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1、精品资料欢迎下载第 5 讲 函数的奇偶性对称性周期性 2017.3.26 一、函数的奇偶性1. 奇偶性的定义如果对于函数( )f x的定义域内的任意一个x,都有( )()f xfx,则称函数( )f x为偶函数;如果对于函数( )f x的定义域内的任意一个x,都有( )()f xfx,则称函数( )f x为奇函数。2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。3. 常用性质(1)0)(xf是既奇又偶函数;(2) 奇函数若在0x处有定义,则必有0)0(f;(3) 偶函数满足)()()(xfxfxf; (4)奇函数图象关于原点对称,偶
2、函数图象关于y 轴对称;(5)0)(xf除外的所有函数奇偶性满足:奇函数奇函数=奇函数奇函数奇函数=偶函数奇函数偶函数=非奇非偶奇函数偶函数=奇函数偶函数偶函数=偶函数偶函数偶函数=偶函数(6) 任何函数)(xf可以写成一个奇函数2)()()(xfxfx和一个偶函数2)()()(xfxfx的和。4. 复合函数的奇偶性。性质 1、复数函数)(xgfy为偶函数,则)()(xgfxgf; 复合函数)(xgfy为奇函数,则)()(xgfxgf. 性质 2、复合函数)(axfy为偶函数,则)()(axfaxf; 复合函数)(axfy为奇函数,则)()(axfaxf. 性质 3、复合函数)(axfy为偶函
3、数,则)(xfy关于直线x a 轴对称。复合函数)(axfy为奇函数,则)(xfy关于点 (a,0) 中心对称。练习 : 1. 已知函数)(xf是定义在R 上的偶函数 . 当)0,(x时,4)(xxxf,则当),0(x时,)(xf2. 已知定义域为R的函数12( )2xxbfxa是奇函数(1)求,a b的值; (2)若对任意的tR,不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立,求k的取值范围;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精品资料欢迎下载3. 已知函数1( ).21xfxa,若fx为奇函数,则a_。4.已知)(
4、xf在( 1,1)上有定义,且满足),1()()()1 , 1(,xyyxfyfxfyx有证明:)(xf在( 1, 1)上为奇函数;5. 若奇函数)(Rxxf满足1)2(f,)2()()2(fxfxf,则)5(f_ 二、函数的对称性1. 函数自对称(1) 关于y轴对称的函数(偶函数)的充要条件是)()(xfxf(2)若函数)(xfy关于点)0 ,(a对称,则以下四式成立且等价:)()(xafxaf)()2(xfxaf)()2(xfxaf)(axfy是奇函数(3)若函数)(xfy关于直线ax对称,则以下四式成立且等价:)()(xafxaf)()2(xfxaf)()2(xfxaf)(axfy是偶函
5、数(4) 如果函数)(xfy对于一切xR, 都有 f(a+x)=f(b-x)成立,那么函数)(xfy的图像关于直线x=2ba对称(5)如果函数)(xfy对于一切x R, 都有bxafxaf2)()(成立 , 则函数)(xfy图像关于点),(ba对称2.两个函数的图象对称性(1))(xfy与)(xfy关于x轴对称。换种说法:)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf,即它们关于0y对称。(2))(xfy与)( xfy关于y轴对称。换种说法:)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf,即它们关于0x对称。(3))(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法:)(xfy与)(xgy若满足)
6、2()(xagxf,即它们关于ax对称。(4))(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法:)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(,即它们关于ay对称。(5))2(2)(xafbyxfy与关于点,a b对称。换种说法:)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(,即它们关于点,a b对称。(6))(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。若)()(axfxf, 则函数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称 ;3. 几个常见的函数方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精品资料欢迎下载(1)
7、正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)f xyfxf yfc. (2) 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x fyfa. (3) 对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xf yf aaa. (4) 幂函数( )fxx,()( )( ),(1)fxyf x fyf. 三、函数的周期性定义:对于函数)(xf,如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(xfTxf,则)(xf的最小正周期为T,T 为这个函数的一个周期(说明: nT 也是)(xf的周期)注意: 关于函数的周期性的几个重要性质
8、:1.如果函数)(xf是 R 上的奇函数,且最小正周期为T,那么0)2()2(TfTf2.如果函数)(xf所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期,如果函数)(xf的最小正周期为T 则函数)(axf的最小正周期为aT,如果)(xfy是周期函数,那么)(xfy的定义域无界3.若)0)()(TxfTxf)(xf是周期函数, T 是它的一个周期,说明:nT 也是)(xf的周期推广 :若)()(bxfaxf,则)(xf是周期函数,ab是它的一个周期4.定义在 R 上的函数)(xf图象关于直线ax和bx)(ba对称,则)(xf是周期函数,)(2ab是它的一个周期推论 :
9、若定义在 R 上的偶函数)(xf的图象关于直线ax)0(a对称,则)(xf是周期函数,a2是它的一个周期5.定义在R 上的函数)(xf图象关于点)0 ,(a和点)0,(b)(ba对称,则)(xf是周期函数,)(2ab是它的一个周期推论 :若定义在R 上的奇函数)(xf的图象关于点)0 ,(a)0(a对称,则)(xf是周期函数,a2是它的一个周期6.定义在 R 上的函数)(xf图象关于直线ax和点)0,(b)(ba对称,则)(xf是周期函数,)(4ab是它一个周期推论 :若定义在 R 上的奇函数)(xf的图象关于直线ax)0(a对称,则)(xf是周期函数,a4是它的一个周期7.若 a 是非零常数
10、,对于函数)(xfy定义域内的任一变量x,有下列条件之一成立,则函数yf(x)是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精品资料欢迎下载周期函数,且2|a| 是它的一个周期:)()(xfaxf;)(1)(xfaxf;)(1)(xfaxf;)()(axfaxf8.) 1)( ,)(11)(xfxfaxf,则)(xf的周期 T=3a 9.)(1)(1)(xfxfaxf则)(xf的周期 T=4a;例 1. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且xfy的图象关于直线21x对称,则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4
11、)+ f(5)=_0_. 【考点分析 】本题考查函数的周期性解析:00ff得00f,假设0f n因为点(n ,0)和点(1,0n)关于12x对称,所以10f nfnfn因此,对一切正整数n 都有:0fn从而:123450fffff。本题答案填写:0 例 2. 已知( )f x是周期为2 的奇函数,当01x时,( )lg.f xx设63( ),( ),52afbf5(),2cf则(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab解: 已知( )f x是周期为2 的奇函数,当01x时,( )lg.fxx设644( )()( )555afff,311( )()( )222bfff,51( )()22c
12、ff0,b+c0,c+a0,证明: f(a) +f(b) +f(c)0。 (12 分)解:f(x)是定义域R 上的奇函数且为增函数。由 a+b0得 a-b ,由增函数f(a)f(-b),且奇函数f (-b ) =-f (b ) ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精品资料欢迎下载得 f(a)+f (b)0 。同理可得f(b)+f (c) 0 ,f (c)+f (a)0 。相加得: f(a)+f (b )+f (c)0 。例9 设 函 数f ( x ) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 且 对 于 定 义 域
13、 内 任 意 的21xx, 有)()()()(1)(122121xfxfxfxfxxf,试判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论。(12 分)解: )()()()()(1)(12122121xxfxfxfxfxfxxf)()()()()(1)()()()(12112212121xxfxfxfxfxfxfxfxfxf,设21xxx,则12xxx,f(-x )=-f (x) ;又f( x)的定义域关于原点对称,f(x )为奇函数。例10. 设)(xf是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线2x对称,已知22,x时,函数1)(2xxf,则26,x时,)(xf_ 例 11. 设)(xf是定义在R 上的奇函
14、数,且对任意实数x 恒满足)()2(xfxf,当2,0x时22)(xxxf求证:)(xf是周期函数;当4, 2x时,求)(xf的解析式; (3) 算:)0(f)1 (f)2(f)2005(f例12. 已 知f(x) 是 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 , 且,32)1 (,)(1)(1)2(fxfxfxf若则f(2005)= . 例 13. 已知)(xf是(-,)上的奇函数,)()2(xfxf,当 0x1 时,f(x)=x ,则 f(7.5)=_当堂练习 : 1. 定义在实数集上的奇函数恒满足,且时,则_。2. 已知函数满足,则图象关于 _对称。精选学习资料 - - - - - - -
15、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精品资料欢迎下载3. 函数与函数的图象关于关于_对称。4. 设函数的定义域为R,且满足,则的图象关于 _对称。5. 设函数的定义域为R, 且满足, 则的图象关于 _对称。图象关于 _对称。6. 设的定义域为R,且对任意,有,则图象关于_对称,关于 _对称。7. 已知函数对一切实数x 满足,且方程有 5 个实根,则这5个实根之和为()A、5 B、10 C、15 D、18 8. 已知偶函数定义域为R,且恒满足,若方程在上只有三个实根,且一个根是4,求方程在区间中的根附参考答案:y 轴即: y 轴:C :方程的根为共 9 个根作
16、业:1.)(xf是定义在 R 上的偶函数,图象关于1x对称,对任意21,0,21xx, 有)(21xxf)()(21xfxf,且0)1 (af求)21(f;)41(f证明:)(xf是周期函数;2)(xf是定义在R 上的奇函数,且对一切Rx,恒有)23()23(xfxf求证:)(xf是周期函数;若2)1 (f,求)2(f)3(f的值。3.若存在常数0p, 使得函数)(xf满足)2()(ppxfpxf(Rx), 则)(xf的一个正周期为_ 4.已知定义在R 上, 最小正周期为5 的函数( )f x满足()( )fxf x, 且( 3 ) 0f, 则在区间0,10内,方程( )0f x的解的个数至少为_个5. 定 义 在R上 的 偶 函 数( )f x, 满 足(2)(2)fxfx, 在 区 间 -2,0 上 单 调 递 减 , 设(1.5),(2),(5)afbfcf,则, ,a b c的大小顺序为_ 6.定义在 R 上的函数)(xf满足xxxfxxfxf2)(2,0)(3)2(2时当, 则当)(,2,4xfx时的最小值是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页