的图象关于原点成中心对称图形则 _. 难点突破 9利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题， 一般属于逆向型思维问题， 难度相对较大一些 正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析一、根据三角函数的单调性求解参数精选学习
26、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 37 页学习必备欢迎下载【示例】 已知函数 f(x)sin x 3( 0)的单调递增区间为k 512，k 12(kZ)，单调递减区间为k 12，k 712(kZ)，则 的值为 _二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】 已知 f(x)cos( 3x )3sin( 3x )为偶函数，则可以取的一个值为()A.6B.3C6D3根据三角函数的周期性求解参数【示例】若函数 ysin x sin x 2( 0)的最小正周期为7，则 _. 根据三角函数的最值求参数【示例】若函数 f(x)asin xbcos
27、 x 在 x3处有最小值 2，则常数 a、b 的值是Aa1，b3 Ba1，b3Ca3，b1 Da3，b1 第 4 讲正弦型函数yAsin(x )的图象及应用【2013年高考会这样考】1考查正弦型函数yAsin(x )的图象变换2结合三角恒等变换考查yAsin(x )的性质及简单应用3考查 ysin x 到 yA sin(x )的图象的两种变换途径【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数yAsin(x )的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题基础梳理1用五点法画 yAsin(x )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示精选学习资料 - - - -
28、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 37 页学习必备欢迎下载x 02 322 x 02322yAsin(x )0A 0A 0 2函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x )的图象的步骤3当函数 yAsin(x )(A0， 0，x0，)表示一个振动时， A 叫做振幅， T2叫做周期， f1T叫做频率， x 叫做相位， 叫做初相4图象的对称性函数 yAsin(x )(A0， 0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数 yAsin(x )的图象关于直线xxk(其中 xk k 2，kZ)成轴对称图形(2)函数 yAsin(x )的图象关
29、于点 (xk,0)(其中 xk k ， kZ)成中心对称图形一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则 AMm2，kMm2，由周期 T 确定，即由2T 求出， 由特殊点确定一个区别由 ysin x 的图象变换到 yAsin (x )的图象，两种变换的区别： 先相位变换再周期变换 (伸缩变换 )，平移的量是 | |个单位；而先周期变换 (伸缩变换 )再相位变换，平移的量是| |( 0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 37 页学习必备欢迎下载言，即 x本身
30、加减多少值，而不是依赖于x 加减多少值两个注意作正弦型函数 yAsin(x )的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象双基自测1y2sin 2x4的振幅、频率和初相分别为()A2，1，4B2，12，4C2，1，8D2，12，82.已知简谐运动 f(x)Asin(x ) | |2的部分图象如图所示， 则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 分别为 ()AT6 ， 6BT6 ， 3CT6， 6DT6， 33函数 ycos x(xR)的图象向左平移2个单位后，得到函数yg(x)的图象，则g(
31、x)的解析式应为 ()Asin xBsin xCcos xDcos x4设 0，函数 ysinx 32 的图象向右平移43个单位后与原图象重合，则 的最小值是 ()A.23B.43C.32D3 5已知函数 f(x)sin(x )( 0)的图象如图所示，则 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页学习必备欢迎下载考向一作函数yAsin(x) 的图象【例 1】?设函数 f(x)cos(x ) 0，2 0 的最小正周期为 ，且 f432.(1)求 和 的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0， 上的图象【训练 1
32、】 已知函数 f(x)3sin12x4，xR. (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数 ysin x 的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？考向二求函数 yAsin(x )的解析式【例 2】函数 f(x)Asin(x )(A， ，为常数， A0， 0)的部分图象如图所示，则 f(0)的值是 _【训练 2】 已知函数 yAsin(x )(A0，| |2， 0)的图象的一部分如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 37 页学习必备欢迎下载(1)求 f(x)的表达式；(2)试写出 f(x)的
33、对称轴方程考向三函数 yAsin(x )的图象与性质的综合应用【例 3】已知函数 f(x)Asin(x )，xR(其中 A0， 0,0 2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上的一个最低点为M23，2 .(1)求 f(x)的解析式； (2)当 x12，2时，求 f(x)的值域【训练 3】 已知函数 yAsin(x )(A0， 0)的图象过点 P12，0 ，图象上与点 P 最近的一个最高点是Q3，5 . (1)求函数的解析式；(2)求函数 f(x)的递增区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 37 页
34、学习必备欢迎下载规范解答 8怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误(2)主要题型：求已知三角函数的值域(或最值)；根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；三角函数的值域 (或最值 )作为工具解决其他与范围相关的问题【解决方案】形如yasin xbcos xc 的三角函数，可通过引入辅助角cos aa2b2，sin ba2b2，将原式化为ya2b2 sin(x )c 的形式后，再求值域 (或最值 )；形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设tsin x，将原式化为二次函数yat2btc 的形式，进
35、而在 t1,1上求值域 (或最值)；形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数， 可先设 tsin x cos x，将原式化为二次函数y12a(t21)btc的形式，进而在闭区间t2，2上求最值【示例】已知函数 f(x)4cos xsin x61. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 6，4上的最大值和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 37 页学习必备欢迎下载【试一试】是否存在实数 a，使得函数 ysin2xacos x58a32在闭区间 0，2上的最大值是 1？
36、若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由第 5 讲两角和与差的正弦、余弦和正切【2013年高考会这样考】1考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值2利用三角公式考查角的变换、角的范围【复习指导】本讲复习应牢记和、 差角公式及二倍角公式， 准确把握公式的特征， 活用公式 (正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C( )：cos( )cos_ cos_ sin_ sin_ ；(2)C( )：cos( )cos_ cos_ sin_ sin_ ；(
37、3)S( )：sin( )sin_ cos_ cos_ sin_ ；(4)S( )：sin( )sin_ cos_ cos_ sin_ ；(5)T( )：tan( )tan tan 1tan tan ；(6)T( )：tan( )tan tan 1tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 2 2sin_ cos_ ；(2)C2：cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 37 页学习必备欢迎下载(3)T2：tan 2 2tan 1tan2.
38、3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan( )(1?tan_ tan_ )；(2)cos2 1cos 22，sin2 1cos 22；(3)1sin 2 (sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2，sin cos 2sin 4. 4函数 f( )acos bsin (a，b 为常数 )，可以化为 f( )a2b2sin( )或f( )a2b2cos( )，其中 可由 a，b 的值唯一确定两个技巧(1)拆角、拼角技巧： 2 ( )( )； ( ) ； 2 2； 2 22. (2)化简技巧：切化弦、 “ 1” 的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉
39、及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等双基自测1下列各式的值为14的是()A2cos2121 B12sin275 C.2tan 22.51tan222.5 Dsin 15 cos 15 2若 tan 3，则sin 2cos2的值等于 ()A2 B3 C4 D6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
40、-第 23 页，共 37 页学习必备欢迎下载3已知 sin 23，则 cos( 2 )等于()A53B19C.19D.534设 sin413，则 sin 2 ()A79B19C.19D.795tan 20 tan 40 3tan 20 tan 40_. 考向一三角函数式的化简【例 1】?化简2cos4x2cos2x122tan4x sin24x. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向【训练 1】
41、 化简：sin cos 1 sin cos 1sin 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 37 页学习必备欢迎下载考向二三角函数式的求值【例 2】?已知 0 2 ，且 cos 219，sin223，求 cos( )的值【训练 2】 已知 ， 0，2，sin 45，tan( )13，求 cos 的值考向三三角函数的求角问题【例 3】?已知 cos 17，cos( )1314，且 0 2，求 . 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
42、若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为 2，2，选正弦较好【训练 3】 已知 ， 2，2，且 tan ，tan 是方程 x23 3x40 的两个根，求 的值考向四三角函数的综合应用【例 4】已知函数 f(x)2cos 2 xsin2x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 37 页学习必备欢迎下载(1)求 f3的值； (2)求 f(x)的最大值和最小值高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为yAsi
43、n(x )的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质【训练 4】 已知函数 f(x)2sin( x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间6，2上的最大值和最小值难点突破 10三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、 化简和证明， 许多考生一筹莫展， 而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如 ( ) ，2 (
44、 )( )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论【示例】 已知 tan x42，则tan xtan 2x的值为 _二、给值求角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 37 页学习必备欢迎下载“给值求角”： 实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角， 把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角【示例】 已知 tan( )12，tan 17，且 ， (0，)，求 2 的值三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条
45、件求值的形式考查 近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向【示例】 已知向量 a(sin ，2)与 b(1，cos )互相垂直，其中 0，2. (1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 5cos( )3 5cos ，0 2，求 cos 的值第 6 讲正弦定理和余弦定理【2013年高考会这样考】1考查正、余弦定理的推导过程2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 37 页学习必备欢迎下载【复习指导】1掌握正弦定理
46、和余弦定理的推导方法2通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择基础梳理1正弦定理：asin Absin Bcsin C2R，其中 R 是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理： a2b2 c22bccos_A， b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为： cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，co
47、s Ca2b2c22ab. 3SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R12(abc) r(R是三角形外接圆半径， r 是三角形内切圆的半径 )，并可由此计算 R，r. 4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 37 页学习必备欢迎下载解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较
48、大的角也较大，即在 ABC中，AB? ab? sin Asin B. 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角； (2)已知三边，求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦 (余弦)定理实施边、角转换双基自测1在 ABC 中，A60 ，B75 ，a10，则 c 等于()A5 2 B10 2 C.10 63D5 6 2在 ABC 中，若sin
49、 Aacos Bb，则 B 的值为()A30B45C60D903在 ABC 中，a3，b1，c2，则 A 等于()A30B45C60D754在 ABC 中，a3 2，b2 3，cos C13，则 ABC 的面积为 ()A3 3 B23 C4 3 D. 3 5已知 ABC 三边满足 a2b2c23ab，则此三角形的最大内角为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 37 页学习必备欢迎下载考向一利用正弦定理解三角形【例 1】?在ABC 中，a3，b2，B45 .求角 A，C 和边 c. 【训练 1】 在ABC 中，若 b5，B4
50、，tan A2，则 sin A_；a_. 考向二利用余弦定理解三角形【例 2】?在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且cos Bcos Cb2ac. (1)求角 B 的大小；(2)若 b13，ac4，求ABC 的面积【训练 2】 已知 A，B，C 为ABC 的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且 2cos2A2cos A0. (1)求角 A 的值；(2)若 a2 3，bc4，求ABC 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 37 页学习必备欢迎下载考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例 3】?在
51、ABC 中，若 (a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断 ABC 的形状【训练 3】 在ABC 中，若acos Abcos Bccos C；则 ABC 是()A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形考向三正、余弦定理的综合应用【例 3】?在ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是a，b，c，已知 c2，C3.(1)若ABC的面积等于3，求 a，b；(2)若 sin Csin(BA)2sin 2A，求 ABC 的面积【训练 3】 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且 cos B45，b2.(1)当 A30 时，求 a 的值；(2)当ABC
52、 的面积为 3 时，求 ac 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 37 页学习必备欢迎下载阅卷报告 4忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件 . 【示例】在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长， a3，b2，12cos(BC)0，求边 BC 上的高【试一试】 ABC 的三个内角 A，B，
53、C 所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2A2a.(1)求ba；(2)若 c2b23a2，求 B. 第 7 讲正弦定理、余弦定理应用举例【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题【复习指导】1本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法2加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力基础梳理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 37 页学习必备欢迎下载1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、
54、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫仰角， 在水平线下方的角叫俯角 (如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为 (如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30 ，北偏西 45 ，西偏东 60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4
55、)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形， 先解够条件的三角形， 然后逐步求解其他三角形， 有时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 37 页学习必备欢迎下载需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程 (组)得出所要求的解双基自测1如图，设 A，B 两点在河的两岸
56、，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45 ，CAB105 后，就可以计算出A，B 两点的距离为 ()A50 2 m B50 3 m C25 2 m D.25 22m 2 从 A 处望 B 处的仰角为 ， 从 B 处望 A 处的俯角为 ， 则 ， 的关系为 ()A B C 90 D 1803若点 A 在点 C 的北偏东 30 ，点 B 在点 C 的南偏东 60 ，且 ACBC，则点 A在点 B 的()A北偏东 15 B北偏西 15 C北偏东 10 D北偏西 104一船向正北航行， 看见正西方向相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小
57、时后，看见一灯塔在船的南偏西60 ，另一灯塔在船的南偏西75 ，则这艘船的速度是每小时()A5 海里B5 3海里 C10 海里D10 3海里5海上有 A，B，C 三个小岛，测得A，B 两岛相距 10 海里， BAC60 ，ABC75 ，则 B，C 间的距离是 _海里考向一测量距离问题【例 1】?如图所示，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出 CDa 和ACD60 ，BCD30 ，BDC105 ，ADC60 ，试求 AB 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 37 页学习必备欢迎下载【训练 1
58、】 如图， A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ，30 ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ，AC0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D 的距离考向二测量高度问题【例 2】?如图，山脚下有一小塔AB，在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60 ，在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45 ，已知塔高 AB20 m，求山高 CD. 【训练 2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面精选学习资料 - - - -
59、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 37 页学习必备欢迎下载内的两个测点 C 与 D，现测得 BCD ，BDC ，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB. 考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例 3】?如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB5，AC9，BCA30 ，ADB45 ，求 BD 的长【训练 3】 如图，在 ABC 中，已知 B45 ，D 是 BC 边上的一点， AD10，AC14，DC6，求 AB 的长规范解答 9如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1 解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题建模 准确
60、地画出图形 求解 检验作答 ., 2 三角形应用题常见的类型：,实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之； ,实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；,实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共
61、 37 页学习必备欢迎下载的时间内的运动距离， 因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中. 【示例】如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2处， 此时两船相距 10 2海里 问： 乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 CB 前往B 处救援，求 cos . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 37 页
