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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 高等 数 学上）第十五讲第十五讲第十五讲第十五讲 微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理教案制作：吴洪武 :作业习题3-1教材125页） 1；2；3； 4; 5; 6 ; :第一节 微分中值定理第三章 微分中值定理与导数的应用一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理:费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理 微分中值定理:函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于时, 函数的极限值.在点 x 处的差商导数与差商: 我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围性质, 推出其整体的或“大
2、范围性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.:首先, 从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”是怎么一回事.:导数与差商相等！:将割线作平行移动, 那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. 也就是说, 至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.:极值的定义:一. 费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理定理定理定理:费马定理的几何解释 如何证明？:则有于是（极
3、小值类似可证）证证证证如何保证函如何保证函数在区间内数在区间内部取极值？部取极值？:但是不保证在内部！:水平的可保证在内部一点取到极值:二. 罗尔中值定理设则至少存在一点定理定理定理定理: 实际上, 切线与弦线 AB 平行.:最小值至少各一次.证证证证:最小值至少各一次.由费马定理可知：:例1证证证证其中,:综上所述,:连续可微端点函数值相等例2分析:例2证证证证由罗尔定理, 至少存在一点: 分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 .:且满足罗尔定理其它条件,例3证证证证:想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析:例4证证证证则由已知条件可知:该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,
4、 能否再一次使用罗尔定理?如果需要如果需要, , 当然可以使用当然可以使用. .:例5证证证证:例6证证证证:引理引理 1 1 达布中值定理达布中值定理达布中值定理达布中值定理达布中值定理达布中值定理 达布中值定理达布中值定理费马定理的一种推广费马定理的一种推广:证明引理证明引理1 1:证明达布中值定理证明达布中值定理 请自己完成请自己完成!:如何描述这一现象:三. 拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理定理定理定理: 切线与弦线 AB 平行如何利用罗尔定理来证明？:则由已知条件可得：故由罗尔定理, 至少存在一点证证证证:定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数拉格朗日有限增量公式:某一时刻达
5、到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在:还有什么？:推论推论 1 1:推论推论 2 2( C 为常数 ):推论推论 3 3 用来证明一些重要的不等式:推论推论 4 4 用来判断函数的单调性:在推论 4 中, :推论推论 5 5那么再由推论 4 , 即得命题成立 . 该推论可以用来证明不等式.证证证证:解例7:故从而例8证证证证:例9证证证证:例10证证证证延拓延拓!:例11证证证证从而:例12解:例13解:又故从而即例14证证:那么又且故即例15证证证证: 在拉格朗日中值定理中, 将曲线用参数方程表示 , 会出现什么结论？:使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的斜率相等.注意:并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.:四. 柯西中值定理设则至少存在一点:有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定理了.:故 由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证证证证:分析例16:例16证证证证:三个中值定理的关系RolleLagrangeCauchy图形旋转参数方程:作业习题3-1教材125页） 1；2；3； 4; 5; 6 ; :
