《2022年全国中考数学压轴题全解全析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年全国中考数学压轴题全解全析(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载20XX 年全国中考数学压轴题全解全析21、 (湖南郴州卷)已知抛物线2yaxbxc经过5 3(3 3)02PE,及原点(0 0)O,(1)求抛物线的解析式(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上,任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于B点, 直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC(如图) 是否存在点Q, 使得OPC与PQB相似?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由( 3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方,连结OQ,矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA,之间存在怎样的关
2、系?为什么?解 (1)由已知可得:333755 30420ababc解之得,25 3033abc,因而得,抛物线的解析式为:225 333yxx(2)存在设Q点 的 坐 标 为()mn, 则225333nmm, 要 使O C PP B Q, 则 有3333nm,即225 3333333mmm,解之得,122 32mm,当13m时,2n,即为P点,所以得(23 2)Q,要使OCPQPB,则有3333nm,即225 3333333mmmE A Q B P C O y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页学习必备欢迎下
3、载解之得,123 33mm,当3m时,即为P点,当13 3m时,3n,所以得(3 33)Q,故存在两个Q点使得OCP与PBQ相似Q点的坐标为(23 2) (3 33),(3)在RtOCP中,因为3tan3CPCOPOC所以30COP当Q点的坐标为(23 2),时,30BPQCOP所以90OPQOCPBQAO因此,OPCPQBOPQOAQ,都是直角三角形又在RtOAQ中,因为3tan3QAQOAAO所以30QOA即有30POQQOAQPBCOP所以OPCPQBOQPOQA,又因为QPOPQAOA,30POQAOQ,所以OQAOQP点评 本题是一道涉及函数、相似、三角等知识的综合题,解决第3 题的
4、关键在于通过观察得出对结果的合理猜想在进行证明,难度应该不会很大。22、 (湖南湘潭卷)已知:如图,抛物线232 3333yxx的图象与x轴分别交于AB,两点,与y轴交于C点,M经过原点O及点AC, 点D是劣弧OA上一动点 (D点与AO,不重合)(1)求抛物线的顶点E的坐标;( 2)求M的面积;(3)连CD交AO于点F,延长CD至G,使2FG,试探究当点D运动到何处时,直线GA与M相切,并请说明理由解 (1)抛物线232 3333yxx23321333xxyECMAFGDOxB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页学习
5、必备欢迎下载234 3133xE的坐标为4 313,(说明:用公式求E点的坐标亦可) (2)连AC;M过90AOCAOC,AC为O的直径而33OAOC,32ACr23MSr(3)当点D运动到OA的中点时,直线GA与M相切理由:在RtACO中,33OAOC,3tan33ACO6030ACOCAO,点D是OA的中点ADDO30ACGDCOtan301OFOC,60CFO在GAF中,22AFFG,60AFGCFOAGF为等边三角形60GAF90CAGGAFCAO又AC为直径,当D为OA的中点时,GA为M的切线点评 本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究,因此数形结合的解题思想是不可缺少的,解第 3 小
6、问时可以先自己作图来确定D 点的位置。yECMAFGDOxB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页学习必备欢迎下载23、 (湖南永州卷)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AD交小圆于MN,两点,大圆的弦AB切小圆于点C,过点C作直线CEAD,垂足为E,交大圆于FH,两点(1)试判断线段AC与BC的大小关系,并说明理由(2)求证:FC CHAE AO(3)若FCCH,是方程22 540xx的两根(CHCF) ,求图中阴影部分图形的周长解 (1)相等连结OC,则COAB,故ACBC(2)由ACHFCB,得2AC C
7、BFC CHAC,又由ACEAOC,得2ACAE AOFC CHAE AO(3)解方程得:51CH,51CF,5(51)1CE,242ACAC,在RtACE中,1sin2CEAAC,30A,60120AOCCON,在ACO中,32tan2333COACA,4 3sin603ACAO,4 32 32 3333AMAOOM,弧CN长14 3239,2 32 3222 333ANAMOC,阴影部分周长4 322 39ACANCN点评 本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识。A B C D E O N H M F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
8、结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页学习必备欢迎下载24、 (湖南张家界卷)在平面直角坐标系内有两点2 0A,102B,CB所在直线为2yxb,(1)求b与C的坐标(2)连结AC,求证:AOCCOB(3)求过A,B,C三点且对称轴平行于y轴的抛物线解析式(4)在抛物线上是否存在一点P(不与C重合) ,使得ABPABCSS,若存在, 请求出P点坐标,若不存在,请说明理由解 (1)以102B,代入2yxb1202b得:1b则有(01)C,(2)OCAB12OBOCOCOAA O CC O(3)设抛物线的解析式为2yaxbxc,以三点的坐标代入解析式得方程组:221101223(
9、2)( 2)0211abcaabcbcc所以2312yxx(4)假设存在点()P xy,依题意有1| |211|2ABPABCABySSABOC,得:| | 1yOC当1y时,有23112xx即23202xx解得:1 23414x,y1AOB 1xC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页学习必备欢迎下载当1y时,有23112xx,即2302xx解得:30x(舍去),432x存在满足条件的点P,它的坐标为:3341341111244, ,点评 此题综合性较强,4 个小题的坡度设置较好,区分度也把握地很好,是道考查学生初中
10、三年学习成果的好题,第4 小题中不要忘了绝对值,否则会导致少解。25、 (吉林课改卷)如图,正方形ABCD的边长为2cm,在对称中心O处有一钉子动点P,Q同时从点A出发,点P沿ABC方向以每秒2cm的速度运动, 到点C停止,点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动, 到点D停止P,Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy(1)当01x时,求y与x之间的函数关系式;(2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x值;(3)当12x时,求y与x之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的变化范围;(4)当02x时,请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象解 (1)当
11、01x时,2APx,AQx,212yAQ APx,即2yx(2)当12ABCDABPQSS正方形四边形时,橡皮筋刚好触及钉子,22BPx,AQx,211222222xx,43x(3)当413x时,2AB,22PBx,AQx,2223222AQBPxxyABx,B C P O D Q A B P C O D Q A y321O12x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页学习必备欢迎下载即32yx作OEAB,E为垂足当423x时,22BPx,AQx,1OE,BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx32x,即32y
12、x90180POQ或180270POQ(4)如图所示:点评 本题是一道颇有创新的动态问题,主要考查函数和几何知识,读懂和领悟题意是关键,综观近几年的重考数学试题。这类题的出现频率呈上升趋势,应予以关注26(吉林长春课改卷)如图,正方形ABCD的顶点AB,的坐标分别为0108 4, ,顶点CD,在第一象限 点P从点A出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点4 0E,出发,沿x轴正方向以相同速度运动当点P到达点C时,PQ,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒(1)求正方形ABCD的边长(2)当点P在AB边上运动时,OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如
13、图所示),求PQ,两点的运动速度(3)求( 2)中面积S(平方单位)与时间t(秒)的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标(4)若点PQ,保持( 2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,OPQ的大小随着时间t的增大而增大; 沿着BC边运动时,OPQ的大小随着时间t的增大而减小 当点P沿着这两边运动时,使90OPQ的点P有个321O12xy43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页学习必备欢迎下载(抛物线20yaxbxc a的顶点坐标是2424bacbaa,解 (1)作BFy轴于F0108 4AB, ,86FBFA,1
14、0AB(2)由图可知,点P从点A运动到点B用了 10 秒又1010101AB,PQ,两点的运动速度均为每秒1 个单位(3)方法一:作PGy轴于G,则PGBFGAAPFAAB,即610GAt35GAt3105OGt4OQt,113410225SOQOGtt即231920105Stt19195323210ba,且190103,当193t时,S有最大值此时4763311051555GPtOGt,图yDACPBOEQx图O10t2028s精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页学习必备欢迎下载点P的坐标为76 31155,( 8
15、 分)方法二:当5t时,1637922OGOQSOG OQ,设所求函数关系式为220Satbt抛物线过点6310 2852, ,1001020286325520.2abab,31019.5ab,231920105Stt19195323210ba,且190103,当193t时,S有最大值此时7631155GPOG,点P的坐标为76 31155,(4)2点评 本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18
16、 页学习必备欢迎下载27、 (山东青岛课改卷)如图, 有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和 EFG 叠放在一起(点 A 与点 E 重合) ,已知 AC8cm,BC6cm,C90,EG4cm,EGF90,O 是 EFG 斜边上的中点如图,若整个EFG 从图的位置出发,以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移,在EFG 平移的同时,点P 从 EFG 的顶点 G 出发,以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点 F运动,当点P 到达点 F 时,点 P 停止运动, EFG 也随之停止平移设运动时间为x(s) ,FG 的延长线交AC 于 H,四边形 OAHP 的面积为y(cm2)(不考虑点P 与 G、
17、F 重合的情况) (1)当 x 为何值时, OPAC ? (2)求 y 与 x 之间的函数关系式,并确定自变量x 的取值范围(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP 面积与 ABC 面积的比为1324?若存在,求出 x 的值;若不存在,说明理由(参考数据:114212996,115213225,116213456 或 4.4219.36,4.5220.25,4.6221.16)解 (1) RtEFG RtABC ,BCFGACEG,684FGFG864 3cm当 P 为 FG 的中点时, OP EG ,EG AC ,OPAC x 121FG2131.5(s) 当 x 为 1.5s 时, OP
18、AC (2)在 RtEFG 中,由勾股定理得:EF 5cmEGAH , EFG AFH FHFGAFEFAHEGFHxAH3554 AH 54( x 5) ,FH53(x5) 过点 O 作 OD FP ,垂足为D 点 O 为 EF 中点,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页学习必备欢迎下载OD21EG 2cmFP3x ,S四边形OAHPSAFH SOFP21AH FH21ODFP 2154( x5) 53(x5)212( 3x )256x2517x3 (0x3)(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP 面积与
19、ABC 面积的比为13 24则 S四边形OAHP2413SABC256x2517x324132168 6x285x2500 解得 x125, x2 350(舍去)0x3,当 x25(s)时,四边形OAHP 面积与 ABC 面积的比为1324点评 本题是比较常规的动态几何压轴题,第1 小题运用相似形的知识容易解决,第2 小题同样是用相似三角形建立起函数解析式,要说的是本题中说明了要写出自变量x 的取值范围,而很多试题往往不写,要记住自变量x的取值范围是函数解析式不可分离的一部分,无论命题者是否交待了都必须写,第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决。精选学习资料 - - - - - - - -
20、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页学习必备欢迎下载28、 (江苏徐州卷)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 中,边2AB,边1AD,且AB、AD 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,点A 与坐标原点重合将矩形折叠,使点A 落在边 DC 上,设点A是点 A 落在边 DC 上的对应点(1)当矩形ABCD 沿直线12yxb 折叠时(如图1) ,求点A的坐标和b 的值;(2)当矩形ABCD 沿直线 ykxb 折叠时, 求点A的坐标(用k 表示) ;求出 k 和 b 之间的关系式; 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图 2、3、4 所示的三种情形,请你分别
21、写出每种情形时k 的取值范围(将答案直接填在每种情形下的横线上)k 的取值范围是; k 的取值范围是; k 的取值范围是;解 (1)如图答5,设直线12yxb 与 OD 交于点 E,与 OB 交于点 F,连结A O,则OE = b,OF = 2b,设点A的坐标为( a,1)因为90DOAA OF,90OFEA OF,所以DOAOFE,所以 DOAOFE所以DADOOEOF,即12abb,所以12a所以点A的坐标为(12, 1) 连结A E,则A EOEb在 RtDEA中,根据勾股定理有222A EA DDE,即2221()(1)2bb,解得58b(2)如图答6,设直线ykxb 与 OD 交于点
22、 E,与 OB 交于点 F,连结A O,则OE = b,bOFk,设点A的坐标为( a,1) 因为90DOAA OF,90OFEA OF所以DOAOFE,所以 DOA OFE所以DADOOEOF,即1abbk,所以ak所以A点的坐标为(k,1) (图 4)yx( )ODCBA(图 3)yx( )ODCBA(图 2)ABCDO( )xy(图 1)yx( )ODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页学习必备欢迎下载连结A E,在 RtDEA中,DAk,1DEb,A Eb因为222A EA DDE ,所以222()(
23、1)bkb所以212kb在图答 6 和图答 7 中求解参照给分(3)图 13 2中:21k;图 133 中:1k23 ;图 134 中:230k点评 这是一道有关折叠的问题,主要考查一次函数、四边形、相似形等知识,试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会。yx( )ODCBAEFAG(图答 6)yx( )ODCBAEFA(图答 7)(图答 5)yx( )ODCBAEFA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页学习必备欢迎下载29、 (江西课改卷)问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:如图 1
24、,在正三角形ABC 中, M、N 分别是 AC、 AB 上的点,BM 与 CN 相交于点 O,若 BON = 60,则 BM = CN. 如图 2,在正方形ABCD 中, M、N 分别是 CD、AD 上的点, BM 与 CN 相交于点O,若 BON = 90,则 BM = CN. 然后运用类比的思想提出了如下的命题:如图 3,在正五边形ABCDE 中, M、N 分别是 CD、DE 上的点, BM 与 CN 相交于点 O,若 BON = 108,则 BM = CN. 任务要求(1)请你从、三个命题中选择一个进行证明;(2)请你继续完成下面的探索:如图 4,在正 n( n3)边形 ABCDEF 中
25、, M、N 分别是CD、DE 上的点, BM 与 CN 相交于点 O,问当 BON 等于多少度时,结论BM = CN 成立?(不要求证明)如图 5,在五边形ABCDE 中, M、N 分别是 DE、AE 上的点, BM 与 CN 相交于点 O,当 BON = 108时,请问结论 BM = CN 是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由. (1)我选. 证明:解 (1)选命题证明:在图1 中,BON = 60, CBM +BCN = 60. BCN +ACN = 60, CBM =ACN. 又BC = CA, BCM = CAN = 60, BCM CAN. BM = CN. 图3OD
26、ENMCBA图2NM图1OABCDONMCBA图5ODENMCBA选命题证明:在图2 中,BON = 90, CBM +BCN = 90. BCN +DCN = 90, CBM =DCN. 又BC = CD, BCM =CDN = 90, BCM CDN. BM = CN. 选命题图2NM图1OABCDONMCBA图4图3NMODEEABCDONMFCBA图5ODENMCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页学习必备欢迎下载证明:在图3 中,BON = 108, CBM +BCN = 108 BCN +DCN =
27、 108, CBM =DCN.又BC = CD, BCM =CDN = 108, BCM CDN. BM = CN. (2) 当 BON = (2)180nn时,结论BM = CN 成立 . BM = CN 成立 . 证明:如图5,连结 BD、CE. 在 BCD 和 CDE 中, BC = CD, BCD =CDE = 108, CD = DE, BCD CDE. BD = CE, BDC =CED, DBC =ECD. OBC +OCB = 108, OCB +OCD = 108, MBC =NCD . 又DBC = ECD = 36,DBM =ECN. BDM ECN. 点评 本题是一道非
28、常典型的几何探究题,很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法,引导学生渐渐地从易走到难,是新课标形势下的成熟压轴题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页学习必备欢迎下载30、 (辽宁卷)如图,已知2( 1 0)(0)2AE,以点A为圆心,以AO长为半径的圆交x 轴于另一点B,过点B作BFAE交A于点F,直线FE交 x 轴于点C(1)求证:直线FC是A的切线;(2)求点C的坐标及直线FC的解析式;(3)有一个半径与A的半径相等,且圆心在x 轴上运动的P若P与直线FC相交于MN,两点,是否存在这样的点P,使PMN是直角三
29、角形若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由解 (1)证明:连结AFAEBF1342,又ABAF3412又AOAFAEAE,AOEAFE90AFEAOEFC是O的切线(2)方法由(1)知22EFOEAEBF,ACCEABEF1122OCCE,2222CECO又222OEOCCE ,22222CECO由解得0OC(舍去)或2OC,直线FC经过202E,(2 0)C, 两点设FC的解析式:ykxb2022kbb解得2422kb直线FC的解析式为2242yx方法:CF切A于点F,90AFCEOC又ACFOCE,COECFA,OECOAFCFx y A B C O F E 精选学习资料 - - -
30、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页学习必备欢迎下载22122COCE即222CECO又222OEOCCE ,22222CECO由解得0CO(舍去)或2CO(2 0)C,(求FC的解析式同上) 方法AEBF,ACCEABEF1122OCCE2222CECOFC切A于点F,90AFCCOEACEOCE,COECFAOECOAFCF,22122COCE222CECO由解得:2CO,(求FC的解析式同上) (3)存在;当点P在点C左侧时,若90MPN,过点P作PHMN于点H,90MPN,PMPN,2cos452PHPMAFFC,PHAF,CPH
31、CAFPHCPAFCA,2213CP3 22CP,3 222PO,3 2202P,当点P在点C右侧P时,设90M P N, 过点P作P QM N于点Q, 则22P QP QPH,可知P与P关于点C中心对称,根据对称性得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页学习必备欢迎下载3 222OPOCCP3 2202P,存在这样的点P,使得PMN为直角三 角 形 ,P点 坐 标3 2202,或3 2202, 点评 本题是一道综合性很强的传统型压轴题,其难度比较恰当,选拔功能较强,解第3 小题时要注意分类讨论,这是本题最容易失分的地方x y A B C O P F ME H N Q PNM1 2 3 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 18 页