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1、. . . . . 资料 . . . 谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个， 因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上假设从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述 . 1 罗尔Rolle中值定理如
2、果函数xf满足条件：1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,内可导； 3bfaf,那么在ba,内至少存在一点,使得0f罗尔中值定理的几何意义： 如果连续光滑曲线xfy在点BA,处的纵坐标相等，那么，在弧AB 上至少有一点,Cf，曲线在 C 点的切线平行于x轴，如图 1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立； 但不能认为定理条件不全具备， 就一定不存在属于ba,的，使得0f. 这就是. .-优选说定理的条件是充分的，但非必要的. 2 拉格朗日lagrange中值定理假设函数xf满足如下条件：1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,内可导；那么在ba,内至少存在一点，使aba
3、fbff拉格朗日中值定理的几何意义： 函数xfy在区间ba,上的图形是连续光滑曲线弧AB上至少有一点 C ，曲线在 C 点的切线平行于弦AB . 如图 2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，假设xf在闭区间ba,两端点的函数值相等，即bfaf，那么拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数xf作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理3.1 教材证法证明作辅助函数fbfaFxfxxba显然，函数xF满足在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，而且F aF b 于是由罗尔中值定
4、理知道，至少存在一点ba，使0abafbffF.即abafbff. 3.2 用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数axabafbfafxfx显然，函数x在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，0ba，因 此 ， 由 罗 尔 中 值 定 理 得 ， 至 少 存 在 一 点ba,， 使 得0abafbff，即abafbff. .-优选推广 1如图 3 过原点 O作 OT AB， 由xf与直线 OT 对应的函数之差构成 辅 助 函 数x， 因 为 直 线 OT 的斜 率 与 直 线 AB 的 斜 率 一 样 ， 即 有：abafbfKKABOT， OT 的直线方程为：xabafbfy，于是引入的辅
5、助函数为：xabafbfxfx. 证明略推广2如图4 过点Oa,作直线BA AB ，直线BA的方程为：axabafbfy， 由xf与直线函BA数之差构成辅助函数x， 于是有：axabafbfxfx. 证明略推 广 3如 图 5 过 点 作Ob,直 线BA AB ， 直BA线 的 方 程 为bxabafbfy，由xf与直线 A B函数之差构成辅助函数x，于是有：bxabafbfxfx. 事实上， 可过 y 轴上任点mO,作/BA AB 得直线为mxabafbfy，从而利用xf与直线的BA函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数x都可以用来. .-优选证明拉格朗日中值定理 . 因m是任意实数，显然，
6、这样的辅助函数有无多个. 3.3 用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数xf减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数xf，即可得与之对称的辅助函数如下：xfaxabafbfafxxfxabafbfxxfaxabafbfxxfbxabafbfx等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以为例给出拉格朗日中值定理的证明. 证明显然，函数x满足条件：1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,内可导；3ababfbafba.由罗尔中值定理
7、知，至少存在一点ba,，使得0fabafbf，从而有abafbff，显然可用其它辅助函数作类似的证明. 3.4 转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，假设把坐标系 xoy逆时针旋转适当的角度，得新直角坐标系 XOY ，假设 OX 平行于弦 AB，那么在新的坐标系下xf满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明. 证明作转轴变换sincosYXx，cossinYXy，为求出，解出YX,得. .-优选xXxfxyxXsincossincosxYxfxyxYcossincossin由bYaY得cossincossinbfbafa，从而abafbftan，取满足上式即可 .由xf在闭区间ba
8、,上连续，在开区间ba,内可导， 知xY在闭区间ba,上连续， 在开区间ba,内可导， 且bYaY，因 此 ， 由 罗 尔 中 值 定 理 知 ， 至 少 存 在 一 点ba,， 使 得0cossinfY，即abafbfftan3.5 用迭加法引入辅助函数法让xf迭 加 一 个 含 待 顶 系 数 的 一 次 函 数mkxy， 例 如 令mkxxfx或mkxxfx，通过使ba，确定出mk,，即可得到所需的辅助函数. 例如由mkxxfx，令ba得mkbbfmkaaf，从而abafbfk，而m可取任意实数， 这样我们就得到了辅助函数mxabafbfx，由m的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数，
9、这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理. 3.6 用行列式引入辅助函数法证明构造一个含xf且满足罗尔中值定理的函数x，关键是满足ba.我们从行列式的性质想到行列式111xfxafabfb的值在,xa xb时恰恰均为 0，因此可设易证111xfxxafabf b，展开得xf b xbf aafxaf bfa xbfx . . .-优选因为xf在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，所以x在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，且0ab，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点ba,，使得0. 因为0fbabfaf即：abafbff3.7 数形相结合法引理在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标
10、分别为,A a f a，,B b fb，,C c f c，那么ABC 面积为1112ABCafaSbfbacfc，这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明 . 这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图，设,c fc是直线 AB 与 yfx 从 A点开场的第一个交点，那么构造211141afaxcfcxfx，易验证x满足罗尔中值定理的条件：在闭区间,a c 上连续，在开区间,a c 内可导，而且ba，那么至少存在一点ba,，使/0，即：但是1101afacfcf，这是因为，如果1101afacfcf，那 么f
11、fcfcfacca， 这 样 使得. .-优选, f成为直线 AB与 yfx 从 A点的第一个交点，与矛盾. 故0111fcfcafa，即acafcfabafbff. 假设只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件， 完全可以构造111afaxbfbxfx来解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造111g afaxg bfbg xfx来证明柯西中值定理 . 3.8 区间套定理证法证明将区间,Ia b 二等分，设分点为1，作直线1x，它与曲线yfx相交于1M，过1M作直线11LM弦baMM. 此时，有如下两种可能 : 假设直线11M L与曲线 yfx 仅有一个
12、交点1M，那么曲线必在直线11M L的一侧 .否那么，直线11M L不平行于直线abM M. 由于曲线 yfx 在点1M处有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线11M L就是曲线yfx 在点1M处的切线，从而abafbff1.由作法知，1在区间,a b 内部，取1于是有abafbff 假设直线11M L与曲线 yfx 还有除1M外的其他交点，设111,Nx y为另外一个交点，这时选取以11,x为端点的区间，记作111,Ia b，有. .-优选1, 112balI ba, 1111f bfaf bfababa，把1I作为新的 选用区间，将1I二等分，并进展与上面同样的讨论，那么要么得到所要求的点
13、，要么又得到一个新 选用区间2I.如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生: (a) 在逐次等分 选用区间的过程中， 遇到某一个分点k，作直线kx它与曲线 yfx 交于kM， 过点kM作直线kkLM弦bMM, 它与曲线 yfx 只有一个交点kM，此时取k即为所求 . (b) 在逐次等分 选用区间的过程中， 遇不到上述那种点， 那么得一闭区间序列nI，满足 : 12IIInnnbaI,02nnnbabannnnnfbfafbfababa由 知 ， nI 构 成 区 间 套 ， 根 据 区 间 套 定 理 ， 存 在 唯 一 的 一 点3,2, 1nIn，此点即为所求 . 事实上nnnnbali
14、mlim， f存在fabafbfnnnnnlim， 由 limnnnnnf bf afbfababa， 所 以abafbff，从选用区间的取法可知，确在, a b 的内部 . 3.9 旋转变换法证明引入坐标旋转变换A: cossinxXYcossinYXy因为22cossincossin10sincos所以 A有逆变换/A :cossincossinXxyxfxX x . .-优选sincossincosYxyxfxY x 由于xf满足条件 :1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,内可导，因此式中函数 Y x 在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导 .为使 Y x 满足罗尔中 值 定 理
15、 的 第 三 个 条 件 ， 只 要 适 中 选 取 旋 转 角， 使 Y aY b , 即sincossincosaf abfb，也即tanfbfaba. 这样，函数Y x 就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点ba，使0cossinfY即tanf. 由于所选取旋转角满足abafbftan，所以abafbff. 结论本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进展了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的， 而且里面还有很多缺乏之处需要进一步的修改与补充. 通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容 . 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会但凡多
16、问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三， 不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！总之，数学的开展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程， 全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养. 参考文献1 华东师 X 大学数学系 . 数学分析 上册 第二版 M.： 高等教育 .1991 ： 153-161 2 XX 大学数学系 . 数学分析 (上册)M.：人民教育 .1979 ：194-196 3 同济大学应用数学系 . 高等数学第一册 M.：高等教育第五版 .2004 ：. .-优选143-153 4 周性伟 ,X 立民. 数学分析 M.XX
17、 ：南开大学 .1986 ：113-124 5 林源渠 ,方企勤 . 数学分析解题指南 M.：大学 .2003 ：58-67 6 孙清华等 . 数学分析内容、方法与技巧上M.XX ：华中科技大学 .2003 ：98-106 7 洪毅. 数学分析上册 M.XX ：华南理工大学 .2001 ：111-113 8 党宇飞 . 促使思维教学进入数学课堂的几点作法J.XX：数学通报 .2001,1 ：15-18 9 王爱云 . 高等数学课程建立和教学改革研究与实践J.XX：数学通报 .2002,2 ：84-88 10 谢惠民等 . 数学分析习题课讲义 M.：高等教育 .2003 ：126-135 11
18、X 玉莲,杨奎元等 . 数学分析讲义学习指导书 上册 M.： 高等教 .1994 ： 98-112 12 大学数学力学系 . 高等代数 . ：人民教育 . 1978:124-135 13 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M.：高等教育 .1993 ：102-110 14 X 琉信.数学方法论 M.XX ：XX 教育.1996 ：112-123 15 陈传璋等 . 数学分析上册 M.：人民教育 .1983:87-92 16 李成章,黄玉民 . 数学分析上 M.：科学 .1995 ：77-86 附录柯西中值定理假设 函数 fx 与 g x 都在闭区间ba,上连续；xf与xg在开区间ba,内可导；xf与xg在ba,内不同时为零；. .-优选 g ag b ，那么在ba,内至少存在一点，使得abafbfgf. 区间套定理假设,nna b是一个区间套，那么存在唯一一点，使得,nna b，1,2,n或nnab，1,2,n
