《2.1极限的运算法则ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.1极限的运算法则ppt课件（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第五节极限运算法则第五节极限运算法则一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则三、极限的复合运算法则三、极限的复合运算法则山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂时, 有一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和 . 设当时 , 有当时 , 有取则当因而这说明当时,为无穷小量 .类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 设函数u在x0的某一去心邻域x|0|xx0|1
2、内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M 又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有|/M 取min1 2 则当0|xx0| 时 有 |u|u| 这说明u 也是当xx0时的无穷小 证明 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小 推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例1. 求求解解: 利用定理 2 可知说明说明 : y = 0 是是的渐近线 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、二、 极限的四则运算运算法则极限的四则运
3、算运算法则 (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB 推论推论1 如果如果lim f(x)存在存在 而而c为常数为常数 那么那么limc f(x)=c limf(x) 推论推论2 2 如果如果limf(x)limf(x)存在存在 而而n n是正整数是正整数 那么那么limf(x)n=limf(x)n limf(x)n=limf(x)n 定理3 假如 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么 (1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂证证: (1)因因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是
4、无穷小, 再利用极限与无穷小的关系定理 , 知结论(1)成立 .由定理 2 可知和是无穷小, 再由定理 1 可知是无穷小, 从而结论(2)成立.返回山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂数列极限的四则运算法则定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab 不等式定理4 设有数列xn和yn 假如那么Axnnlim Bynnlim 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂求极限举例讨论 提示 例例1 1 解解 例例2 2 解解 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 解解 例例3 解解 例例4 根据无穷大与无穷小的关系得 因为山东农业大学 高等数学 主讲人：
5、苏本堂讨论 提示 当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) 有理函数的极限?)()(lim0xQxPxx 当0)(0xQ时 )()()()(lim000xQxPxQxPxx 当0)(0xQ且0)(0xP时 )()(lim0xQxPxx 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂先用x3去除分子及分母 然后取极限 解解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例例5 解解: 例6 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂讨论提示 例例7 解解 所以山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 例8 是无穷小与有界函数
6、的乘积 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 那么 例9 解 392xxy是由uy与392xxu复合而成的 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂(2) 复合函数极限求法设中间变量山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 作业：作业：p-49 习题习题1-5 1 （5），（），（7），（），（9），（），（12），（），（14） 2 （1），（），（3） 3 （1）
