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1、名师精编优秀资料高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux，一些初等函数：两个重要极限：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsins
2、eccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 47 页名师精编优秀资料三角函
3、数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg -sin cos -tg -ctg 90 -cos sin ctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgc
4、tgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 47 页名师精编优秀资料倍角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos
5、1cos122cos12cos2cos12sinctgtg正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin余弦定理：Cabbaccos2222反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2) 1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率：.1;0.)1(
6、limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算：23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 47 页名师精编优秀资料bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf
7、)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbba
8、aababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 47 页名师精编优秀资料（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000
9、000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0)
10、,()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 47 页名师精编优秀资料),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000
11、000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向
12、为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( , 0),( , 00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx重积分及其应用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6
13、 页，共 47 页名师精编优秀资料DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdv
14、zMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类
15、曲线积分（对弧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 47 页名师精编优秀资料。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0, 0(),(),(21212,)()()coscos()(
16、)(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分：dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxy
17、xyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 47 页名师精编优秀资料dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此
18、，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112级数审敛法：精选学习资料 - - - - -
19、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 47 页名师精编优秀资料散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条
20、件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111) 1(1)1 () 1()2() 1()2()2()1 (232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
21、- - -第 10 页，共 47 页名师精编优秀资料函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5! 3sin) 11(!)1()1(! 2)1(1)1 (121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexe
22、exxixe或三角级数：。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数：是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2, 1 ,0cos)(20sin)(3 ,2, 1nsin)(20124131211641312112461
23、4121851311)3 ,2, 1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 47 页名师精编优秀资料周期为l2的周期函数的傅立叶级数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 47 页名师精编优秀资料llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3, 2, 1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos
24、(2)(10其中，周期微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：) 1 , 0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdy
25、ndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤
26、：为常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 47 页名师精编优秀资料的形式，21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx概率公式整理1随机事件及其概
27、率吸收律：AABAAAA)(ABAAAAA)()(ABABABA反演律：BABABAABniiniiAA11niiniiAA112概率的定义及其计算)(1)(APAP若BA)()()(APBPABP对任意两个事件A, B, 有)()()(ABPBPABP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 47 页名师精编优秀资料加法公式：对任意两个事件A, B, 有)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP)() 1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP
28、3条件概率ABP)()(APABP乘法公式)0)()()(APABPAPABP)0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP全概率公式niiABPAP1)()()()(1iniiBAPBPBayes 公式)(ABPk)()(APABPkniiikkBAPBPBAPBP1)()()()(4随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP5离散型随机变量(1) 0 1 分布1 , 0,)1 ()(1kppkXPkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 47 页名师精
29、编优秀资料(2) 二项分布),(pnB若 P ( A ) = p nkppCkXPknkkn, 1 ,0,)1()(*Possion 定理0limnnnp有, 2,1 ,0!)1 (l i mkkeppCkknnknknn(3) Poisson 分布)(P,2, 1 ,0,!)(kkekXPk6连续型随机变量(1) 均匀分布),(baU其他, 0,1)(bxaabxf1,0)(abaxxF(2) 指数分布)(E其他,00,)(xexfx0,10,0)(xexxFx(3) 正态分布N ( , 2 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
30、6 页，共 47 页名师精编优秀资料xexfx222)(21)(xttexFd21)(222)(*N (0,1) 标准正态分布xexx2221)(xtexxtd21)(227.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数xydvduvufyxF),(),(边缘分布函数与边缘密度函数xXdvduvufxF),()(dvvxfxfX),()(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(8.连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G ) 其他,0),(,1),(GyxAyxf(2)二维正态分布yxeyxfyyxx,121),(2222212121212)
31、()(2)()1(21221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 47 页名师精编优秀资料9.二维随机变量的条件分布0)()()(),(xfxyfxfyxfXXYX0)()()(yfyxfyfYYXYdyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()()(yxfYX)(),(yfyxfY)()()(yfxfxyfYXXY)(xyfXY)(),(xfyxfX)()()(xfyfyxfXYYX10.随机变量的数字特征数学期望1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(随机变量
32、函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(kXEX 的 k 阶绝对原点矩)|(|kXEX 的 k 阶中心矩)(kXEXEX 的 方差)()(2XDXEXE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 47 页名师精编优秀资料X ,Y 的 k + l阶混合原点矩)(lkYXEX ,Y 的 k + l阶混合中心矩lkYEYXEXE)()(X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XYEX ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差)()(YEYXEXEX ,Y 的相关系数XYYDXDYEYXEXE)()()()(X 的方差D (X ) = E (X -
33、 E(X)2) )()()(22XEXEXD协方差)()(),cov(YEYXEXEYX)()()(YEXEXYE)()()(21YDXDYXD相关系数)()(),cov(YDXDYXXY线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 47 页名师精编优秀资料知道的。但
34、是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算ABBACBACBAcBcABAcdAcAAdcAcddAc00ccA或0A。AATTTTTBABATTAccA。TTTABAB212112nnCnnnnnAaAaAaD2222222121转置值不变AAT逆值变AA11AccAn,2121321,A， 3 阶矩阵321,BBABA332211,BA332211,BABABABA001,cjiE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 47 页名师精编优秀资料有关乘法的基本运算njinjijiijbababaC2
35、211线性性质BABABAA2121，2121ABABBBAcBAABcBcA结合律BCACABTTTABABBAABlklkAAAkllkAAkkkBAAB不一定成立！AAE，AEAkAkEA，kAAkEEBAEAB与数的乘法的不同之处kkkBAAB不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如EAEAEAA3322无消去律（ 矩阵和矩阵相乘）当0AB时0A或0B由0A和00BAB由0A时CBACAB（无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律 。左消去律：CBACAB。右消去律：CBCABA。如果A列满秩，则A有左消去律，即00BABCBACAB可逆矩阵的性
36、质i）当A可逆时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 47 页名师精编优秀资料TA也可逆，且TTAA11。kA也可逆，且kkAA11。数0c，cA也可逆，111AccA。ii）A，B是两个n阶可逆矩阵AB也可逆，且111ABAB。推论：设A，B是两个n阶矩阵，则EBAEAB命题：初等矩阵都可逆，且jiEjiE,1ciEciE11cjiEcjiE,1命题：准对角矩阵kkAAAA0000000000002211可逆每个iiA都可逆，记11221111000000000000kkAAAA伴随矩阵的基本性质：EAAAAA*当A可逆
37、时，EAAA*得AAA*1，（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得：11*AAAAAAAAA1111*伴随矩阵的其他性质1*nAA, 1*AAA,*TTAA*1AccAn, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 47 页名师精编优秀资料*,*ABABkkAA*，AAAn 2*。2n时，AA*dcbaA*关于矩阵右上肩记号：T，k，1，* i) 任何两个的次序可交换，如TTAA*，*11AA等ii) 111,ABABABABTTT，*ABAB但kkkABAB不一定成立！线性表示s,021si,21sssxxx221121,有解xs,21
38、有解Tsxxx,1Ax有解，即可用 A 的列向量组表示srrrCAB,21，nA,21，则nsrrr,2121。st,2121，则存在矩阵C，使得Cst,2121线性表示关系有传递性当pstrrr,212121，则ptrrr,2121。等价关系：如果s,21与t,21互相可表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 47 页名师精编优秀资料ts,2121记作ts,2121。线性相关1s，单个向量，0x相关02s，21,相关对应分量成比例21,相关nnbababa:2211向量个数s=维数n，则n1,线性相（无）关01nnA,2
39、1，0Ax有非零解0A如果ns，则s,21一定相关0Ax的方程个数n未知数个数s如果s,21无关，则它的每一个部分组都无关如果s,21无关，而,21s相关，则s,21证明：设cccs,1不全为 0，使得011cccss则其中0c，否则scc,1不全为 0，011sscc，与条件s,1无关矛盾。于是sscccc11。当s,1时，表示方式唯一s1无关（表示方式不唯一s1相关）若st,11，并且st，则t,1一定线性相关。证明：记sA,1，tB,1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 47 页名师精编优秀资料则存在ts矩阵C，使
40、得ACB。0Cx有s个方程，t个未知数，ts，有非零解，0C。则0ACB，即也是0Bx的非零解，从而t,1线性相关。各性质的逆否形式如果s,21无关，则ns。如果s,21有相关的部分组，则它自己一定也相关。如果s1无关，而s,1，则s,1无关。如果st11，t1无关，则st。推论：若两个无关向量组s1与t1等价，则ts。极大无关组一个线性无关部分组I，若I#等于秩I6421,，I就一定是极大无关组s,21无关ss,21sss,12121另一种说法：取s,21的一个极大无关组II也是,21s的极大无关组,I相关。证明：,1IIs相关。sssss,/, 1,11111可用s,1唯一表示sss,11
41、stsst,11111st,11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 47 页名师精编优秀资料ts,11ttss,1111矩阵的秩的简单性质nmAr,m i n000AArA行满秩：mArA列满秩：nArn阶矩阵A满秩：nArA满秩A的行（列）向量组线性无关0AA可逆0Ax只有零解，Ax唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩ArArT0c时，ArcArBrArBArBrArABr,minA可逆时，BrABr弱化条件：如果A列满秩，则BAB证：下面证0ABx与0Bx同解。是0ABx的解0AB0B是0Bx的解B可逆时，
42、ArABr若0AB，则nBrAr（A的列数，B的行数）A列满秩时BrABr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 47 页名师精编优秀资料B行满秩时ArABrBrArnABr解的性质10Ax的解的性质。如果e,21是一组解，则它们的任意线性组合eeccc2211一定也是解。00,2211eeiicccAA20Ax如果e,21是Ax的一组解，则eeccc2211也是Ax的解121eccceeccc2211是0Ax的解021eccciAieeeeAcAcAccccA22112211eccc21特别的：当21,是Ax的两个解时，21
43、是0Ax的解如果0是Ax的解，则n维向量也是Ax的解0是0Ax的解。解的情况判别方程：Ax，即nnxxx2211有解n,21AA |nn,2121无解AA |唯一解nAA |无穷多解nAA |方程个数m：mAmA,|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 47 页名师精编优秀资料当mA时，mA |，有解当nm时，nA，不会是唯一解对于齐次线性方程组0Ax，只有零解nA（即A列满秩）（有非零解nA）特征值特征向量是A的特征值是A的特征多项式AxE的根。两种特殊情形：（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。
44、321000*A321321000*xxxxxxAxE（2）1Ar时：A的特征值为Atr,0,0 ,0特征值的性质命题：n阶矩阵A的特征值的重数AErn命题：设A的特征值为n,21，则An21Atrn21命题：设是A的特征向量，特征值为，即A，则对于A的每个多项式Af，xfAf当A可逆时，11A，|*AA命题：设A的特征值为n,21，则Af的特征值为nfff,21A可逆时，1A的特征值为n1,1,121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 47 页名师精编优秀资料*A的特征值为nAAA21|,|,|TA的特征值也是n,21特
45、征值的应用求行列式nA,|21判别可逆性是A的特征值EAAE0不可逆EA可逆不是A的特征值。当0Af时，如果0cf，则cEA可逆若是A的特征值，则f是Af的特征值0f。ccf0不是A的特征值AcE可逆。n 阶矩阵的相似关系当UAAU时，AB，而UAAU时，AB。相似关系有i）对称性 ：ABBABAUU1，则1UBUAii） 有传递性 ：BA ，CB ，则CA BAUU1，CBVV1，则CBVVAUVUVUVAUV1111命题当BA 时，A和B有许多相同的性质BABAA，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。A与B的特征向量的关系：是A的属于的特征向量1U是B的属于的特征向量。1111111U
46、AUUUUAUUUBA正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性nxxxf,21变为nyyyg,21，则它们同时正定或同时不正定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 47 页名师精编优秀资料BA，则A，B同时正定，同时不正定。例如ACCBT。如果A正定，则对每个0x0ACxCxACxCxBxxTTTT（C可逆，0x，0Cx！ ）我们给出关于正定的以下性质A正定EA存在实可逆矩阵C，CCAT。A的正惯性指数n。A的特征值全大于0。A的每个顺序主子式全大于0。判断A正定的三种方法：顺序主子式法。特征值法。定义法。基
47、本概念对称矩阵AAT。反对称矩阵AAT。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵A是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法： （ 解的情况 ）写出增广矩阵A，用初等行变换化A为阶梯形矩阵B。用B判别解的情况。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 47 页名师精编优秀资料i）如果B最下面的非零行为d0 , 0，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是B的非零行数，则n时唯一解。n时无穷多解。iii ）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉B的零行，得00B，它是cnn矩阵，0B是
48、n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。则0nnbiinnbb011都不为0。ErBA行行就是解。一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211的值：是! n项的代数和每一项是n个元素的乘积， 它们共有!n项nnjjjaaa2121其中njjj21是n,2, 1的一个全排列。nnjjaa11前面乘的应为njjj211njjj21的逆序数nnnjjjnjjjjjjaaa212121211212112nnCnnn代数余子式ijM为ija的余子式。ijjiijMA1定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列） ，各元素与各自代数余子式乘积之和。nnAaAaAaD2222222121一行（
49、列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。范德蒙行列式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 47 页名师精编优秀资料jiijnaaaaa)(111112nC个乘法相关AB的ji,位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。njinjijiijbababaC2211乘积矩阵的列向量与行向量（1）设nm矩阵nA,21，n维列向量Tnbbb,21，则nnbbbA2211矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式Ax，Tmbbb,21方程组的向量形式nnxxx2211（2）设CAB，sAAAAB,21nniiiiibbb
50、Ar2211AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分量。AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。矩阵分解当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题nn000000000000,2121nn,2211对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量于是AAE，AEAkAkEA，kAAkE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
51、 -第 32 页，共 47 页名师精编优秀资料两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂对一个n阶矩阵A，规定Atr为A的对角线上元素之和称为A的迹数。于是TkTkT1TkTtr1TTtr其他形式方阵的高次幂也有规律例如：101020101A初等矩阵及其在乘法中的作用（1）jiE,：交换E的第ji,两行或交换E的第ji,两列（2）)(ciE：用数0c乘E的第i行或第i列（3）)(,cjiE：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换乘法的分块法则一般法
52、则： 在计算两个矩阵A和B的乘积时， 可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。两种常用的情况（1）BA,都分成 4 块22211211AAAAA，22211211BBBBB其中1iA的列数和jB1的行数相等，2iA的列数和jB2的行数相关。22221221212211212212121121121111BABABAAABABABABAAB（2）准对角矩阵kkAAA0000002211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 47 页名师精编优秀资料kkkkkkkkBABABABBBAAA
53、0000000000000000002222111122112211矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程（都需求A是方阵，且0A）BAxIBxAII（I）的解法：xEBA行（II）的解法，先化为TTTBxA。TTTxEBA。通过逆求解：BAx，BAx1可逆矩阵及其逆矩阵定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得EAH，且EHA，则称A是可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作1A。定理：n阶矩阵A可逆0A求1A的方程 （初等变换法）1AEEA行伴随矩阵TijnnnnnnAAAAAAAAAAA212221212111*线性表示可以用s,21线性表示，即可以表示为s,21的线性组合，也就是存在sccc
54、,21使得ssccc2211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 47 页名师精编优秀资料记号：s,21线性相关性线性相关：存在向量i可用其它向量sii,111线性表示。线性无关：每个向量i都不能用其它向量线性表示定 义 ： 如 果 存 在 不 全 为0的sccc,21， 使 得02211ssccc则 称s,21线性相关，否则称s,21线性无关。即：s,21线性相（无）关011ssxx有（无）非零解0,21xs有（无）非零解极大无关组和秩定义：s,21的一个部分组I称为它的一个极大无关组，如果满足：i）I线性无关。ii）I再
55、扩大就相关。Is,21IIIs1定义：规定s,21的秩Is#,21。如果s,21每个元素都是零向量，则规定其秩为0。sns,min,01有相同线性关系的向量组定义：两个向量若有相同个数的向量：ss,2121，并且向量方程0,2211ssxxx与02211ssxxx同解，则称它们有相同的线性关系。对应的部分组有一致的相关性。421,的对应部分组421,，若421,相关，有不全为0的421,ccc使得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 47 页名师精编优秀资料0442211ccc，即0,0,0,421ccc是02211ssxx
56、x的解，从而也是02211ssxxx的解，则有0442211ccc，321,也相关。极大无关组相对应，从而秩相等。有一致的内在线表示关系。设：sA,21，sB,21，则02211ssxxx即0Ax，02211ssxxx即0Bx。s,21与s,21有相同的线性关系即0Ax与0Bx同解。反之，当0Ax与0Bx同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。矩阵的秩定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩规定Ar行（列）向量组的秩。Ar的计算 ：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即Ar。命题：AAr的非零子式阶数的最大值。方程组的表达形式1mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxax
57、axa221122222121112121112Ax是解A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 47 页名师精编优秀资料3nnxxx2211有解n,21基础解系和通解10Ax有非零解时的基础解系e,21是0Ax的基础解系的条件：每个i都是0Ax的解e,21线性无关0Ax的每个解e,21/ Anl通解如果e,21是0Ax的一个基础解系，则0Ax的通解为eeccc2211，ic任意如果0是0Ax的一个解，e,21是0Ax的基础解系，则Ax的通解为eeccc22110，ic任意特征向量与特征值定义：如果0，并且A与线性相关，则称是
58、A的一个特征向量。此时，有数，使得A，称为的特征值。设A是数量矩阵E，则对每个n维列向量，A，于是，任何非零列向量都是E的特征向量，特征值都是。特征值有限特征向量无穷多若A，cccAcA2211221122112211ccAcAcccAAA每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。计算时先求特征值，后求特征向量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 47 页名师精编优秀资料特征向量与特征值计算0,A0,0AE是0xAE的非零解命题：是A的特征值0AE是属于的特征向量是0xAE的非零解称多项式AxE为A的特征多
59、项式。是A的特征值是A的特征多项式AxE的根。的重数：作为AxE的根的重数。n阶矩阵A的特征值有n个：n,21，可能其中有的不是实数，有的是多重的。计算步骤：求出特征多项式AxE。求AxE的根，得特征值。对每个特征值i，求0xAEi的非零解，得属于i的特征向量。n 阶矩阵的相似关系设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得BAUU1，则称A与B相似，记作BA 。n 阶矩阵的对角化基本定理A可对角化A有n个线性无关的特征向量。设可逆矩阵nU,21，则nAUU000000000000211nnnnUA,000000000000,22112121精选学习资料 - - - - - - - -
60、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 47 页名师精编优秀资料iiiA，ni,2 , 1判别法则A可对角化对于A的每个特征值，的重数AEn。计算：对每个特征值i，求出0xAEi的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，n,1。令nU,21，则nAUU000000000000211，其中i为i的特征值。二次型（实二次型）二次型及其矩阵一个n元二次型的一般形式为jijiijniiiinxxaxaxxxf2,1221只有平方项的二次型称为标准二次型。形如：22122221qpppxxxxx的n元二次型称为规范二次型。对每个n阶实矩阵A，记Tnxxxx,21
61、，则AxxT是一个二次型。AxxxxxfTn,21称A的秩A为这个二次型的秩。标准二次型的矩阵是对角矩阵。规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。可逆线性变量替换设有一个n元二次型nxxxf,21，引进新的一组变量nyyy,21，并把nxxx,21用它们表示。nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111（并要求矩阵nnnnnncccccccccC212222111211是可逆矩阵）代入nxxxf,21， 得到nyy,1的一个二次型nyyg,1这样的操作称为对nxxf1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
62、 - - -第 39 页，共 47 页名师精编优秀资料作了一次可逆线性变量替换。设TnyyyY,21，则上面的变换式可写成CYx则nTTTnyygACYCYAxxxxf,11于是nyyg,1的矩阵为ACCTACCCACACCTTTTTT实对称矩阵的合同两个n阶实对称矩阵A和B，如果存在n阶实可逆矩阵C，值得BACCT。称A与B合同，记作BA。命题：二次型AxxxxfTn1可用可逆线性变换替换化为BABYYyygTn1二次型的标准化和规范化1每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。设A是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使
63、得AQQD1是对角矩阵。DAQQAQQT1DA ，DA2标准化和规范化的方法正交变换法 配方法3惯性定理与惯性指数定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0 的个数和小于 0 的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A合同于唯一规范对角矩阵。定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。正定二次型与正定矩阵定义：
64、一个二次型nxxxf,21称为正定二次型，如果当nxx,1不全为 0 时，0,21nxxxf。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 47 页名师精编优秀资料例 如 ， 标 准 二 次 型222221121,nnnxdxdxdxxxf正 定0id，ni, 1（必要性“” ，取11x，02xxx，此时00,0, 11df同样可证每个0id）实对称矩阵正定即二次型AxxT正定，也就是：当0x时，0AxxT。例如实对角矩阵n00000000000021正定0i，ni, 1定义： 设A是一个n阶矩阵，记rA是A的西北角的r阶小方阵，称
65、rA为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式） 。附录一内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化一向量的内积1定义两个n维实向量,的内积是一个数，记作,，规定为它们对应分量乘积之和。设nnbbbaaa2121,，则nnbababa2211,T2性质对称性：,双线性性质：,21212121,ccc,正交性：0,，且00,niia12,3长度与正交精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 47 页名师精编优秀资料向量的长度niia12,00cc单位向量：长度为1的向量001，010，22022，若0，则是单位向量，称为的单位化 。11两个
66、向量,如果内积为0：0,，称它们是 正交 的。如果n维向量组s,21两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组 。例 1如果向量组s,21两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。证：记sA,21，则22221000000000000sTAA则sArsAArT,即srs,1。例 2若A是一个实的矩阵，则ArAArT。二正交矩阵一个实n阶矩阵A如果满足EAAT，就称为正交矩阵。1AAT定理A是正交矩阵A的行向量组是单位正交向量组。A的列向量组是单位正交向量组。例 3正交矩阵A保持内积，即, AAA证：,TTTAAAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
67、结 - - - - - - -第 42 页，共 47 页名师精编优秀资料例 4 （04）A是 3 阶正交矩阵，并且111a，求001Ax的解。三施密特正交化方法这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。c12设321,线性无关正交化：令111112122,（设122k，111212,k当1112,k时，12,正交。 ）222321113133,单位化：令111，222，333则321,是与321,等价的单位正交向量组。四实对称矩阵的对角化设A是一个实的对称矩阵，则A的每个特征值都是实数。对每个特征值，重数AErn。即A可以对角化。属于不同特征值的特征向量互相正交。于是：存
68、在正交矩阵Q，使得AQQ1是对角矩阵。对每个特征值，找0xAE的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。设A是6阶的有3个特征值1（二重），2（三重），1（一重）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 43 页，共 47 页名师精编优秀资料找1的2个单位正交特征向量21,。找2的3个单位正交特征向量543,。找3的一个单位特征向量6。654321,Q例 5 （04）A是3阶实对称矩阵，2Ar，6是它的一个二重特征值，011，112和321都是属于6的特征向量。（1）求A的另一个特征值。（2）求A。解： （1）另一个特征值为0。（2）设3
69、21xxx是属于0的特征向量，则03202032132121xxxxxxxx此方程组3n，2Ar，1Arn，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。于是，每个非零解都是属于0的特征向量。000110101321112011111是一个解。0600660126110111121A4222422241000100010006612066111112011422242224A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 44 页，共 47 页名师精编优秀资料附录二向量空间1n维向量空间及其子空间记为nR由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘
70、这两种线性运算的集合，我们把它称为n维向量空间。设V是nR的一个子集，如果它满足（1）当21,都属于V时，21也属于V。（2）对V的每个元素和任何实数c，c也在V中。则称V为nR的一个子空间。例如n元齐次方程组0AX的全部解构成nR的一个子空间，称为0AX的解空间。但是非齐次方程组AX的全部解则不构成nR的子空间。对于nR中的一组元素s,21，记它们的全部线性组合的集合为任意isssccccL221121,，它也是nR的一个子空间。2基，维数，坐标设V是nR的一个非0子空间（即它含有非0元素） ，称V的秩为其维数，记作Vdim。称V的排了次序的极大无关组为V的基。例如0AX的解空间的维数为Ar
71、n，它的每个有序的基础解系构成基。又如ssrL,dim2121，s,21的每个有序的极大无关组构成基。设k,21是V的一个基，则V的每个元素都可以用k,21唯一线性表示：kkccc2211称其中的系数kccc,21为关于基k,21的坐标，它是一个k维向量。坐标有线性性质：（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：如果向量和关于基k,21的坐标分别为kccc,21和kddd,21，则关于基k,21的坐标为kkkkdddcccdcdcdc,21212211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 45 页，共 47 页名师精编优秀资料（2）向量的
72、数乘的坐标等于坐标乘数：如果向量关于基k,21的坐标为kccc,21，则c关于基k,21的坐标为kkcccccccccc,2121。坐标的意义： 设V中的一个向量组t,21关于基k,21的坐标依次为t,21，则t,21和t,21有相同的线性关系。于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。3过渡矩阵，坐标变换公式设k,21和k,21都 是V的 一 个 基 ， 并 设1在k,21中 的 坐 标 为kiiiccc,21，构造矩阵kkkkkkcccccccccC212222111211，称C为k,21到k,21的过渡矩阵。Ckk,2121。如果V中向量在其k,21和k,21中的
73、坐标分别为Tkxxxx,21和Tkyyyy,21，则xk,21k,21Cyyk,21于是关系式：Cyx称为坐标变换公式。4规范正交基如果V的一基k,21是单位正交向量组，则称为规范正交基。两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。设的坐标为kccc,21，的坐标为kddd,21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 46 页，共 47 页名师精编优秀资料则kkdcdcdc2211,两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。做题思路先化简再计算例 5 （03）设n维列向量Taa, 0,0 ,，0a。规定TEA，TaEB1。已知EAB，求a。注意化简技巧（中间过程也很重要）例 13 （00）己知8030010100100001*A，求矩阵B，使得EBAABA311. 证明一个矩阵可逆切入点行列式 =0 ，证明 Ax=E ，证明两式相等切入点AB= 某个等式 =BA （从对称性想到AB 可逆 BA 也可逆的着手点EBAEAB）例 20设n阶矩阵A和B满足等式bBaAAB，0ab, 证明：BAAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 47 页，共 47 页
