《2022年函数的单调性证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年函数的单调性证明（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载函数的单调性证明一解答题（共40小题）1证明：函数 f（x）= 在（， 0）上是减函数2求证：函数 f（x）=4x+在（0，）上递减，在 ，+）上递增3证明 f（x）=在定义域为 0，+）内是增函数4应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（ 0，2）上是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页精品资料欢迎下载5证明函数 f（x）=2x在（， 0）上是增函数6证明：函数 f（x）=x2+3 在 0，+）上的单调性7证明：函数 y=在（ 1，+）上是单调增函数8求证： f（x）=在（， 0）上
2、递增，在（ 0，+）上递增9用函数单调性的定义证明函数y=在区间（ 0，+）上为减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页精品资料欢迎下载10已知函数 f（x）=x+（）用定义证明： f（x）在 2，+）上为增函数；（）若0 对任意 x 4，5 恒成立，求实数a 的取值范围11证明：函数 f（x）=在 x（1，+）单调递减12求证 f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在 1，+ 上是增函数13判断并证明 f（x）=在（ 1，+）上的单调性14判断并证明函数 f（x）=x+在区间（ 0，2）上的单调性精选学习资料 -
3、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页精品资料欢迎下载15求函数 f（x）=的单调增区间16求证：函数 f（x）=1 在区间（， 0）上是单调增函数17求函数的定义域18求函数的定义域19根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x20若 3f（x）+2f（x）=2x+2，求 f（x） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页精品资料欢迎下载21求下列函数的解析式（1）已知 f（x+1）=x2求 f（x）（2）已
4、知 f（）=x，求 f（x）（3）已知函数 f（x）为一次函数，使f f（x） =9x+1，求 f（x）（4）已知 3f（x）f（）=x2，求 f（x）22已知函数 y=f（x） ，满足 2f（x）+f（）=2x，xR且 x0，求 f（x） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页精品资料欢迎下载23已知 3f（x）+2f（）=x（x0） ，求 f（x） 24已知函数 f（x+ ）=x2+（）2（x0） ，求函数 f（x） 25已知 2f（x）+f（x）=3x1，求 f（x） 26若 2f（x）+f（x）=3x+1，则求
5、 f（x）的解析式27已知 4f（x）5f（）=2x，求 f（x） 28已知函数 f（+2）=x2+1，求 f（x）的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页精品资料欢迎下载29若 f（x）满足 3f（x）+2f（x）=4x，求 f（x）的解析式30已知 f（x）=ax+b 且 af（x）+b=9x+8，求 f（x）31求下列函数的解析式：（1）已知 f（2x+1）=x2+1，求 f（x） ；（2）已知 f（）=，求 f（x） 32已知二次函数满足f（2x+1）=4x26x+5，求 f（x）的解析式33已知 f（2
6、x）=x2x1，求 f（x） 34已知一次函数 f（x）满足 f（f（f（x） ） ）=2x3，求函数 f（x）的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页精品资料欢迎下载35已知 f（x+2）=x23x+5，求 f（x）的解析式36已知函数 f（x2）=2x23x+4，求函数 f（x）的解析式37若 3f（x）+2f（x）=2x，求 f（x）38f（+1）=x2+2，求 f（x）的解析式39若函数 f（）=+1，求函数 f（x）的解析式40已知 f（x1）=x24x（1）求 f（x）的解析式；（2）解方程 f（x+
7、1）=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页精品资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页精品资料欢迎下载函数的单调性证明参考答案与试题解析一解答题（共40小题）1证明：函数 f（x）= 在（， 0）上是减函数【解答】 证明：设 x1x20，则：；x1x20；x2x10，x1x20；f（x1）f（x2） ；f（x）在（， 0）上是减函数2求证：函数 f（x）=4x+在（0，）上递减，在 ，+）上递增【解答】 证明：设 0x1x2，则
8、f（x1）f（x2）=（4x1+）（ 4x2+）=4（x1x2）+=（x1x2） （） ，又由 0x1x2，则（x1x2）0， （4x1x29）0， （x1x2）0，则 f（x1）f（x2）0，则函数 f（x）在（ 0，）上递减，设x3x4，同理可得： f（x3）f（x4）=（x3x4） （） ，又由x3x4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页精品资料欢迎下载则（x3x4）0， （4x3x49）0， （x1x2）0，则 f（x3）f（x4）0，则函数 f（x）在，+）上递增3证明 f（x）=在定义域为 0，+）内
9、是增函数【解答】 证明：设 x1，x2 0，+） ，且 x1x2，则：=；x1，x2 0，+） ，且 x1x2；f（x1）f（x2） ；f（x）在定义域 0，+）上是增函数4应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（ 0，2）上是减函数【解答】 证明：任取 x1，x2（0，2） ，且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（=因为 0x1x22，所以 x1x20，x1x24，所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ，所以 f（x）=x+在（0，2）上为减函数5证明函数 f（x）=2x在（， 0）上是增函数【解答】 解：设 x1x20，f（x1）f（x2）=2x12x2+=
10、（x1x2） （2+） ，x1x20，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页精品资料欢迎下载x1x20，2+0，f（x1）f（x2）0，即：f（x1）f（x2） ，函数 f（x）=2x在（， 0）上是增函数6证明：函数 f（x）=x2+3 在 0，+）上的单调性【解答】 解：任取 0x1x2，则 f（x1）f（x2）=（x1+x2） （x1x2）因为 0x1x2，所以 x1+x20，x1x20，故原式 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ，所以原函数在 0，+）是单调递增函数7证明：函数 y=在（ 1，
11、+）上是单调增函数【解答】 解：函数 f（x）=1在在区间（ 1，+） ，可以设 1x1x2，可得 f（x1）f（x2）=11+=1x1x20，x1+10，1+x20，x1x20，0f（x1）f（x2） ，f（x）在区间（， 0）上为增函数；8求证： f（x）=在（， 0）上递增，在（ 0，+）上递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页精品资料欢迎下载【解答】证明：设 x1x2， 则 f （x1） f （x2） = （）=，x1x2，x1x20，若 x1x20，则 x1x20，此时 f（x1）f（x2）0，即 f（
12、x1）f（x2） ，此时函数单调递增若 0x1x2，则 x1x20，此时 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ，此时函数单调递增即 f（x）=在（， 0）上递增，在（ 0，+）上递增9用函数单调性的定义证明函数y=在区间（ 0，+）上为减函数【解答】 解：函数 y=在区间（ 0，+） ，可以设 0x1x2，可得 f（x1）f（x2）=0，f（x1）f（x2） ，f（x）在区间（， 0）上为减函数；10已知函数 f（x）=x+（）用定义证明： f（x）在 2，+）上为增函数；（）若0 对任意 x 4，5 恒成立，求实数a 的取值范围【解答】 （）证明：任取x1，x2 2，+） ，且
13、 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（x1+）（ x2+）=，2x1x2，所以 x1x20，x1x24，f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ，f（x）=x+在 2，+）上为增函数；（）解：0 对任意 x 4，5 恒成立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页精品资料欢迎下载xa0 对任意 x 4，5 恒成立，ax对任意 x 4，5 恒成立，a411证明：函数 f（x）=在 x（1，+）单调递减【解答】 证明：设 x1x21，则：；x1x21；x2x10，x110，x210；即 f（x1）f（x2） ；
14、f（x）在 x（1，+）单调递减12求证 f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在 1，+ 上是增函数【解答】 证明：在（ 0，1）内任取 x1，x2，令 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（）（）=（x1x2）+=（x1x2） （1） ，x1，x2（0，1） ，x1x2，x1x20，10，f（x1）f（x2）0，f（x）=x+在（0，1）上是减函数在 1，+）内任取 x1，x2，令 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（）（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页精品资料欢迎下载=（x1x2）+=（x1x2） （
15、1） ，x1，x2 1，+） ，x1x2，x1x20，10，f（x1）f（x2）0，f（x）=x+在 1，+ 上是增函数13判断并证明 f（x）=在（ 1，+）上的单调性【解答】 解：f（x）=在（ 1，+）上的单调递减证明如下：在（ 1，+）上任取 x1，x2，令 x1x2，f（x1）f（x2）=，x1，x2（ 1+） ，x1x2，x2x10，x1+10，x2+10，f（x1）f（x2）0，f（x）=在（ 1，+）上的单调递减14判断并证明函数 f（x）=x+在区间（ 0，2）上的单调性【解答】 解：任意取 x1，x2（0，2）且 0x1x22f（x1）f（x2）=x1+x2=（x1x2）+
16、=（x1x2），0x1x22x1x20，0x1x24，即 x1x240，f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页精品资料欢迎下载所以 f（x）在（ 0，2）上是单调减函数15求函数 f（x）=的单调增区间【解答】 解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=1的单调递增区间为（， 0） ， （0，+）故答案为：（， 0） ， （0，+）16求证：函数 f（x）=1 在区间（， 0）上是单调增函数【解答】 证明：设 x1x20，则：；x1x20；x1x20，x1x20；f（x
17、1）f（x2） ；f（x）在区间（， 0）上是单调增函数17求函数的定义域【解答】 解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2x3 和 3x518求函数的定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页精品资料欢迎下载【解答】 解：由故函数定义域为 x| x19根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x【解答】 解： （1）f（x+）=x2+=（x+）22，即 f（x）=x22， （x2 或 x2）（2）f（x）+2f（）=3x，f（）+2f（x）=，消去 f（）得
18、f（x）= x20若 3f（x）+2f（x）=2x+2，求 f（x） 【解答】 解： 3f（x）+2f（x）=2x+2，用x 代替 x，得：3f（x）+2f（x）=2x+2 ；3 2得：5f（x）=（6x+6）（ 4x+4）=10x+2，f（x）=2x+21求下列函数的解析式（1）已知 f（x+1）=x2求 f（x）（2）已知 f（）=x，求 f（x）（3）已知函数 f（x）为一次函数，使f f（x） =9x+1，求 f（x）（4）已知 3f（x）f（）=x2，求 f（x）【解答】 解： （1）已知 f（x+1）=x2 ，令 x+1=t，可得 x=t1，f（t）=（t精选学习资料 - - -
19、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页精品资料欢迎下载1）2，f（x）=（x1）2（2）已知 f（）=x，令=t，求得 x=，f（t）=，f（x）=（3）已知函数 f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k0，f f（x） =kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，k=3，b=，或 k=3，b=，求f（x）=3x+，或 f（x）=3x（4）已知 3f（x）f（）=x2，用代替 x，可得 3f（）f（x）=，由求得 f（x）=x2+22已知函数 y=f（x） ，满足 2f（x）+f（）=2x，xR且 x0，求 f（x） 【解答】 解：
20、2f（x）+f（）=2x令 x= ，则 2f（）+f（x）=，2得：3f（x）=4x，f（x）=x23已知 3f（x）+2f（）=x（x0） ，求 f（x） 【解答】 解： 3f（x）+2f（）=x，等号两边同时以代 x，得：3f（）+2f（x）=，由 32，解得5f（x）=3x，函数 f（x）的解析式： f（x）=x（x0） 24已知函数 f（x+ ）=x2+（）2（x0） ，求函数 f（x） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页精品资料欢迎下载【解答】 解： x0 时，x+ 2=2，且函数 f（x+）=x2+（
21、）2=2；设 t=x+ ， （t2） ；f（t）=t22；即函数 f（x）=x22（其中 x2） 25已知 2f（x）+f（x）=3x1，求 f（x） 【解答】 解： 2f（x）+f（x）=3x1，2f（x）+f（x）=3x1，联立消去 f（x） ，可得 f（x）=3x26若 2f（x）+f（x）=3x+1，则求 f（x）的解析式【解答】 解： 2f（x）+f（x）=3x+1 ，用x 代替 x，得：2f（x）+f（x）=3x+1 ；2得：3f（x）=（6x+2）（ 3x+1）=9x+1，f（x）=3x+27已知 4f（x）5f（）=2x，求 f（x） 【解答】 解： 4f（x）5f（）=2x
22、，4f（）5f（x）= ，4+5，得： 9f（x）=8x+，f（x）=x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页精品资料欢迎下载28已知函数 f（+2）=x2+1，求 f（x）的解析式【解答】 解：令 t=+2， （t2） ，则，x=（t2）2由 f（+2）=x2+1，得 f（t）=（t2）4+1f（x）=（x2）4+1（x2） 29若 f（x）满足 3f（x）+2f（x）=4x，求 f（x）的解析式【解答】 解：f（x）满足 3f（x）+2f（x）=4x， ，可得 3f（x）+2f（x）=4x ，3 2可得： 5f（
23、x）=20xf（x）=4xf（x）的解析式： f（x）=4x30已知 f（x）=ax+b 且 af（x）+b=9x+8，求 f（x）【解答】 解： f（x）=ax+b 且 af（x）+b=9x+8，a（ax+b）+b=9x+8，即 a2x+ab+b=9x+8，即，解得 a=3或 a=3，若 a=3，则 4b=8，解得 b=2，此时 f（x）=3x+2，若 a=3，则 2b=8，解得 b=4，此时 f（x）=3x431求下列函数的解析式：（1）已知 f（2x+1）=x2+1，求 f（x） ；（2）已知 f（）=，求 f（x） 【解答】 解： （1）令 2x+1=t，则 x= （t1） ，f（t）
24、=（t1）2+1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页精品资料欢迎下载f（x）=（x1）2+1；（2）令 m=（m0） ，则 x= ，f（m）=，f（x）=（x0） 32已知二次函数满足f（2x+1）=4x26x+5，求 f（x）的解析式【解答】 解： （1）令 2x+1=t，则 x=；则 f（t）=4（）26?+5=t25t+9，故 f（x）=x25x+933已知 f（2x）=x2x1，求 f（x） 【解答】 解：令 t=2x，则 x=t，f（t）=t2t1，f（x）=x2x134已知一次函数 f（x）满足 f（
25、f（f（x） ） ）=2x3，求函数 f（x）的解析式【解答】 解：设 f（x）=ax+b，f（f（x）=a（ax+b）+b，f（f（f（x） ） ） ）=a a（ax+b）+b+b=2x3，解得：，f（x）=x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页精品资料欢迎下载35已知 f（x+2）=x23x+5，求 f（x）的解析式【解答】 解：f（x+2）=x23x+5，设 x+2=t，则 x=t2，f（t）=（t2）23（t2）+5=t27t+15，f（x）=x27x+1536已知函数 f（x2）=2x23x+4，求函数
26、f（x）的解析式【解答】 解：令 x2=t，则 x=t+2，代入原函数得f（t）=2（t+2）23（t+2）+4=2t2+5t+6则函数 f（x）的解析式为 f（x）=2x2+5x+637若 3f（x）+2f（x）=2x，求 f（x）【解答】 解： 3f（x）+2f（x）=2x ，用x 代替 x，得：3f（x）+2f（x）=2x ；3 2得：5f（x）=6x（ 4x）=10x，f（x）=2x38f（+1）=x2+2，求 f（x）的解析式【解答】 解：设+1=t，则 t1，x=（t1）2；f（+1）=x2+2，f（t）=（t1）4+2（t1） ，f（x）=（x1）4+2（x1） ，x 1，+）
27、39若函数 f（）=+1，求函数 f（x）的解析式【解答】 解：令=t（t1） ，则=t1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页精品资料欢迎下载f（t）=2+（t1）2=t22t+3，f（x）=x22x+3（x1） 40已知 f（x1）=x24x（1）求 f（x）的解析式；（2）解方程 f（x+1）=0【解答】 解： （1）变形可得 f（x1）=（x1）22（x1）3，f（x）的解析式为 f（x）=x22x3；（2）方程 f（x+1）=0可化为（ x+1）22（x+1）3=0，化简可得 x24=0，解得 x=2或 x=2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页
