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1、优秀学习资料欢迎下载平抛运动问题归类求解题 1、(08 全国理综卷)如图所示 , 一物体自倾角为 的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上. 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角 满足D A.tan =sin B.tan =cosC.tan =tan D.tan =2tan 平抛运动的常见问题及求解思路: 关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场( 包括一些复合场)组合的问题等。1、从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向
2、上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。 例 1 如图 1 所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过x=5m的壕沟，沟面对面比A处低h=1.25m，摩托车的速度至少要有多大？解析： 在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间ssght5.01025.122在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为smsmtxv/10/5.0502、从分解速度的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是 “从分解速度”的角度来研究问题。 例 2 如图 2 甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为
3、 30的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是A.s33B.332sC.s3D.s230vxvtvy30甲乙v0图 2 解析： 先将物体的末速度tv分解为水平分速度xv和竖直分速度yv( 如图 2 乙所示 )。根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以0vvx；又因为tv与斜面垂直、yv与水平面垂直，所以tv与yv间的夹角等于斜面的倾角。再根据平抛运动的分Axh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据yvgt就可以求出时间t了。则yxvvt
4、an所以smsmvvvxy/38.9/318 .930tantan0根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出gtvy所以sgvty38. 938. 9所以答案为C。3. 从分解位移的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向( 如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角) ，则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题( 这种方法，暂且叫做“分解位移法”) 例 3 若质点以V0正对倾角为 的斜面水平抛出,如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为多少? 解析： (1) 连接抛出点O到斜面上的某点
5、O1 ，其间距 OO1为位移大小。当OO1垂直于斜面时位移最小。(2) 分解位移：利用位移的几何关系可得tg2,21020gvtgttvyxtg。 例 3 在倾角为的斜面上的P点，以水平速度0v向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的 Q点，证明落在Q点物体速度20tan41vv。解析： 设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是l，所用时间为t，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为sinlh；水平方向上的位移为cosls。又根据运动学的规律可得竖直方向上221gth，gtvy水平方向上tvs0则002221tanvvtvgtshy，tan20vvy）v0yx精选学习资料 - - - - -
6、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载所以 Q点的速度20220tan41vvvvy 例 4 如图 3 所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度0v同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和 B，两侧斜坡的倾角分别为37和53，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和 B两小球的运动时间之比为多少？ABv0v03753图 3 解析：37和53都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到002221tanvgttvgtxy所以有01237tanvgt同理02253tanvgt则16:9:21tt4. 从竖直方
7、向是自由落体运动的角度出发求解在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直接找到运动的起点( 这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”) ，这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。 例 5 某一平抛的部分轨迹如图4 所示，已知axx21，by1，cy2，求0v。x1x2y1y2ABC图 4 解析： A 与 B、B与 C的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设A到 B、B到 C的时间为T，则Tvxx021精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
8、第 3 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载又竖直方向是自由落体运动，则212gTyyy代入已知量，联立可得gbcTbcgav05. 从平抛运动的轨迹入手求解问题 例 6 从高为 H的 A点平抛一物体，其水平射程为s2，在 A点正上方高为2H的 B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为s。两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。ABOFExy图 5 解析： 本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很容易，如图5 所示，物体从A、B两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在y轴上的抛物线，即可设A、 B两方程分别为c
9、bxaxy2，cxbxay2则把顶点坐标A(0，H)、B(0，2H)、E(2s， 0) 、F(s，0) 分别代入可得方程组HxsHyHxsHy2242222这个方程组的解的纵坐标Hy76，即为屏的高。6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题 例 7 如图 6 所示，在倾角为的斜面上以速度0v水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？Oxv0y图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载解析： 将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动
10、，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。取沿斜面向下为x轴的正方向，垂直斜面向上为y轴的正方向，如图6 所示，在y轴上，小球做初速度为sin0v、加速度为cosg的匀变速直线运动，所以有cos2)sin(202gyvvytgvvycossin0当0yv时，小球在y轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。由式可得小球离开斜面的最大距离cos2)sin(20gvyH当0yv时，小球在y轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由式可得小球运动的时间为tan0gvt7. 利用平抛运动的推论求解推论 1：任意时刻的两个分速度与合
11、速度构成一个矢量直角三角形。 例 8 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为1v和2v，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90？v1v2v1yv2y图 7 解析： 设两小球抛出后经过时间t，它们速度之间的夹角为90，与竖直方向的夹角分别为和， 对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7 所示，由图可得1cotvgt和gtv2tan又因为90，所以tancot由以上各式可得gtvvgt21，解得211vvgt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载推论 2：任意时刻
12、的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形 例 9 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为l，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离为l3。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M 。解析： 设第一次抛出小球，小球的水平位移为x，竖直位移为h，如图 8 所示，构建位移矢量直角三角形有222lhx若抛出时初速度增大到2 倍，重新构建位移矢量直角三角形，如图9 所示有，222)3()2(lhx由以上两式得3lh令星球上重力加速度为g，由平抛运动的规律得221tgh由
13、万有引力定律与牛顿第二定律得gmRGMm2由以上各式解得22332GtlRM推论 3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。证明： 设平抛运动的初速度为0v，经时间t后的水平位移为x，如图所示， D为末速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有水平方向位移tvx0OABExyv0vyC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载竖直方向gtvy和221gty由图可知，ABC与ADE相似，则yDEvvy0联立以上各式可得2xDE该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的
14、中点。推论 4：平抛运动的物体经时间t后，其速度tv与水平方向的夹角为，位移s与水平方向的夹角为，则有tan2tan证明：如图，设平抛运动的初速度为0v，经时间t后到达 A点的水平位移为x、速度为tv，如图所示，根据平抛运动规律和几何关系：sv0vyOxyAvt在速度三角形中00tanvgtvvy在位移三角形中00222tanvgttvgtxy由上面两式可得tan2tan 例 11 一质量为m的小物体从倾角为30的斜面顶点A水平抛出，落在斜面上B点，若物体到达B 点时的动能为35J，试求小物体抛出时的初动能为多大？( 不计运动过程中的空气阻力 )v0ABv0vtvy解析：由题意作出图， 根据推
15、论4 可得30tan2tan2tan， 所以332tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载由三角知识可得213cos又因为cos0vvt所以初动能JEmvEkBkA152192120 例 12 如图所示，从倾角为斜面足够长的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出， 第一次初速度为1v， 球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为1，第二次初速度2v，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为2，若12vv，试比较1和2的大小。AB1v1v2C2解析： 根据上述关系式结合图中的几何关
16、系可得tan2)tan(所以)tan2arctan(此式表明仅与有关， 而与初速度无关，因此21，即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。推论 5：平抛运动的物体经时间t后，位移s与水平方向的夹角为，则此时的动能与初动能的关系为)tan41(20kktEE证明：设质量为m的小球以0v的水平初速度从A点抛出， 经时间t到达 B点，其速度tv与水平方向的夹角为，根据平抛运动规律可作出位移和速度的合成图，如图所示。由上面推论4 可知tan2tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载从
17、图 16 中看出tan2tan00vvvy小球到达 B点的速度为20220tan41vvvvyt所以 B点的动能为)tan41(21212202mvmvEtkB)tan41(20kE 例 13 如图 17 所示，从倾角为30的斜面顶端平抛一个物体，阻力不计，物体的初动能为 9J。当物体与斜面距离最远时，重力势能减少了多少焦耳？v0vtABv0解析： 当物体做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，物体距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成30角，如图所示由tan2tan可得tan21tan所以当物体距斜面的距离最远时的动能为JJEEkkt12)30tan1 (9)tan41(220根据物体在做平抛运动时机械能守恒有JJEEkp3)912(即重力势能减少了3J 平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不穷。若能切实掌握其基本处理方法和这些有用的推论，就不难解决平抛问题。因此在复习时应注意对平抛运动规律的总结，从而提高自己解题的能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
