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1、山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂第五节极限运算法则第五节极限运算法则一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则三、极限的复合运算法则三、极限的复合运算法则山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂时, 有一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和 . 设当时 , 有当时 , 有取则当因而这说明当时,为无穷小量 .类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 设函数u在x0的某一去心邻域x|0|xx0|1
2、内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M 又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有|/M 取min1 2 则当0|xx0| 时 有 |u|u| 这说明u 也是当xx0时的无穷小 证明 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小 推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂例例1. 求求解解: 利用定理 2 可知说明说明 : y = 0 是是的渐近线 .山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂二、二、 极限的四则运算运算法则极限的四则运
3、算运算法则 (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB 推论推论1 如果如果lim f(x)存在存在 而而c为常数为常数 那么那么limc f(x)=c limf(x) 推论推论2 2 如果如果limf(x)limf(x)存在存在 而而n n是正整数是正整数 那么那么limf(x)n=limf(x)n limf(x)n=limf(x)n 定理3 假如 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么 (1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂证证: (1)因因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是
4、无穷小, 再利用极限与无穷小的关系定理 , 知结论(1)成立 .由定理 2 可知和是无穷小, 再由定理 1 可知是无穷小, 从而结论(2)成立.返回山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂数列极限的四则运算法则定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab 不等式定理4 设有数列xn和yn 假如那么Axnnlim Bynnlim 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂求极限举例讨论 提示 例例1 1 解解 例例2 2 解解 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 解解 例例3 解解 例例4 根据无穷大与无穷小的关系得 因为山东农业大学 高等数学 主讲人:
5、苏本堂讨论 提示 当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) 有理函数的极限?)()(lim0xQxPxx 当0)(0xQ时 )()()()(lim000xQxPxQxPxx 当0)(0xQ且0)(0xP时 )()(lim0xQxPxx 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂先用x3去除分子及分母 然后取极限 解解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例例5 解解: 例6 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂讨论提示 例例7 解解 所以山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 例8 是无穷小与有界函数
6、的乘积 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 那么 例9 解 392xxy是由uy与392xxu复合而成的 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂(2) 复合函数极限求法设中间变量山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 作业:作业:p-49 习题习题1-5 1 (5),(),(7),(),(9),(),(12),(),(14) 2 (1),(),(3) 3 (1)