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1、名师整理优秀资源一、轴对称与全等【例 1】 如图所示,在ABC中,100A,40ABC,BD是ABC的平分线,延长BD至E, 使D E A D 求证:BCABCEEDCBAFEDCBA【考点】轴对称类全等问题【难度】 4 星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】在BC上取一点F,使得BFBA易证得ADBFDBDFAD,又DADEDFDE100A,ABAC40ABCBD平分ABC,20ABD60ADBFDB60CDEADB60FDCEDCDCFDCEFCECBCBFFCABCE例题精讲几何变换与全等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
2、 页,共 18 页名师整理优秀资源【例 2】 (06 北京课改第23 题)如图( 1)所示,OP是MON的平行线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图( 2) ,在ABC中,ACB是直角,60B,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE相交于点F 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系(2)如图( 3) ,在ABC中,如果ACB不是直角,而(1)中的其他条件均不变,请问,你在(1)中得到的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由(1)PNMO(2)FEDCBA(3)FEDCBA【解析】(1)FEF
3、D证明:在AC上取点M,使得AMAE,连接FM易证AEFAMF,故EFFM 可证MCFDCF,故FDFMEFMFEDCBA(2) 在AC上取点M,使得AMAE,连接FMMFEDCBABADCAD,AFAF,AEAMAEFAMFEFFM,AFEAFMBADCAD,BCEACE,60B120AFC,60AFE60MFCDFCBCEACE,CFCFMFCDFCDFFMEF【例 3】 如图,已知60ABDACD,且1902ADBBDC 求证:ABC是等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页名师整理优秀资源DCBAEDC
4、BA【解析】延长BD到E,使得DECD,连接AE1902ADBBDC ,2180ADBBDC,即180ADCADB180ADEADB,ADCADE, CDDEADAD,SASADCADE,60ACDE,ACAE,60ABDACD, ABDE,ABAE, ABAC,ABC是等腰三角形【例 4】 如图,在ABC中,3ABAC,A的平分线交BC于D, 过B作BEAD, 垂足为E, 求证:ADDEDCBAEF21BAEDC【解析】解法一:如图,延长BE、AC交于F12,AEBF,AFAB2ABFABESS而1133ACABAF ,13ABCABFSSAD平分BAC,3BDABCDAC,334BDDCB
5、C ,311442ABDABCABFABESSSS故12ADAE, ADDE解法二:如图,延长AC、BE交于F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页名师整理优秀资源21BAHFEDC12,AEBF,AFAB,2CFAC过E作EHAF,交BC于H,则12EHCFAC ,1DEH,ACDEHDACDEHD,ADDE解法三:如图,延长AC、BE交于G,过E作EHBC交AG于H21BAEDCGH12,AEBG,3AGABAC,BEGE故有HCHG2CGABACAC,HCACDCHE,ADDE解法四:如图,取AB的中点G,连接E
6、G交BC于F,则EG是RtABE斜边上的中线GCDEFAB12AGEG,21AEGEGAC故BFCF,12EGAC ,1322EGABAC ,有13FGEG ,故F是ABE的重心BD为AE的中线,故ADDE【例 5】 如图所示,在ABC中,ACAB,M为BC的中点,AD是BAC的平分线,若CFAD且交AD的延长线于F,求证12MFACAB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页名师整理优秀资源MFDCBAEMFDCBA【解析】题目中有角平分线和垂直的条件,因此可以考虑将图形补成等腰AEC,之后再证明MF是CBE的中位线
7、即可如图所示,延长AB、CF相交于点E,在AFE和AFC中,EAFCAF,AFAF,AFEAFC,故AFEAFC,从而AEAC,EFFC而CMMB,故MF是CBE的中位线,从而111222MFBEAEABACAB 【例 6】 已知点M是四边形ABCD的BC边的中点,且120AMD,证明:12ABBCCDAD . ABCDMB1ABCDMC1【解析】显然,要证题设的不等式,应当把AB,12BC ,CD三条线段首尾连接成一条折线,然后再与线段AD比较 .要实现这一构想,折线之首端应与A点重合,尾端应与D点重合,这可由轴对称来实现. 以AM为对称轴,作点B关于AM的对称点1B ,连接1AB 、1MB
8、 ,则1ABAB ,1MBMB ,即1AB M ABM,由此1B MABMA . 再以DM为对称轴,作点C关于DM的对称点1C ,连接1DC 、1MC ,则1DCDC ,1MCMC ,即1DC M DCM,由此1C MDCMD . 而120AMD,所以18018012060BMACMDAMD. 注意到1160B MAC MDBMACMD,因此1111120()B MCB MAC MD1206060,而1112MBMCBC ,所以11B MC 是等边三角形,1112B CBC . 由于两点之间以直线段为最短,所以1111ABB CC DAD ,即12ABBCCDAD . 精选学习资料 - - -
9、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页名师整理优秀资源【巩固】设M是凸四边形ABCD的边BC的中点,135AMD,求证:22ABBCCDAD . MDCBACBMDCBA【解析】作点B关于AM的对称点B,作点C关于DM的对称点C,连接AB、B C、C D,则MBMBMCMC,且ABAB,C DCD. 而90C MB,则222B CMBBC ,故22ABBCCDABB CC DAD . 二、平移与全等问题【例 7】 (2007 年北京中考)如图,已知ABC请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外 ),连结AD、AE,写出使此图中只存在两对
10、面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;请你根据使成立的相应条件,证明ABACADAECBADECBADFEGCBAFDO EGCBA【解析】 如图 相应的条件是:BDCEDE;两对面积相等的三角形分别是:ABD和ACE,ABE和ACD(方法 1):如图 ,分别过点D、B作CA、EA的平行线,两线交于F点,DF与AB交于G点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页名师整理优秀资源所以ACEFDB,AECFBD在AEC和FBD中,又CEBD,可证AECFBD所以ACFD,AEFB在AGD中,AGDGAD在BF
11、G中,BGFGFB所以AGDGBGFGADFB即ABFDADFB所以ABACADAE(方法 2):如图 取BC中点O,连结AO并延长AO至F,OFAO,连结BF,DF,延长AD交BF于G可证得BOFCOA,DOFEOA所以ACBF,AEDF在BGA中,BGABGDAD在GFD中,GDGFFD所以BGABGDGFGDADFD所以BGABGFADFD即BFABADFD所以ABACADAE【例 8】 如图,梯形ABCD中,ADBC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,连接AD的垂直平分线l交线段EF于点M求证:点M为EF的中点MlHFDCEGBANLSRQPQPABGECDF
12、HlM【解析】过E、F分别作l的垂线EP, FQ 交l于P于 Q 如图,N是AD之中点, 过N作NQDF交 FQ 于Q ,作N PA E交EP于P, 作N SDC交BC于S,作NRAB交BC于R在RtP PN和RtLNR中,有90P NPPP N1809090P NPLNR,所以有PP NLNR又由RNABAEP N,知RtRtNP PRLN从而得PPNL同理可知 RtRtQ QNNLS,而得QQNL ,即有PPQQ 显然,EPAN,FQND,又ANND,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页名师整理优秀资源所以EPF
13、Q从而有EPEPPPFQQQFQ 应 EPFQ知,四边形EQFP 是平行四边形,其对角线互相平分,所以M是EF的中点点评:过N作平行线的实质就是将两个正方形进行平移,使这两个正方形的一个点重合三、旋转与全等【例 9】 如图(1)ABO与A B O均为等边三角形, 点AB,分别在线段 OBOA,上,ABO固定不动,A B O绕O顺时针旋转0180,过点AA, 分别作OA OA,的平行线交于点O。(1)如图( 2) ,当060时,45AO A,则旋转角_;(2) 如图(3) , 当60180时,若OOAA, 则旋转角_, 当A B O旋转时,AO A与旋转角之间的关系为 _。(3)如图( 4) ,
14、在A B O旋转过程中,连接O BO B,是判定BO B随旋转角的变化情况,并证明。(1)OBAOBA(2)OBAOBA(3)OBAOBA(4)OBAOBA【解析】(1)15(2)150;60AOA(3)当060时,60AOA当24060,60AOA当360240,420AOA证明略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页名师整理优秀资源【例 10】两块大小不同的含45角的三角板ABC和DBE如图摆放,直角顶点重合, 连接 AECD, 且 F M N G, ,分别为线段ACCDEDAE,的中点。(1)如图,若三角板的两直
15、角重合,判断四边形FMNG的形状,并证明你的结论;(2)从(1)开始, 三角板DBE绕B顺时针旋转角度0360时, (1)中的结论是否仍然成立,若成立画出一种情形,给出证明;若不成立,请说明理由。NMGFEDCBAIHNMGFEDCBA【解析】(1)四边形FMNG为正方形。由梯形中位线性质可知,1122FMADFMADGNADGNAD, FMGNFMGN,四边形FMNG为平行四边形又因为 MN, 分别为 CDED,中点,12MNCEMNBC, ABBCBDBE,ADCEMNGN四边形FMNG为菱形 MNBCNGAB,90MNGB四边形FMNG为正方形。(2)三角板DBE绕B顺时针旋转角度036
16、0时, (1)中的结论仍然成立。 FG, 分别为 ACAE,中点12FGCE ,同理12MNCEMNCE, FGMNFGMN,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页名师整理优秀资源四边形FMNG为平行四边形 BCBA BEBDCBEABD,CBEABD ADCEBCEBAD,90BADAIHBCICIB90CHA90MNGAHD四边形FMNG为矩形12NGADMNMG四边形FMNG为正方形。【例 11】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD,其中A和C都是直角, 另一条对角线AC的长度为2
17、,求四边形ABCD的面积DCBACDCBA【解析】将三角形ABC绕A点旋转90,使B与D重合,C到C点则有180CDCADCADCADCABC,所以CD C, ,在同一条直线上,ACDC是三角形又因为ACAC.所以三角形ACC是等腰直角三角形所以四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC的面积。2222ACCABCDSS四边形【巩固】如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,90AEB,AC、BD交于O。已知AE、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形OBE的面积EODCBAEEODCBA【解析】显然90BOABEA,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
18、总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页名师整理优秀资源所以90OBAOABEBAEAB,所以OBAEBAEABOAB,所以OBEOAE,则逆时针旋转OEA 90,则OA与OB重合,E落在BE上OEE是等腰直角三角形则532EE,容易得到12214OEEScm2所以512.52OEBScm2【例 12】(通州区 2009 一模第 25 题)请阅读下列材料:已知:如图1 在RtABC中,90BAC,ABAC,点D、E分别为线段BC上两动点,若45DAE探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结E D,使问题得到解决
19、请你参考小明的思路探究并解决下列问题: 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明; 当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明图1ABCDE图2ABCDE【解析】 222DEBDEC证明:根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABEAECABEBEEC,AEAE,CABE,EACE AB在RtABC中ABAC45ABCACB90ABCABE即90E BD222E BBDE D又 45DAE45BADEAC45E ABBAD即45E ADAEDAEDDEDE222DEBDEC精选学习资料
20、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页名师整理优秀资源EEDCBAFEDCBA 关系式222DEBDEC 仍然成立证明:将ADB沿直线AD对折,得AFD,连FEAFDABDAFAB,FDDBFADBAD,AFDABD又 ABAC, AFAC45FAEFADDAEFAD9045EACBACBAEDAEDABDABFAEEAC又 AEAEAFEACEFEEC,45AFEACE180135AFDABDABC1354590DFEAFDAFE 在RtDFE中222DFFEDE即222DEBDEC【例 13】在 等边ABC的两边AB,AC所
21、在直线上分别有两点MND, , 为ABC外一点,且60MDN,120BDC,BDCD,探究:当点MN,分别爱直线ABAC,上移动时,BMBNMN,之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长L的关系图MNDCBA图MNDCBAN图MDCBA如图,当点MN, 在边 ABAC,上,且DMDN时, BMNCMN,之间的数量关系式_;此时QL_ 如图,当点MN,在边 ABAC,上,且DMDN时,猜想 (1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;如图,当点MN,分别在边AB CA,的延长线上时,若ANx,则 Q_(用 xL, 表示 ) 【解析】BM + NC = MN;23QL精选学习资
22、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页名师整理优秀资源MENDCBA(2)猜想:仍然成立证明:如图,延长AC至E,使CEBM,连接DEBDCD,且120BDC,30DBCDCB由ABC是等边三角形,90MBDNCD,(SAS)MBDECD DMDEBDMCDE,60EDNBDCMDN在MDN与EDN中DMDEMDNEDNDNDN()MDNEDN SASMNNENCBMAMN的周长AN(BM)(NC)AC2ABQAMMNAMANAB而等边ABC的周长3LAB23QL(3)223xL【例 14】已知RtABC中,ACBC,90C,
23、D为AB边的中点,90EDF,EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图 1) ,易证12DEFCEFABCSSS当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2 和图 3 这两种情况下,上述结论是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,DEFS,CEFS,ABCS又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明FEDCBA图1AECFBD图2AECFBD图 3NAECFBDM【解析】图2 成立;图3 不成立。证明图 2:过点D作DMAC,DNBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
24、-第 13 页,共 18 页名师整理优秀资源则90DMEDNFMDN再证MDENDF,DMDN有DMEDNFDMEDNFSSDEFCEFDMCNDECFSSSS四边形四边形由信息可知12ABCDMCNSS四边形21S ABC12DEFCEFABCSSS图 3 不成立,DEFS、CEFS、ABCS的关系是:12DEFCEFABCSSS【例 15】(2010 年西城一模) 如图 1,在平行四边形ABCD中,AEBC于点E,E恰为BC的中点,tan2B(1)求证:ADAE;(2)如图 2,点P在线段BE上,作BFDP于点F,连结AF求证:2DFEFAF ;(3)请你在图 3 中画图探究: 当P为线段
25、EC上任意一点 (P不与点E重合)时,作EF垂直直线DP,垂足为点F,连结AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论图1EDCBA图2PFABCDE图3ABCDE【解析】(1)在RtABE中,90AEB,2tanBEAEBBEAE2E为BC的中点,BEBC2AEBC. ABCD是平行四边形,ADBC. AEAD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页名师整理优秀资源(2)在DP上截取DHEF(如图 8) 四边形ABCD是平行四边形,AEBC,90EADEFPD,12,ADHAEFADAE,AD
26、HAEFHADFAE,AHAF90FAH在RtFAH中,AHAF,2FHAF AFEFFDHDFDFH2即AFEFDF2(3)按题目要求所画图形见图9,线段DF、EF、AF之间的数量关系为:AFEFDF2H E C B A D F P 2 1 图 8 E C B A F P D 图 9 H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页名师整理优秀资源1.如图,I是ABC的内心,且CAAIBC若80BAC,求ABC和AIB的大小ABCI204040IDCBA【解析】因为有内心,故可以用角平分线构造全等三角形,从而使问题容易解
27、决如图,在BC上取点D,使CDAC,连接DI因为CAAIBC,所以BDAI在ACI和DCI中,ACDC,ACIDCI,CICI所以ACIDCI于是AIDI所以DIBD因为80BAC,所以40CAI,40CDI又CDI是等腰BDI的外角,所以20DBIDIBCDI,40ABC在AIB中,40BAI,20ABI,所以1802040120AIB2.如图,在直角ABC中,90BAC,ABAC,BD平分ABC交AC于D,作CEBD交BD的延长线于E,则 BD 与CE的大小关系是 _EDCBAFEDCBA【解析】延长BA、CE相交于点F由图可知,BFEBCE,故CEEF,2CFCE课后作业精选学习资料 -
28、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页名师整理优秀资源又90BAC,CEBD,故ABDACE,又ABAC,故ABDACF,从而可知2BDCFCE3.直角三角形ABC中9068AABBC,;P为BC的中点,ABC绕着点P逆时针旋转90到DEF,求重叠部分PQKR 的面积KQPRFEDCBANMKQPRFEDCBA【解析】过点P做PMDFPNAC、垂足为M、NABC绕着点P逆时针旋转90到DEF, PMPN又9090MPQRPMMPRPRN,MPQPRN PMQPNR221()92PMKNPQKRSSPNAB正方形四边形4.已知:2PA
29、,4PB,以AB为一边作正方形ABCD,使P,D两点落在直线AB的两侧如图,当45APB时,求AB及PD的长; 当APB变化, 且其它条件不变时,求PD的最大值, 及相应的APB的大小。PDCBA图1EABCDP图2EPABCDP【解析】(1)如图 1,作AEPB于点EAPE中,45APE,2PA,2sin212AEPAAPE,2cos212PEPAAPE4PB,3BEPBPE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页名师整理优秀资源在RtABE中, AEB=90 ,2210ABAEBE解法一:如图2,因为四边形ABCD
30、为正方形,可将PAD绕点A顺时针旋转90得到P AB,可得PADP AB,PDP B,PAP A90PAP,45APP,90P PB22PPPA2222242 5PDP BPPPB解法二:如图3,过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,设DA的延长线交PB于G在RtAEG中,可得10coscos3AEAEAGEAGABE,13EG,23PGPBBEEGFG图3EABCDPP图4PDCBAPPDCBA图5在RtPFG中,可得10coscos5PFPGFPGPGABE,1015FG在 RtPDF 中,可得22()PDPFADAGFG22101010 =()( 10)202 55315(2)如图 4 所示,将PAD绕点A顺时针旋转90得到P AB,PD的最大值即为P B的最大值 . P PB中,P BPPPB,22PPPA,4PB,且PD、两点落在直线AB的两侧, 当PPB、三点共线时,P B取得最大值(见图5). 此时6P BPPPB,即P B的最大值为6.此时180135APBAPP. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 18 页